侯 磊

（海軍駐武漢四三八廠軍事代表室，武漢 430060）

1 引 言

船舶主尺度優(yōu)化設(shè)計(jì)是船舶總體設(shè)計(jì)中最基本、最重要的工作之一。主尺度的選擇直接關(guān)系到船舶的總體性能和經(jīng)濟(jì)性。尋找一種好的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法無(wú)疑有重要意義。由于船舶航行環(huán)節(jié)的多變性和船舶本身技術(shù)性能的復(fù)雜性，采用傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法獲得多目標(biāo)優(yōu)化的最佳船體主尺度是相當(dāng)困難的。許多作者探討了進(jìn)化算法在船舶設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[1-4]，這些研究大多都是基于經(jīng)典方法將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)后求解。由于事先設(shè)定了偏好信息，縮減了搜索空間，將不可避免地遺漏更好的可行解，而系統(tǒng)地改變先驗(yàn)值并不能保證Pareto最優(yōu)解能夠在前沿上均勻分布。

粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization,PSO）是一種新興的進(jìn)化計(jì)算技術(shù)，它是由Kennedy和E-berhart[5]受鳥群覓食行為的啟發(fā)于1995年提出的。PSO保留了基于種群的全局搜索策略，采用簡(jiǎn)單的速度位移模型，它特有的記憶能力使其可以動(dòng)態(tài)跟蹤當(dāng)前的搜索情況以調(diào)整其搜索策略，具有較強(qiáng)的全局收斂能力和魯棒性，且不需要借助問題的特征信息。PSO作為一種高效的并行搜索算法，非常適于對(duì)復(fù)雜環(huán)境中優(yōu)化問題的求解。1999年，Mooro和Chapman[6-7]首先在他們未公開發(fā)表的文稿中提出擴(kuò)展PSO求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，稱之為MOPSO算法，隨后出現(xiàn)了基本框架結(jié)構(gòu)大致相同的二十多種MOPSO算法[7]。目前，MOPSO算法已經(jīng)運(yùn)用到運(yùn)籌學(xué)、電力、化工、機(jī)械、經(jīng)濟(jì)學(xué)、圖像處理等領(lǐng)域，研究?jī)?nèi)容主要集中在參數(shù)選擇、拓?fù)涞慕Y(jié)構(gòu)形式、多種群結(jié)構(gòu)、自適應(yīng)算法以及理論和應(yīng)用等方面。

對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題，當(dāng)Pareto最優(yōu)解集求出來之后，還需要挑選出最后的折衷解或最優(yōu)解。這是一個(gè)給對(duì)象系統(tǒng)做出全局性、整體性評(píng)價(jià)的工作[8-9]。

本文提出了解決多目標(biāo)優(yōu)化問題的兩階段求解思路，將多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法與決策方法結(jié)合起來，討論了船舶主尺度論證中的優(yōu)化和決策問題。對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題，采用基于Pareto占優(yōu)的多目標(biāo)粒子群算法（σ-MOPSO）求出多目標(biāo)問題的最優(yōu)解，然后采用距離理想解最近的決策方法，對(duì)Pareto最優(yōu)解集合給出了排序。文中討論了一艘散裝船概念設(shè)計(jì)階段主尺度確定的實(shí)例。

2 多目標(biāo)粒子群優(yōu)化和求解

對(duì)于n個(gè)目標(biāo)函數(shù)，l個(gè)優(yōu)化變量，I個(gè)等式約束和J個(gè)不等式約束的多目標(biāo)最小化優(yōu)化問題，通?？梢员硎鰹槿缦滦问剑?/p>

在多目標(biāo)優(yōu)化中，由于目標(biāo)之間相互沖突，很難找到一個(gè)真正意義上的最優(yōu)解，而是存在一系列解，其特點(diǎn)為至少存在一個(gè)目標(biāo)優(yōu)于其他所有的解，這樣的解稱之為非支配解，或Pareto解，這些解的集合即為Pareto最優(yōu)解集。求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的主要任務(wù)是求得該優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解集。

在PSO方法中，粒子（又稱為微粒）在超微搜索空間飛行，假設(shè)一個(gè)微粒群有m個(gè)微粒組成，每個(gè)微粒代表D維搜索空間中的一個(gè)解，其中第i個(gè)微粒的空間位置為xi=（xi1,xi2,…,xiD），i=1,2,…,m;第i個(gè)微粒所經(jīng)歷的最優(yōu)位置稱為其個(gè)體歷史最優(yōu)位置，記為pi=（pi1,pi2,…,piD）,又稱個(gè)體最優(yōu)微粒或者pbest；同時(shí)，每個(gè)微粒還具有各自飛行速度vi=（vi1,vi2,…,viD）。所有微粒經(jīng)歷過的最優(yōu)位置稱為全局最優(yōu)位置，記為pg=（pg1,pg2,…,pgd），又稱為全局最優(yōu)微粒、領(lǐng)導(dǎo)（leader）、領(lǐng)導(dǎo)微?；?gbest。 在單目標(biāo)PSO算法中，微粒的更新公式和速度更新公式分別為：

其中，C1和C2分別是學(xué)習(xí)認(rèn)知因子和社會(huì)認(rèn)知因子，w為慣性因子。r1，r2∈ [0, 1]，是服從均勻分布的隨機(jī)變量。wvi（t）是微粒先前的飛行公式，又稱為微粒動(dòng)能，表明微粒在搜索空間中移動(dòng)的能力，其值越大，越有利于全局搜索，其值小則利于局部搜索，即通過參數(shù)w進(jìn)行控制。C1r1（pi-xi（t ））是認(rèn)知學(xué)習(xí)部分，表明微粒自身經(jīng)驗(yàn)對(duì)于當(dāng)前搜索傾向的線性吸引程度，并受到C1r1的隨機(jī)調(diào)整，是對(duì)微粒所積累經(jīng)驗(yàn)的利用。C2r2（pg-xi（t ））是社會(huì)認(rèn)知部分，表示微粒學(xué)習(xí)其他微粒經(jīng)驗(yàn)的過程，這里也是一種線性吸引，體現(xiàn)了微粒間信息的共享和社會(huì)協(xié)作。pg的定義與種群拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)直接相關(guān)。

對(duì)于多目標(biāo)問題，通常需要考慮Pareto解的數(shù)量、解的均勻性以及精確性。由于多目標(biāo)優(yōu)化問題的解集為非占優(yōu)解構(gòu)成，因此對(duì)（2）式的擴(kuò)展用于多目標(biāo)優(yōu)化問題求解，還需要考慮的地方包括：a）兩個(gè)粒子之間如何判斷哪個(gè)更優(yōu)；b）個(gè)體極值和全局極值的選取；c）如何保持粒子的多樣性；d）是否施加對(duì)粒子的擾動(dòng)等問題。許多作者對(duì)這些問題進(jìn)行了研究。Moore和Chapman基于Pareto占優(yōu)，采用環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，當(dāng)要選擇一個(gè)個(gè)體最優(yōu)時(shí)，從其列表中任意選擇一個(gè)即可[6]。Ray和Liew[10]結(jié)合進(jìn)化技巧采用最近鄰居密度估計(jì)方法提高多樣性，根據(jù)密度值采用輪盤選擇模式選擇領(lǐng)導(dǎo)。Coello等[11]采用外部檔案保持每個(gè)粒子的飛行經(jīng)驗(yàn)。Li[12]則將多目標(biāo)遺傳算法—NSGA II[13]的主要機(jī)制合并到了PSO方法。Lechuga和Rowe[14]借用小生境技術(shù)進(jìn)行PSO指導(dǎo)搜索，并將粒子沿Pareto前沿?cái)U(kuò)散。Raquel和Naval[15]適用Pareto占優(yōu)和擁擠距離方法選擇全局最優(yōu)粒子。

本文采用Mostaghim和Teich提出的一種選擇領(lǐng)導(dǎo)的σ-MOPSO方法[16]。它可以改進(jìn)MOPSO方的收斂性和多樣性。該方法賦予群和外部檔案中每個(gè)粒子一個(gè)σ值，對(duì)于兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的情況，可以定義f2=α f1上所有點(diǎn)的σ值為：

圖1給出了兩個(gè)目標(biāo)空間中粒子的σ值示意圖。

為選擇粒子的領(lǐng)導(dǎo)，每個(gè)粒子選擇外部檔案中與其σ值最接近的粒子作為其領(lǐng)導(dǎo)，但σ的使用使得PSO的選擇壓力更高，在某些困難情況下導(dǎo)致早熟收斂。該方法在決策變量空間上使用了擾動(dòng)算子RT。該算子相當(dāng)于進(jìn)化算法中的變異算子，它可以給每個(gè)粒子當(dāng)前位置附加一個(gè)任意的擾動(dòng)

RT是]間的任意隨機(jī)值，以保證粒子在任意方向中的位置更新的可能性。σ-MOPSO方法的流程示意圖見圖2。

對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解，還需要加上一個(gè)決策環(huán)節(jié)。當(dāng)Pareto最優(yōu)解集求出來之后，還需要根據(jù)設(shè)計(jì)者的偏好挑選出最后的折衷解或者最優(yōu)解?，F(xiàn)行有很多的決策方法，本文采用距離理想解最近的方法獲得Pareto解的排序。

為了使各個(gè)目標(biāo)函數(shù)盡可能小，可以先分別求出各目標(biāo)函數(shù)的最小值，然后讓各目標(biāo)盡量接近各自的極小值來獲得原來問題的解?？梢圆捎萌缦潞瘮?shù)定義和理想解的距離值[19]：

3 數(shù)值算例和討論

本文考慮6個(gè)決策變量、3個(gè)目標(biāo)函數(shù)和14個(gè)約束的散裝貨船多目標(biāo)船型論證優(yōu)化問題[17-18]，計(jì)算模型見附錄。

a.設(shè)計(jì)變量的選擇

選擇船長(zhǎng)L、船寬B、型深D、吃水T和方形系數(shù)CB等5個(gè)主尺度和航速Vk（kn）作為設(shè)計(jì)變量，即

b.約束條件的確定

本例子共有如下14個(gè)約束條件：

一共有3個(gè)目標(biāo)函數(shù)：運(yùn)輸成本Tc最小，空船重量Ls最小和年貨運(yùn)量Ac最大。

3.1 單目標(biāo)優(yōu)化計(jì)算

這里首先使用序列二次規(guī)劃方法（SQP）對(duì)單個(gè)目標(biāo)函數(shù)分別計(jì)算，并且和文獻(xiàn)[18]中共軛梯度方法的結(jié)果進(jìn)行了比較，見表1。對(duì)于最小運(yùn)輸成本設(shè)計(jì)情況，本文和文獻(xiàn)[18]有細(xì)微的偏差，其余兩個(gè)情況的結(jié)果均相同。

表1 單目標(biāo)優(yōu)化計(jì)算結(jié)果比較Tab.1 Comparison among single criterion optimization results

3.2 多目標(biāo)粒子群優(yōu)化

σ-MOPSO 方法的參數(shù)設(shè)置為：w=0.4，RT=0.07，C1=2，C2=2,種群為200，迭代次數(shù)300。外部存檔集大小200。一共得到200個(gè)Pareto最優(yōu)解。這些Pareto解用散點(diǎn)表示在圖3～5中。從多目標(biāo)優(yōu)化問題的定義來說，這些200個(gè)解都能夠作為問題（1）的解。這是多目標(biāo)優(yōu)化問題解的特點(diǎn)，它能夠給設(shè)計(jì)者更多的選擇空間。

從圖中可以看到，所有Pareto解的分布是比較均勻的。

采用和每個(gè)極值距離最短的決策方法，利用表1中的結(jié)果，根據(jù)距離由近至遠(yuǎn)得到前5個(gè)備選方案，如表2所示。選取排序第1的方案（定義為A方案）作為最終的滿意解，它用“■”標(biāo)注在圖3～5中。

圖中還用實(shí)線給出了兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間的Pareto前沿。

表2 多目標(biāo)優(yōu)化解的排序結(jié)果Tab.2 Ranking results for multiobjective optimization

從圖3～5中可以看出，方案A的空船重量最小，運(yùn)輸成本比較低，但是年貨運(yùn)量最小。從圖4，5可以得知，A方案位于Pareto前沿上，說明方案A在Ls－Ac，Ls－Tc兩兩目標(biāo)之間是很滿意的解。但是，A在圖3中卻離開Pareto前沿比較遠(yuǎn)。這正是Pareto解的特征，即不可能在每個(gè)目標(biāo)值上均是最優(yōu)的。

值得注意的是，不同的決策方法會(huì)得到完全不同的最終滿意解。這里給出的決策方法，是基于單個(gè)設(shè)計(jì)者或者課題組的決策意見，對(duì)于實(shí)際的船舶設(shè)計(jì)，還需要考慮船東等更多人的意見。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)船型主尺度多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，提出了兩階段求解的方法，即先基于多目標(biāo)粒子群方法求出Pareto最優(yōu)解集，再使用距離極值最近的排序方法對(duì)Pareto最優(yōu)解給出了排序。對(duì)散裝貨船概念設(shè)計(jì)階段的主尺度優(yōu)化算例結(jié)果表明，本文的兩階段求解方法，能夠迅速、客觀有效選擇合理的船舶主尺度。在船型方案論證中應(yīng)用良好，能夠給設(shè)計(jì)者和船東更多的選擇余地。

這種兩階段綜合方法也能夠用在船舶設(shè)計(jì)的其他領(lǐng)域。

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