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        幾種動點軌跡形成的動態(tài)演示

        2011-02-28 01:45:50于曉晶
        長春大學學報 2011年10期
        關鍵詞:程序代碼擺線螺旋線

        于曉晶

        (蘇州市職業(yè)大學 教育與人文科學系,江蘇 蘇州 215104)

        動點的軌跡問題是解析幾何的一個核心問題,有些動點的軌跡方程易求,但很難想象其形狀、位置等特征,而描繪動點軌跡的形成過程是傳統(tǒng)教學手段無法實現的。將Matlab軟件引入到解析幾何教學研究中,則可彌補傳統(tǒng)教學的不足,是解析幾何教學的一個有力輔助工具。使用Matlab強大的圖形設計功能,就可以輕松得到動點軌跡形成的圖形,而且可以直觀、動態(tài)地研究動點軌跡形成的過程及其特征,從而激發(fā)學習興趣,促進探究學習,提高教學效率。

        本文以擺線、外旋輪線、漸伸線、圓柱螺旋線、圓錐螺旋線為例,給出動點軌跡形成的演示過程的Matlab程序代碼。

        1 擺線

        一個半徑為a的圓在一直線上無滑動地滾動,圓周上點P的軌跡由一系列完全相同的拱形組成,這種曲線叫做旋輪線或稱為擺線。

        適當選取坐標系,可寫出P點的參數方程

        不妨取a=1,利用Matlab軟件編制以下程序代碼,則可演示擺線的形成過程如圖1:

        圖1 擺線

        2 外旋輪線

        當一圓沿著一個定圓的外部作無滑動地滾動時,動圓上一點P的軌跡叫做外旋輪線,我們用a和b分別表示定圓與動圓的半徑。其參數方程為

        圖2 外旋輪線

        將程序中外旋輪線參數方程改為內旋輪線參數方程

        則可演示內旋輪線的形成過程(圖3a為a=4,b=1;圖(3)b為a=5,b=1;圖(3)c為a=8,b=1)。

        圖3 內旋輪線

        3 漸開線

        把線繞在一個固定圓周上,將線頭P拉緊后反方向旋轉,以把線從圓周上解放出來,使放出來的部分分成為圓的切線,則線頭P的軌跡為圓的漸開線或切展線,工業(yè)上被采用為齒廓曲線。其參數方程為

        選取a值及參數范圍,利用Matlab軟件編制以下程序代碼,則可演示漸開線的形成過程(見圖4)。

        圖4 圓的漸開線

        4 圓柱螺旋線

        一個質點一方面繞一條軸線作等角速度的圓周運動,另一方面作平行于軸線的等速直線運動,其速度與角速度成正比,求這個質點運動的軌跡方程。

        解:通過計算易求得該曲線的參數方程為

        其中θ為參數,曲線的形狀像彈簧,通常叫做圓柱螺旋線。

        圖5 圓柱螺旋線

        利用Matlab三維彗星圖函數的作圖功能,可以讓學生直觀地看到軌跡的形成過程演示。圖5中是已經形成的靜態(tài)軌跡,輸入下列程序代碼可以看到軌跡動態(tài)形成過程。

        5 圓錐螺旋線

        有一質點,沿著已知圓錐面的一條母線自圓錐的頂點起,作等速直線運動,另一方面這一條母線在圓錐面上,過圓錐的頂點繞圓錐的軸(旋轉軸)作等速的轉動,這時質點在圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線,試建立圓錐螺線的方程。

        解:通過計算易求得該曲線的參數方程為

        其中α為圓錐半頂角,ω為角速度,v為直線速度。

        此軌跡也利用Matlab三維彗星圖函數的作圖功能,可以讓學生直觀地看到軌跡的形成過程演示。如圖6所示。

        圖6 圓錐螺旋線

        函數comet3顯示的是非常生動的彗星圖,其中一個圓形(彗星頭部)顯示在屏幕上。彗星的主要部分是一個緊隨頭部的拖曳部分。尾部則是一條包含整個函數的實線。但是其留下的痕跡是使用None的Erase-Mode創(chuàng)建的,不能打印或使用Redrew編輯,否則痕跡將消失。

        利用Matlab編程如下,可以見圖7。

        圖7中是已經形成的靜態(tài)軌跡,輸入下列程序代碼,可以讓學生直觀地看到軌跡的形成演示過程,而且可以旋轉圖形,從不同角度觀察、研究軌跡的形狀特征。

        圖7 圓錐螺旋線

        圖7(a)、圖7(b)、圖7(c)是從不同視角觀察的軌跡形狀。

        [1]于曉晶.Matlab在解析幾何教學中的應用[J].電腦知識與技術,2009(10):8219-8221.

        [2]趙亞男,牛言濤.MATLAB在解析幾何教學中的應用[J].長春大學學報,2011(4):54-58.

        [3]于堅.MATLAB軟件在解析幾何教學中的應用[J].廣西教育學院學報,2006(1):16-20.

        [4]張宏民.Matlab在解析幾何教學中的應用[J].高師理科學刊,2007(3):87-89.

        [5]任明慧.Matlab在空間圖形中的動態(tài)應用[J].數學理論與應用,2008(3):40-44.

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