陶為俊，浣 石，朱石堅(jiān)，李曉勇

(1.廣州大學(xué) 工程抗震研究中心，廣州 510405;2.海軍工程大學(xué) 振動(dòng)與噪聲研究所，武漢 430033)

近年來(lái)，關(guān)于非線性隔振系統(tǒng)在各個(gè)領(lǐng)域受到廣泛的重視，并得到普遍的應(yīng)用［1-7］。非線性隔振系統(tǒng)存在許多迥異于線性系統(tǒng)的特殊性能，如共振曲線的偏移與突跳、在一定參數(shù)下可呈現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)特征、內(nèi)共振、吸引子共存等，這些可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)線性系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的某些功能。研究表明:系統(tǒng)在混沌狀態(tài)下具有很好的隔振性能以及能大幅度隔離結(jié)構(gòu)噪聲中的線譜成分，因此在艦艇等動(dòng)力設(shè)備的隔振上有著廣泛的應(yīng)用前景［1］。

自從ueda［2］對(duì)Duffing方程的研究以來(lái)，非線性隔振系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下能夠出現(xiàn)混沌響應(yīng)［3-5］。朱石堅(jiān)［6-8］等對(duì)非線性混沌響應(yīng)進(jìn)行了許多的研究，提出了混沌隔振方法，且做了相應(yīng)的理論、計(jì)算與實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了混沌隔振在被動(dòng)隔振中的可行性，特別是在消除線譜激勵(lì)上有明顯的優(yōu)勢(shì)。然而，混沌隔振需要在非線性條件下才能夠很好的工作，強(qiáng)的非線性對(duì)隔振系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)是十分有利的。

基于上述原因，本文設(shè)計(jì)出連續(xù)線性混沌隔振裝置，對(duì)其力-位移曲線中線性項(xiàng)與非線性項(xiàng)進(jìn)行了分析。以及利用數(shù)值計(jì)算對(duì)特定參數(shù)下的隔振裝置在簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，說(shuō)明隔振裝置具有很好的隔離線譜的能力。該裝置的研究對(duì)其在混沌隔振中的應(yīng)用具有一定的實(shí)際意義。

1 隔振裝置

1.1 幾何模型

分段線性能夠很好的實(shí)現(xiàn)混沌，并且已有一定的應(yīng)用［9-11］，理論上而言，分段線性隔振系統(tǒng)可以有多個(gè)分段，但從工程實(shí)現(xiàn)的角度來(lái)看，其分段數(shù)不可能過(guò)多，一般采用雙線性或三分段線性隔振系統(tǒng)。如果系統(tǒng)的分段數(shù)(以彈簧為例)可以任意的增多，將彈簧從高到低排列，并將其頂端連接起來(lái)，如圖1所示，將線性彈簧用彈性材料來(lái)取代，則分段線性隔振系統(tǒng)中包含了無(wú)限多的分段彈簧，本文稱為連續(xù)線性隔振系統(tǒng)(如圖2所示)。

圖3為設(shè)計(jì)出的混沌隔振裝置，該隔振裝置主要由三個(gè)部分組成:(1)平面板;(2)凹面板;(3)夾心板，其具體功能如下:

(1)平面板:形狀為一長(zhǎng)方體，其功能是將上方的任意荷載通過(guò)平面板轉(zhuǎn)化為面荷載，并作用到夾心板上。其剛度要求很大，在隔振裝置設(shè)計(jì)中不考慮平面板的變形。

圖3 連續(xù)線性隔振裝置圖Fig.3 Continuous linear VIS set-up

(2)夾心板:從圖3中YZ平面看，其由左右兩個(gè)相同的長(zhǎng)方體和中間一個(gè)長(zhǎng)方體組成。其功能是在上方的面荷載作用下，夾心板發(fā)生壓縮變形，在壓縮過(guò)程中，夾心板與凹面板接觸面增大，對(duì)于每一個(gè)接觸部分來(lái)說(shuō)，由于變形很小，認(rèn)為是線性變形。當(dāng)接觸的面積不斷增大，使得整體反力不斷提高，從而實(shí)現(xiàn)非線性。

(3)凹面板:形狀為一長(zhǎng)方體，在其中挖去一個(gè)凹槽，凹槽的形狀根據(jù)具體的情況來(lái)設(shè)計(jì)。其主要功能是通過(guò)上方載荷的大小來(lái)實(shí)現(xiàn)凹面板與夾心板之間的接觸面積，并提供反力。設(shè)計(jì)中不考慮凹面板的壓縮變形。

1.2 工作原理

當(dāng)系統(tǒng)未加任何載荷時(shí)，此時(shí)夾心板與凹面板的接觸位置為左右兩邊的平臺(tái)處。當(dāng)平面板上方作用一載荷時(shí)，平面板向下移動(dòng)，并將載荷傳遞給夾心板，夾心板將產(chǎn)生壓縮變形，如圖2所示。夾心板材料在整個(gè)變形中認(rèn)為是線性的，即對(duì)于每個(gè)已經(jīng)接觸的部分來(lái)說(shuō)，滿足線性關(guān)系，但此時(shí)夾心板與凹面板的接觸面積隨著載荷的增大而增大，因此，系統(tǒng)的整體剛度也越來(lái)越大，從而實(shí)現(xiàn)非線性。從隔振裝置外形來(lái)看，與三明治類似，因此，此隔振模型又可以簡(jiǎn)稱為三明治隔振模型。

1.3 計(jì)算模型

圖4 隔振裝置平面圖Fig.4 VIS plan

根據(jù)理論設(shè)計(jì)，凹面間隙最大高度為:

當(dāng)荷載F在豎直方向上作用在平面板軸心上時(shí)，隔振系統(tǒng)此時(shí)簡(jiǎn)化為一單自由度系統(tǒng)，則根據(jù)豎向力平衡有:

由(2)式可以看出，方程中包含n+1次項(xiàng)。k1為方程的線性項(xiàng)系數(shù)，主要與參數(shù)E、l1、D1、h2有關(guān)，因此，線性項(xiàng)完全由夾心板左右兩個(gè)長(zhǎng)方體的尺寸決定。對(duì)于隔振系統(tǒng)的一次項(xiàng)剛度的調(diào)節(jié)可以通過(guò)夾心板左右兩個(gè)長(zhǎng)方體的尺寸來(lái)調(diào)節(jié)。例如，將夾心板材料模型取為橡膠材料模型，其彈性模量一般介于幾個(gè)MPa到幾十個(gè)MPa之間，其幾何模型參數(shù)分別為h2=0.01 m，D1=0.1 m，l1=0.1 m。通過(guò)計(jì)算，上述參數(shù)下模型的一次項(xiàng)剛度至少可以達(dá)到107，而這個(gè)剛度完全能夠滿足大部分隔振設(shè)備的需要;kn+1為方程的非線性項(xiàng)系數(shù)，主要與參數(shù)E、D、h2有關(guān)，還與凹槽線形有關(guān)，對(duì)于確定的凹槽來(lái)說(shuō)，其主要由中間長(zhǎng)方體尺寸決定，因此，非線性項(xiàng)系數(shù)可以通過(guò)夾心板中間長(zhǎng)方體的幾何尺寸來(lái)調(diào)整。例如取 α =0.01，n=2，則 α-n=104，h2=0.01 m，D=1 m，則非線性項(xiàng)系數(shù)可以達(dá)到1012。而根據(jù)k1、kn+1的計(jì)算公式可以看出，整體剛度的變化主要通過(guò)彈性模量E，寬度D、D1，厚度h2的調(diào)整。

根據(jù)公式(3)可以看出，當(dāng)壓縮位移大于zmax時(shí)，凹槽與上面的彈性材料完全接觸，則此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)橐粋€(gè)線性系統(tǒng)，其剛度由于凹槽存在，使得隔振裝置計(jì)算中出現(xiàn)了一個(gè)附加值P。

根據(jù)k1、kn+1比例可以有下面的關(guān)系:

從式(4)可以看出，當(dāng)0＜α＜1時(shí)，α-n＞1，適當(dāng)減小α，增大指數(shù)n則可以增大α-n，從而增大了kn+1與k1的比例系數(shù)。但指數(shù)n與系數(shù)α在工程實(shí)際中是有限的，n不能太大，α也不能夠太小，一般取α=0.01，n=2 ～4，則 α-n=104～108，則kn+1?k1，其比例關(guān)系還可以通過(guò)夾心板寬度D1、D來(lái)進(jìn)一步調(diào)節(jié)。因此，從理論分析來(lái)看，隔振裝置整體的剛度可以通過(guò)上述參數(shù)的調(diào)節(jié)達(dá)到工程需要，且k1、kn+1的比例關(guān)系也可以通過(guò)參數(shù)的改變來(lái)達(dá)到預(yù)計(jì)比例。

根據(jù)上述理論分析，本文就連續(xù)線性隔振裝置選擇一定的參數(shù)，選擇的模型幾何參數(shù)為:E=5×106Pa，D=0.3 m，l1=0.1 m，D1=0.01 m，l2=0.3 m，h2=0.01 m，n=2，α =0.01，l=0.8 m，H=0.03 m，h1=0.02 m。利用理論進(jìn)行計(jì)算，隔振裝置的凹槽部分的線形如圖5所示，凹槽最大間隙為5.447 mm，而這個(gè)凹槽的線形在工程制作中也是可以簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)的。隔振裝置在靜力情況下的力-位移曲線如圖6所示，其一、三次項(xiàng)剛度系數(shù)分別為 1.0 ×106，1.0 ×1012。

2 隔振系統(tǒng)裝置

根據(jù)上述連續(xù)線性隔振裝置模型，將此隔振裝置應(yīng)用在具體隔振系統(tǒng)中時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)拉壓雙向作用，因此，系統(tǒng)中使用了兩個(gè)隔振器，分別放在被隔振對(duì)象1的上下兩個(gè)位置，下部隔振器直接作用在基礎(chǔ)上，上面的隔振器通過(guò)反力架9，然后再作用在基礎(chǔ)上。其隔振系統(tǒng)裝置圖如圖7所示。

圖7 隔振系統(tǒng)裝置圖Fig.7 VIS set-up

當(dāng)系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下，根據(jù)連續(xù)線性隔振模型，建立其動(dòng)力學(xué)方程為:

當(dāng) -zmax＜X＜zmax時(shí):

當(dāng)X≥zmax或X≤ -zmax時(shí):

其中:n=1，2，3，…。

將方程(5)、(6)無(wú)量綱化處理后則方程變?yōu)?

3 數(shù)值計(jì)算

3.1 非線性動(dòng)力學(xué)行為

混沌動(dòng)力學(xué)計(jì)算研究方法主要采用4階龍格庫(kù)塔法，本文根據(jù)此方法對(duì)上述系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，計(jì)算的初始條件為(0.002，0)，計(jì)算的積分步長(zhǎng)取為激勵(lì)力周期的1/100，激勵(lì)力頻率為43.4 Hz，靜載荷G=2.2×103N，C=1.414×103(N·s/m)。當(dāng)激勵(lì)力幅值為F=7 700 N時(shí)，其系統(tǒng)軌跡為周期4運(yùn)動(dòng)(如圖8所示);當(dāng)激勵(lì)力幅值為F=9 000 N時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)(如圖9所示)，其系統(tǒng)Poincaré圖(如圖10所示)。計(jì)算其最大Lyapunov指數(shù)0.240 7。系統(tǒng)在上述參數(shù)下處于混沌狀態(tài)。隔振系統(tǒng)的振幅在±4 mm以內(nèi)。

為進(jìn)一步分析系統(tǒng)全局動(dòng)力學(xué)特性，對(duì)激勵(lì)力幅值F從0 N～13 500 N范圍內(nèi)進(jìn)行分析，步長(zhǎng)為50 N。得到系統(tǒng)周期及混沌運(yùn)動(dòng)的全局演化過(guò)程如圖11所示。

從圖11可以看出其運(yùn)動(dòng)形式與激勵(lì)力f的全局演化過(guò)程:系統(tǒng)剛開(kāi)始處于P-1周期運(yùn)動(dòng)，接著經(jīng)過(guò)了三個(gè)倍周期分岔，之后是一個(gè)混沌區(qū)和陣發(fā)性混沌區(qū)后，最后轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)新的P-1周期運(yùn)動(dòng)。

3.2 振動(dòng)隔振效果

根據(jù)上述理論與數(shù)值計(jì)算研究，詳細(xì)分析了本文所給定參數(shù)下的Duffing系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性和全局分岔演變過(guò)程。利用上述分析的參數(shù)模型系統(tǒng)，將其應(yīng)用在混沌隔振上，對(duì)比處于混沌狀態(tài)時(shí)的響應(yīng)加速度的功率譜圖與輸入功率譜圖(如圖12，圖13所示)，從圖12，圖13可以看出，當(dāng)輸入為單一頻率的線譜時(shí)，其特征線譜頻率為5.513 3 Hz，功率譜峰值為104.21 dB，其系統(tǒng)的混沌響應(yīng)為一寬頻譜，特征線譜頻率5.513 3 Hz處的功率譜為65.53 dB，因此，通過(guò)對(duì)比分析，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，該系統(tǒng)能夠很好地將線譜的幅值降低，將單一頻率轉(zhuǎn)化為寬頻譜，使得單一集中的能量分散到各個(gè)諧波頻率上，體現(xiàn)了非常好的隔振效果。

4 結(jié)論

根據(jù)混沌隔振原理設(shè)計(jì)了連續(xù)線性隔振裝置，該裝置能夠很好的實(shí)現(xiàn)強(qiáng)非線性，其線性項(xiàng)系數(shù)與非線性系數(shù)完全分開(kāi)，且與模型裝置幾何尺寸一一對(duì)應(yīng)，調(diào)整方便，在工程中有著廣泛的應(yīng)用前景。通過(guò)對(duì)特定的隔振系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，得到了其全局分岔演化過(guò)程，為進(jìn)一步設(shè)計(jì)、調(diào)整、優(yōu)化模型裝置尺寸參數(shù)起到了指導(dǎo)作用。

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