王國凡，趙 武，劉徐軍，豐淑慧，薛二劍，陳 林，王 波

1 引言

目前，奧運(yùn)會(huì)成績預(yù)測方法主要有時(shí)間序列模型、以計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)原理建立的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蜕窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。其中，基于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)原理建立的回歸分析模型能綜合分析奧運(yùn)會(huì)成績的影響因素，為定量預(yù)測奧運(yùn)會(huì)成績提供了依據(jù)，也最受廣大學(xué)者關(guān)注[8]。經(jīng)筆者研究發(fā)現(xiàn)，單純運(yùn)用經(jīng)濟(jì)學(xué)原理提出的預(yù)測模型可能適合一個(gè)或若干個(gè)國家，但把它應(yīng)用到所有國家是缺乏依據(jù)的，其預(yù)測結(jié)果也往往不能令人滿意[9]。為此，本研究提出了一種將遺傳算法（Genetic Algorithm，簡稱 GA）、競技體育實(shí)力評(píng)估和回歸分析有機(jī)結(jié)合的預(yù)測方法。基于 GA對(duì)競技體育實(shí)力進(jìn)行動(dòng)態(tài)優(yōu)化且實(shí)現(xiàn)有監(jiān)督評(píng)估，在此基礎(chǔ)上，依據(jù)回歸分析建立奧運(yùn)會(huì)成績預(yù)測模型。計(jì)算結(jié)果表明，該模型是一種較高精度的預(yù)測方法。

2 預(yù)測模型分析

關(guān)于奧運(yùn)會(huì)成績預(yù)測模型的研究目前主要可歸納為基于時(shí)間序列預(yù)測模型、經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ图吧窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。時(shí)間序列預(yù)測模型由于沒有考慮其他任何影響因素，預(yù)測結(jié)果偶然性大[8]；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型雖優(yōu)于多元線性回歸模型[13]，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型容易陷入局部最優(yōu)和“黑箱”式學(xué)習(xí)模式等缺陷；基于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)原理建立的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪钱?dāng)前國內(nèi)、外研究的熱點(diǎn)。奧運(yùn)會(huì)成績預(yù)測的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型是基于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)原理研究體育問題，根據(jù)影響因素集建立的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。較早關(guān)于這方面的研究成果有 Ball （1972）[11]、Grimes A Ray等 （1974）[15]和 Levine N （1974）[16]，即根據(jù)國家性質(zhì)與經(jīng)濟(jì)水平等因素集研究對(duì)國家在奧運(yùn)會(huì)競賽中成績的影響。隨后的研究案例中，由Bernard與Busse（2004）[12]提出利用柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)建立了獎(jiǎng)牌數(shù)分部的多元非線性模型：

式中：

Me表示第i個(gè)國家在當(dāng)屆奧運(yùn)會(huì)取得的獎(jiǎng)牌數(shù)（medalsi）與當(dāng)屆奧運(yùn)會(huì)總獎(jiǎng)牌數(shù)（∑imedalsi）的比值。

（1）式中，t為時(shí)間趨勢；POP為當(dāng)年參賽國人口數(shù)； PGDP為當(dāng)年參賽國人均 GDP；Home為虛擬變量，Home=1表示奧運(yùn)會(huì)主辦國，Home=0表示非主辦國；P為虛擬變量，P=1為社會(huì)主義國家，P=0為資本主義國家；β0為常數(shù)；βj（j=1，…，5）為各解釋變量的系數(shù)。

此后，更多人們的目光聚集到該研究上，也使奧運(yùn)會(huì)成績預(yù)測一直為研究熱點(diǎn)[14]。王國凡等人（2010）[9]指出，傳統(tǒng)模型的缺陷在于：單純運(yùn)用經(jīng)濟(jì)學(xué)原理建立的預(yù)測模型可能適合一個(gè)或若干個(gè)國家，但把它應(yīng)用到所有國家是缺乏依據(jù)的，提出參賽國的競技體育實(shí)力對(duì)奧運(yùn)會(huì)成績存在重要的影響，并以此為依據(jù)，在以Bernard與Busse的模型基礎(chǔ)上，建立了基于競技體育實(shí)力評(píng)估的多元非線性模型：

式中：C為參賽國競技體育實(shí)力等級(jí)，其他參數(shù)與式（1）、（2）相同；各個(gè)國家的競技體育實(shí)力等級(jí)C是利用聚類分析獲得的。研究結(jié)果表明，此方法比傳統(tǒng)的回歸分析預(yù)測精度高，具有較高的可行性。

從模型（3）可以發(fā)現(xiàn)，參賽國競技體育實(shí)力評(píng)估是該預(yù)測研究的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。但現(xiàn)有的關(guān)于競技體育實(shí)力評(píng)估均是無監(jiān)督聚類方法[1-4，6]，此方法的缺陷在于利用什么的數(shù)據(jù)集作為聚類分析、選擇何種聚類分析方法、金牌與獎(jiǎng)牌數(shù)評(píng)估是否等同、聚類數(shù)為多少等確定非常困難，往往只能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)確定，這些憑主觀估值的方法必將帶來算法精確度的下降。

考慮到以上案例存在的缺陷，筆者考慮使用 GA對(duì)競技體育實(shí)力進(jìn)行監(jiān)督評(píng)估，GA將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為基因組群，以適應(yīng)度函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，通過基因操作得到下一代優(yōu)化基因組合，如此反復(fù)迭代，直到滿足最優(yōu)收斂目標(biāo)為止。

3 基于 GA的有監(jiān)督競技體育實(shí)力評(píng)估

3.1 GA優(yōu)化競技體育實(shí)力評(píng)估總描述

GA能得以廣泛應(yīng)用的一個(gè)重要原因，是它的全局收斂性，由于 GA群體的多樣性，使其盡可能在全方向上搜索，這比以往的梯度法只在單方向上搜索有很大改進(jìn)，而且 GA在優(yōu)化問題上無需有連續(xù)性和可微性的限制[17]。最終可實(shí)現(xiàn)競技體育實(shí)力等級(jí)評(píng)估的動(dòng)態(tài)優(yōu)化，在此基礎(chǔ)上，依據(jù)競技體育實(shí)力的多元非線性模型進(jìn)行預(yù)測，保證了預(yù)測精度高、客觀性強(qiáng)。

本研究提出的基于 GA優(yōu)化競技體育實(shí)力評(píng)估的預(yù)測模型流程如圖1所示：

圖1 預(yù)測模型算法流程圖

GA是以擬合優(yōu)度 R2來評(píng)價(jià)競技體育實(shí)力評(píng)估的好壞及預(yù)測精度，并將此目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為適應(yīng)度函數(shù)。算法開始先隨機(jī)產(chǎn)生群體，群體中的每組染色體代表參賽國的競技體育實(shí)力等級(jí)，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)對(duì)每1組染色體進(jìn)行評(píng)價(jià)，得到相應(yīng)的適應(yīng)度值，染色體的適應(yīng)度越大，則染色體所代表的競技體育實(shí)力評(píng)估得到了優(yōu)化且預(yù)測效果越好。根據(jù)適應(yīng)值可以算出每一條染色體在選擇操作中被選中的概率。根據(jù)選擇概率，選擇使用隨機(jī)遍歷抽樣法選出一群染色體，構(gòu)成新種群。根據(jù)交叉概率，選擇染色體進(jìn)行 GA交叉操作，最后根據(jù)變異概率，對(duì)染色體上部分基因位進(jìn)行變異操作，該操作使得在整個(gè)搜索過程中染色體代表的競技體育實(shí)力等級(jí)集具有多樣性，對(duì)競技體育實(shí)力起到了優(yōu)化作用，從而保證能夠找到最優(yōu)解。算法的結(jié)束條件是設(shè)置一個(gè)最大迭代次數(shù) Epochmax，方能保證 GA在結(jié)束條件達(dá)到以后求得的解是最優(yōu)解。

3.2 染色體編碼方案

編碼是 GA求解問題的前提，本研究對(duì)競技體育實(shí)力等級(jí)采用整數(shù)型編碼。在進(jìn)行染色體編碼前，首先，應(yīng)確定所有參賽國競技體育實(shí)力等級(jí)數(shù) C值的范圍[Cmin， Cmax]。一般情況下，最佳的聚類數(shù)不會(huì)超過 Cmax≤（N為數(shù)據(jù)集總數(shù)）[10]，因而，C的取值范圍可以設(shè)定為[2，]。

每條染色體所代表的是參賽國競技體育實(shí)力等級(jí)集，染色體長度就是參賽國家數(shù)，染色體中的基因表示競技體育實(shí)力等級(jí)，具有相同基因表示競技體育實(shí)力等級(jí)為同一類。在C的取值范圍內(nèi)取一個(gè)整數(shù)k，表示該集合中參賽國含有k個(gè)競技體育實(shí)力等級(jí)，染色體可表示為：

染色體：[Z1，Z2，Z3，…，ZN]，0≤Zi≤k-1，且Zi為整數(shù)。

例如，在本研究中選取N=62個(gè)參賽國家作為研究對(duì)象（表3），故最佳競技體育實(shí)力等級(jí)數(shù)為2≤C≤8，若k= 6，那么，染色體編碼為：

3.3 適應(yīng)度函數(shù)

根據(jù)染色體的編碼，將此編碼轉(zhuǎn)換為虛擬變量，為了避免“虛擬變量陷阱”，利用k-1個(gè)虛擬變量D1，D2，…，D（k-1）分別表示k個(gè)類別（如表1所示），根據(jù)模型（3）進(jìn)行多元非線性回歸分析，將回歸模型擬合優(yōu)度R2轉(zhuǎn)化為如（4）所示的目標(biāo)函數(shù)：

式中：yi為觀測值，^yi為擬合值，為均值[18]。

表1 參賽國競技體育實(shí)力等級(jí)的虛擬變量設(shè)定一覽表

適應(yīng)度函數(shù)通常是用于轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù)值為相對(duì)適應(yīng)度值。為了防止過早收斂，可根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值在種群中的排序計(jì)算適應(yīng)度值。根據(jù)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值obj由小到大的順序進(jìn)行排序，根據(jù)排序的序號(hào)，給每一個(gè)等級(jí)的個(gè)體一個(gè)適應(yīng)度值，具有相同排序的非支配解分配相同的適應(yīng)度值，適應(yīng)度值按式（5）計(jì)算出：

式中：MAX表示選擇壓差，一般為[1，2]之間；xi是個(gè)體i在有序種群中的位置；Nid為種群數(shù)；FinV（i）表示i位置上個(gè)體的適應(yīng)度值。本研究中選擇壓差設(shè)定為MAX=2。

由于R2值越高，預(yù)測越準(zhǔn)[5]，那么，適應(yīng)度函數(shù)對(duì)于最終預(yù)測結(jié)果好的染色體給予一個(gè)較高的適應(yīng)值；反之，預(yù)測精度效果不好的染色體給予一個(gè)較低的適應(yīng)值。利用 GA對(duì)預(yù)測進(jìn)行優(yōu)化時(shí)其實(shí)質(zhì)就是要使擬合優(yōu)度R2優(yōu)化。

3.4 選擇算子

選擇算子是確定如何從父代群體中根據(jù)設(shè)定的代溝GGAP選出一定數(shù)目的優(yōu)良個(gè)體遺傳到下一代群體中的一種 GA，為了提高全局收斂性和計(jì)算效率，選擇方法采用隨機(jī)遍歷抽樣（SUS）。SUS是具有零偏差和最小個(gè)體擴(kuò)展的單狀態(tài)抽樣算法，替代用于輪盤方法的單個(gè)選擇指針， SUS使用S個(gè)相等距離的指針，這里S是指要求選擇的個(gè)數(shù)。種群被隨機(jī)排列，S個(gè)指針[ptr，ptr+1，ptr+2，…，ptr+S-1]確定S個(gè)個(gè)體，指針ptr+i（i=0，1，…，S-1）由在[1/S，i+1/S]內(nèi)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)確定。

假定從10個(gè)個(gè)體中選擇S=6個(gè)個(gè)體且第一個(gè)指針的隨機(jī)位置為0.04（圖2），那么，指針間的距離為1/6= 0.17，故可根據(jù)指針ptr的位置和累計(jì)概率區(qū)間即可確定被選中的個(gè)體為：1，2，3，4，7，8。

圖2 隨機(jī)遍歷抽樣示意圖

3.5 變異算子

采用均勻變異（Simple Mutation），其操作是指分別用符合某一范圍內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，以某一較小的概率來替換個(gè)體編碼串中各個(gè)基因座上的原有基因值，即對(duì)父代個(gè)體依變異概率Pm進(jìn)行操作，目的是防止過早收斂產(chǎn)生局部最優(yōu)解而非整體最優(yōu)解。

均勻變異的具體操作過程是：

1.依次指定個(gè)體編碼串中的每個(gè)基因座為變異點(diǎn)；

2.對(duì)每一個(gè)變異點(diǎn)，以變異概率Pm從對(duì)應(yīng)基因的取值范圍內(nèi)取一隨機(jī)數(shù)來替代原有值。

3.6 交叉算子

采用單點(diǎn)交叉，是指在個(gè)體編碼串中只隨機(jī)設(shè)置一個(gè)交叉點(diǎn)，然后，在該點(diǎn)相互交換兩個(gè)配對(duì)個(gè)體的部分染色體。這里首先對(duì)群體中的個(gè)體隨機(jī)設(shè)定一個(gè)交叉位置，根據(jù)交叉概率Pc進(jìn)行操作，對(duì)兩個(gè)相互配對(duì)的染色體在交叉位置按單點(diǎn)交叉相互交換其部分基因，通過交換產(chǎn)生新一代群體。圖3為單點(diǎn)交叉運(yùn)算的示意圖。

單點(diǎn)交叉的具體執(zhí)行過程：

1.對(duì)個(gè)體進(jìn)行兩兩隨機(jī)配對(duì)，若群體大小為M，則共有[M/2]對(duì)相互配對(duì)的個(gè)體組；

2.對(duì)每一對(duì)相互配對(duì)的個(gè)體，隨機(jī)設(shè)置某一基因座之后的位置為交叉點(diǎn)，若染色體的長度為N，則共有N-1個(gè)可能的交叉點(diǎn)位置；

3.對(duì)每一對(duì)相互配對(duì)的個(gè)體，依設(shè)定的交叉概率Pc在其交叉點(diǎn)處相互交換兩個(gè)個(gè)體的部分染色體，從而產(chǎn)生出兩個(gè)新的個(gè)體。

圖3 單點(diǎn)交叉運(yùn)算示意圖

4 預(yù)測能力評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了評(píng)價(jià)預(yù)測精度及模型優(yōu)劣，本研究引入以下幾種誤差：

1.均方根誤差：

2.平均絕對(duì)百分比誤差：

3.平均絕對(duì)誤差：

4.Pearson相關(guān)系數(shù)：

式（6）～（9）中：yi，^yi分別為實(shí)際值和預(yù)測值。

5 應(yīng)用實(shí)例及結(jié)果分析

本研究所采用的數(shù)據(jù)來源同文獻(xiàn)[9]，利用1992—2004年奧運(yùn)會(huì)實(shí)際數(shù)據(jù)為樣本數(shù)據(jù)，選取62個(gè)國家（地區(qū)）作為研究對(duì)象，以2008年北京奧運(yùn)會(huì)成績檢驗(yàn)預(yù)測模型的效果。

實(shí)現(xiàn)算法的軟件為MATLAB軟件，GA的各控制參數(shù)設(shè)置為：初始種群數(shù)M=50；染色體長度為N=62；交叉率Pc=0.7；變異率Pm=0.01；代溝為GGAP=0.9。

5.1 競技體育實(shí)力等級(jí)數(shù)確定

為了比較競技體育實(shí)力等級(jí)數(shù)對(duì)多元回歸模型的影響，采用 GA優(yōu)化多元回歸非線性模型計(jì)算出競技體育實(shí)力等級(jí)個(gè)數(shù)C范圍內(nèi)所有最優(yōu)擬合優(yōu)度R2，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

從圖4中可以看出，對(duì)于獎(jiǎng)牌數(shù)預(yù)測，競技體育實(shí)力等級(jí)個(gè)數(shù)為C=7時(shí)，擬合優(yōu)度R2最大，即參賽國（地區(qū)）獲獎(jiǎng)牌數(shù)的最優(yōu)競技體育實(shí)力等級(jí)應(yīng)分為7類；對(duì)于金牌數(shù)預(yù)測，競技體育實(shí)力等級(jí)C=4時(shí)，擬合優(yōu)度R2最大，即參賽國（地區(qū)）獲金牌數(shù)的最優(yōu)競技體育實(shí)力等級(jí)應(yīng)分為4類。

5.2 預(yù)測結(jié)果

根據(jù)上述分析，將參賽國（地區(qū)）獎(jiǎng)牌數(shù)預(yù)測模型的競技體育實(shí)力等級(jí)數(shù)設(shè)為7；金牌預(yù)測模型競技體育實(shí)力等級(jí)數(shù)設(shè)為4，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析（表2）。

圖4 競技體育實(shí)力等級(jí)數(shù)與擬合優(yōu)度R2的關(guān)系示意圖

表2 1992—2004年間奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌與金牌占有率回歸結(jié)果一覽表

根據(jù)表2的結(jié)果，可對(duì)2008年北京奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌數(shù)、金牌數(shù)進(jìn)行預(yù)測（表3）。

最后，分別計(jì)算文獻(xiàn)[9]的預(yù)測結(jié)果與本研究提出預(yù)測結(jié)果的預(yù)測能力評(píng)價(jià)指標(biāo)（表4）。

從表4中可以看出，本研究提出的預(yù)測模型在對(duì)獎(jiǎng)牌預(yù)測能力方面有明顯優(yōu)勢；在對(duì)金牌預(yù)測結(jié)果中除MAE指標(biāo)略小，其他指標(biāo)均優(yōu)于前者。

從表4中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于FCM-regression模型，由于基于無監(jiān)督模糊C均值聚類的競技體育實(shí)力評(píng)估難以客觀地描述，從而對(duì)參賽國（地區(qū)）競技體育實(shí)力有效優(yōu)化組合能力有限，其預(yù)測能力自然無法保證，使得預(yù)測精確度相對(duì)較低。

對(duì)于本研究所提出的 GA-regression模型通過 GA可實(shí)現(xiàn)對(duì)參賽國（地區(qū)）競技體育實(shí)力等級(jí)進(jìn)行監(jiān)督計(jì)算，能動(dòng)態(tài)挖掘最優(yōu)競技體育實(shí)力評(píng)估，使得基于競技體育實(shí)力的預(yù)測模型達(dá)到最優(yōu)化。同時(shí)，降低了預(yù)測模型的主觀性，在獎(jiǎng)牌、金牌數(shù)預(yù)測中精度更高、穩(wěn)定性更好。

表3 各個(gè)國家（地區(qū)）獎(jiǎng)牌數(shù)、金牌數(shù)和競技體育實(shí)力歸類結(jié)果一覽表

表4 兩種模型預(yù)測統(tǒng)計(jì)指標(biāo)結(jié)果一覽表

6 結(jié)論

1.本文提出的 GA-regression模型

通過 GA可實(shí)現(xiàn)對(duì)參賽國（地區(qū)）競技體育實(shí)力等級(jí)進(jìn)行有效監(jiān)督計(jì)算，能動(dòng)態(tài)挖掘最優(yōu)競技體育實(shí)力評(píng)估，使得基于競技體育實(shí)力的預(yù)測模型（3）達(dá)到最優(yōu)化。同時(shí)，提高了預(yù)測模型的客觀性，在獎(jiǎng)牌（金牌）數(shù)預(yù)測中精度高、穩(wěn)定性好。

2.采用 GA優(yōu)化多元回歸非線性模型，能夠計(jì)算得出奧運(yùn)會(huì)參賽國（地區(qū)）競技體育實(shí)力等級(jí)數(shù)。在參賽國（地區(qū)）獎(jiǎng)牌數(shù)預(yù)測中，其競技體育實(shí)力等級(jí)數(shù)為7；在參賽國（地區(qū)）金牌數(shù)預(yù)測中，其競技體育實(shí)力等級(jí)數(shù)為4。

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