李 娜， 趙鳳群， 王苗苗

(西安理工大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710054)

0 引 言

工程實際中存在大量受非保守力作用的結(jié)構(gòu)或構(gòu)件.例如,在有阻尼介質(zhì)中運(yùn)動的物體表面所受摩擦力的方向隨物體變形而改變,因此變形體的表面摩擦力為非保守力.再如,儲油罐內(nèi)液體的壓力、輸送管道中介質(zhì)的粘滯阻力等都屬于非保守力.

有關(guān)非保守力作用結(jié)構(gòu)變形的較早研究可見Bolotin的專著[1]和Herrmann的綜述文章[2].Leipholz 在文獻(xiàn)[3]中采用Liapunov方法分別分析了梁和矩形板結(jié)構(gòu)在切向隨動載荷作用下的彈性穩(wěn)定性問題，并給出了結(jié)構(gòu)小振幅振動的固有頻率與載荷參數(shù)的特征關(guān)系曲線.武際可[4]、Vitaliani[5]、 Detinko[6]等采用有限元法分別計算了端部集中非保守力作用懸臂梁和半圓拱的靜態(tài)大變形問題.本文考慮了梁自身轉(zhuǎn)動慣性的影響，對受沿軸線分布隨動切向力作用非保守簡支梁的動力學(xué)行為進(jìn)行了研究.

1 系統(tǒng)方程

本文研究如圖1所示的切向均布隨從力作用下的屈曲簡支梁.當(dāng)考慮軸向力作用時，其非線性動力學(xué)方程可表示為:

(1)

圖1 切向均布隨從力作用下的屈曲簡支梁

w|x=0=w|x=l=0

(2)

(3)

設(shè)撓度函數(shù)具有形式

(4)

(5)

(5)式變形為：

(6)

各個量的單位分別是：α-N/kg·m,β-1/m2·s2,γ-1/s,q-N/kg·m,f-m/s2.

2 擾動時系統(tǒng)的非線性振動與混沌現(xiàn)象分析

擾動時系統(tǒng)的非線性方程為

(7)

將(7)式化為一階的微分方程組，即：

取α=1,β=10,γ=0.5,f=20,ω=π.當(dāng)0

圖2 系統(tǒng)(7)的分岔圖及局部放大圖

當(dāng)0

圖3 q=5時的時程曲線、相圖、龐加萊圖

隨著q的增大，系統(tǒng)做倍周期運(yùn)動，如取q=10，此時相應(yīng)的時程曲線、相圖和龐加萊圖見圖4(a)、圖4(b)、圖4(c),從圖中可以看出系統(tǒng)此時為2周期運(yùn)動.

圖4 q=10時的時程曲線、相圖、龐加萊圖

當(dāng)q=14.25時相應(yīng)的時程曲線、相圖和龐加萊圖見圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)，從圖中可以看出系統(tǒng)此時為4周期運(yùn)動.

圖5 q=14.25時的時程曲線、相圖、龐加萊圖

q繼續(xù)增大直到q>15.7，系統(tǒng)經(jīng)過一系列的倍周期分岔進(jìn)入了混沌狀態(tài)，如取q=16.5，此時相應(yīng)的相圖和龐加萊圖見圖6(a)、圖6(b).

圖6 q=16.5時的相圖、龐加萊圖

圖7 q=17.7時的時程曲線、相圖、龐加萊圖

當(dāng)17.4

q繼續(xù)增大直到q>18，系統(tǒng)經(jīng)過周期窗口進(jìn)入了混沌狀態(tài)，如取q=25，其相圖和龐加萊圖見圖8(a)、圖8(b)，在龐加萊圖上形成了一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點，說明系統(tǒng)進(jìn)入了混沌狀態(tài).

圖8 q=25時的相圖、龐加萊圖

3 結(jié)束語

本文對切向均布隨從力作用下屈曲簡支梁的動力學(xué)特性進(jìn)行了研究，分析了均布隨從力的變化對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響，均布隨從力在不同的取值范圍內(nèi)，系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的動力學(xué)特性.分別用時程曲線、相圖和龐加萊圖方法發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)的周期運(yùn)動及混沌運(yùn)動，并分析了系統(tǒng)隨均布隨從力變化的分岔行為.

參考文獻(xiàn)

[1] V V Bolotin. Non-conservative Problems of the Theory of Elastic Stability[M]. Oxford: Pergamon Press, 1963.

[2] G Herrmann. Stability of equilibrium of elastic systems subjected to nonconservative forces[J]. Applied Mechanics Review, 1967, 20(1): 103-108.

[3] H Leipholz. Stability of elastic systems[M]. Alphen aan den Rijin: Sijthoff & Noordhoff, 1980.

[4] 武際可, 蘇先樾. 彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定性[M]. 北京: 科學(xué)出版社,1994.

[5] R V Vitaliani, A M Gasparini and A V Seatta. Finite element solution of the stability problem for nonlinear undamped and damped system under nonconservative loading[J]. International Journal of Solids and Structures,1997, 34: 2 497-2 516.

[6] F M Detinko. On the elastic stability of uniform beams and circular arches under non-conservative loading[J].International Journal of Solids and Structures, 2000, 37: 5 505-5 515.