堵 鋒，孫玉東，鐘 榮

（1軍代表室，江蘇 無錫 214061；2中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082）

1 引 言

錐管是船舶管路系統(tǒng)中不同管徑管路之間的過渡元件，與直管不同，經(jīng)過該元件時同時產(chǎn)生平均流速和聲傳遞特性的變化。為應(yīng)用傳遞矩陣法對整個管路系統(tǒng)進行聲學分析，必須對組成系統(tǒng)的典型元件之一—錐管建立適當?shù)睦碚撃Ｐ?，并進行流速和錐角等參數(shù)對聲傳遞特性影響的分析，以指導管路系統(tǒng)的工程設(shè)計。

錐管是一種變截面管道。在變截面管道方面，Eisenberg等人（1971）[1]采用線性攝動和變量轉(zhuǎn)換，獲得流動管路中解耦的兩個線性常微分方程，對特殊形狀的半無限擴張管進行求解，表明了變截面管道中的駐波特性和平均流與聲之間的能量交換。對低馬赫數(shù)流動（Ma≤0.2）下的錐管以及沿軸線分別呈指數(shù)變化、拋物線變化、雙曲線變化的非均勻截面管道中的平面波傳播，Easwaran和Munjal（1991，1992）[2-3]給出了傳遞矩陣的解析解。Miles（1982）[4]對一段擴張—收縮管，采用面積指數(shù)變化的多個分段模擬變截面管道，將有解析解的各段傳遞矩陣連乘獲得總傳遞矩陣，研究有流和無流情況下一維管內(nèi)聲傳播的駐波壓力和相位角，發(fā)現(xiàn)管道通流截面積1/2的變化系數(shù)將足以產(chǎn)生較大幅值的聲反射。作為變截面管道的分段模擬，每一分段為均勻直管時公式最為簡單，但這種離散模擬在分段之間形成了突變。Gupta等人（1995）[5]考慮有流動情況下變截面管道各分段之中流動馬赫數(shù)及溫度差異的影響，對分段直管模擬法進行了修正。Gupta（1995）[6]進一步比較了文獻[4-5]兩種方法的區(qū)別。對無流動、余弦型變截面管道中的聲傳播，Arenas等人（2000）[7]應(yīng)用Floquet理論進行了解的穩(wěn)定性分析，采用匹配近似方法獲得反射系數(shù)并與WKB近似解比較。

本文研究沿錐管不同截面平均流速變化下的管中聲傳播特性。由于管道橫截面的變化，導致聲介質(zhì)特征阻抗的連續(xù)變化而產(chǎn)生附加的聲反射和駐波效應(yīng)。本文推導了錐管聲傳遞矩陣的解析解，并以此為基礎(chǔ)，采用無反射終端條件下元件聲傳遞效果的評估公式，給出錐管聲傳遞特性隨錐角等參數(shù)變化的計算結(jié)果。

2 沿軸向平均流速變化錐管的聲傳遞矩陣

設(shè)錐管軸向坐標為x，錐管長度為L，錐角為θ，見圖1。

錐管的端部直徑分別為：

圓形截面錐管任意截面的橫截面面積為：

設(shè)管中流體為理想無粘，由勢函數(shù)φ，聲壓p和質(zhì)點擾動速度u可表示為：

式中ρf為流體介質(zhì)密度，D/Dt為遷移導數(shù)，U（）x為局部平均流速。

令時間因子為 ejωt，φ=fejωt，f滿足以下波動方程：

式中M（x）=U（x）/c為局部馬赫數(shù)，k0=ω/c為靜止流體中聲傳播波數(shù)。

解（2）式，得：

式中M1（x）=U1（x）/c為 x=x1處的局部馬赫數(shù)，C1、C2為待定常數(shù)。

將（3）式代入（1）式，得：

根據(jù)脈動流量q（x）=u（x） A（x），采用以下端部條件：

由（4）式和（5）式確定 C1、C2，得錐管傳遞矩陣 T：

其中：

由獲得的以上形式的解，可以退化到幾種特殊情況：

（1）無流動情況下的錐管：M1=M2=0

（2）不考慮平均流動隨軸向變化的錐管：M1=M2≠0

（3） 均勻流動情況下的直管：M1=M2≠0，θ→0，x1，x2→∞

對一般錐管，考慮平均流速沿軸向的變化，進行一定變徑比 （d2/d1）下馬赫數(shù)Mach和錐角θ（相應(yīng)改變長度L）對錐管聲傳遞矩陣影響的計算。計算結(jié)果見圖2和圖3。計算采用的數(shù)據(jù)見圖2和圖3的圖題下。 該錐管的變徑比 （d2/d1）約為4，在錐角 θ為5°時長度為0.44 m。

以20log10（）表示傳遞矩陣元素的無量綱結(jié)果，其中T11和T22本身為無量綱量，T12、T21以上游端錐管橫截面的特征聲阻抗Z1無量綱化，分別變?yōu)闊o量綱量T12/Z1、T21×Z1。

圖2表示馬赫數(shù)即平均流速的影響。由圖2可見，不同馬赫數(shù)對T11和T22的影響主要在谷值頻率及其幅值。Mach=0.0時錐管中正、反向波頻率相同，疊加而產(chǎn)生駐波或共振，在無損耗時共振幅值趨于無窮大，壓力比趨于負無窮；Mach≠0.0而逐漸增大時，由于多普勒效應(yīng)，管中正、反向波頻率差異增大，駐波或共振現(xiàn)象減弱，對于T11谷地逐漸消失。不同馬赫數(shù)對T12的影響主要在低頻和谷值頻率上，隨馬赫數(shù)增大而增大，而在其它頻率上影響不明顯。不同馬赫數(shù)對T21在低頻影響很小，在高頻的影響也在谷值附近。

圖3表示不同錐角θ對傳遞矩陣中各元素的影響。一定變徑比 （d2/d1）下，錐管錐角θ的變化對應(yīng)于長度L的變化，錐角θ減小時，長度L相應(yīng)增大，錐管段的軸向聲共振頻率降低。對T11來說，在小錐角，除了共振頻率及附近外，計算頻率中頻范圍的壓力比可大于10 dB。T22在整個頻率范圍內(nèi)均為負分貝，在大錐角20°時保持在0 dB附近。對T12和T21，小錐角時因共振而起伏變化，但大錐角時均隨頻率升高而增大并趨于平坦。

3 錐管聲傳遞損失的計算

在理想的聲學效果評估中，不考慮管路元件的實際安裝環(huán)境，即不管自上游到達該元件的聲學狀態(tài)如何，也不考慮元件出口端來自下游的反射，即無反射終端（Anechoic Terminal），計算元件進口端入射聲波能量與出口端透射聲波能量之比，以傳遞損失 TL（Transmission Loss）表示。

到達元件端口1的聲壓p1和脈動流量q1為：

因此有：

元件端口2有：

以上（7）～（9）諸式中 Z1、Z2分別為進、出口端管路的特征阻抗：Z1=ρfc1/A1，Z2=ρfc2/A2。

采用傳遞矩陣（6）式和（7）～（9）式，得入射聲壓分別與透射和反射聲壓之比為：

以聲阻抗矩陣表示時，端口1和2之間有：

入射聲壓與透射和反射聲壓之比相應(yīng)為：

入射波功率Wi、反射波功率Wr和透射波功率Wt與其聲壓幅值關(guān)系為：

傳輸損失TL為：

采用第二節(jié)中獲得的錐管元件的傳遞矩陣進行計算。對于不同錐角的錐管，傳遞矩陣計算結(jié)果見圖3，以此計算錐管所在管路中反射、透射聲能與入射聲能之比及其總和，見圖5。由圖中可見，隨頻率升高，反射聲能減小，相應(yīng)地透射聲能增大，而反射、透射聲能之和與入射聲能比值保持為1。在錐管進、出口管徑及變徑比一定時，低頻的反射系數(shù)約為0.8，即透射系數(shù)為0.2，但隨頻率升高，相對于大錐角錐管，小錐角錐管的反射聲能較少，透射聲能較大。以傳遞損失表示于圖6中，變徑比約為4的錐管，低頻傳遞損失最大約為6.8 dB，到高頻，小錐角錐管的傳遞損失逐漸減小，而大錐角（20°）錐管的傳遞損失仍能達到6 dB。

4 結(jié) 論

本文以船舶管路系統(tǒng)中的典型管件之一錐管為對象，考慮平均流速隨錐管軸向的變化，推導了聲傳遞矩陣的解析解及特定情況下的簡化形式；以一般管路元件的聲傳遞矩陣或阻抗矩陣為輸入?yún)?shù)，給出了聲傳遞效果評估的計算公式。

通過算例給出的計算結(jié)果，得到以下結(jié)論：

（1）雖然船舶管路特別是水管路中流速較低，但由于多普勒頻移效應(yīng)，流速對管路聲傳遞特性還有細微影響，特別在管路聲共振的頻率附近，會降低共振幅值；

（2）在工程所需要的一定變徑比下，增大錐角，即減小錐管長度，將增大聲傳遞損失，對管系降噪有利，但同時會使流動引起的二次噪聲增加，因此應(yīng)綜合考慮。

[1]Eisenberg N A，Kao T W.Propagation of sound through a variable-area duct with a steady compressible flow[J].J Acoust.Soc.Am.,1971,49(1):169-176.

[2]Easwaran V,Munjal M L.Plane wave analysis of conical and exponential pipes with incompressible mean flow[J].J Sound and Vibration,1992,152(1):73-93.

[3]Easwaran V,Munjal M L.Transfer matrix modeling of hyperbolic and parabolic ducts with incompressible mean flow[J].J Acoust.Soc.Am.,1991,90(4):2163-2172.

[4]Miles J H.Verification of a one-dimensional analysis of sound propagation in a vriable-area duct without flow[J].J Acoust.Soc.Am.,1982,72(2):621-625.

[5]Gupta V H,Easwaran V,Munjal M L.A modified segmentation approach for analyzing plane wave propagation in non-uniform ducts with mean flow[J].J Sound and Vibration,1995,182(5):697-707.

[6]Gupta V H.A note on three-dimensional effects in segmentation approach for analysis of one-dimensional waves in ducts of varying cross-sectional area[J].J Sound and Vibration,1995,182(2):323-327.

[7]Arenas J P,Crocker M J.Asymptotic solutions for the acoustic wave propagation in a duct with varying cross-section[C]//Seventh International Congress on Sound and Vibration,July,2000.Germany,2000.