林 力，張 旭，李 云，程光旭

（西安交通大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，西安 710049）

壓縮機(jī)進(jìn)排氣系統(tǒng)產(chǎn)生的壓力脈動(dòng)不僅影響壓縮機(jī)的熱力性能而且會(huì)誘發(fā)管路振動(dòng)。由于壓縮氣體所含的雜質(zhì)會(huì)阻塞阻性消聲器的微孔和多孔材料，抗性消聲器更為廣泛地用于壓縮機(jī)系統(tǒng)以便減弱氣流脈動(dòng)［1］。對(duì)于小型全封閉制冷壓縮機(jī)，薄層的抗性消聲器因?yàn)槟芨行У乩脡嚎s機(jī)有限的內(nèi)部空間，而得到了更多的應(yīng)用。

Munjal［2］推薦傳遞矩陣法用于分析抗性消聲器傳遞損失。這種方法在一維平面波范圍內(nèi)計(jì)算方便，效率高但無(wú)法反映消聲器的高次波效應(yīng)。Kim和Soedel［3］采用模態(tài)展開(kāi)法分析了具有高次波效應(yīng)的三維聲腔的壓力脈動(dòng)。Lai和 Soedel［4－7］采用了相同的方法研究了二維消聲器的壓力脈動(dòng)。但是，Soedel等人［3－7］之前的研究都采用了點(diǎn)聲源模型計(jì)算消聲器的壓力響應(yīng)函數(shù)，而Zhou和Kim［8］指出點(diǎn)聲源模型會(huì)在聲源區(qū)域附近產(chǎn)生數(shù)值收斂的問(wèn)題。為了解決這個(gè)問(wèn)題，Zhou和Kim［8］建議采用面聲源模型計(jì)算壓力響應(yīng)函數(shù)。Kadam和Kim［9］采用了面聲源模型計(jì)算了三維矩形消聲器的四極參數(shù)。

雖然二維消聲器元件的性能在文獻(xiàn)［4，5］中已經(jīng)討論過(guò)，但是由于其采用的點(diǎn)聲源模型在聲源附近存在數(shù)值收斂問(wèn)題，得到壓力響應(yīng)的值不一定準(zhǔn)確。另外，面聲源模型雖然也已經(jīng)在消聲器性能的分析中得到了應(yīng)用［8，9］，但是這些分析的對(duì)象都局限于矩形消聲器。根據(jù)文獻(xiàn)查閱，目前并沒(méi)有有關(guān)二維消聲器傳遞損失分析方面的文獻(xiàn)。因此，本文運(yùn)用模態(tài)展開(kāi)法分析了不同形狀的二維抗性消聲器的傳遞損失。為了克服點(diǎn)聲源模型在源點(diǎn)區(qū)域的數(shù)值收斂問(wèn)題，本文采用面聲源推導(dǎo)了矩形和圓柱形二維消聲器的傳遞損失計(jì)算模型，并將計(jì)算結(jié)果與三維有限元法進(jìn)行了比較、驗(yàn)證。此外，還將一個(gè)二維矩形消聲器傳遞損失的結(jié)果與文獻(xiàn)［10］中提到格林函數(shù)法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較和分析，討論了兩種方法的差異。

1 傳遞損失數(shù)學(xué)模型

在推導(dǎo)不同形狀的二維消聲器的傳遞損失之前，首先對(duì)運(yùn)用模態(tài)展開(kāi)法求解壓力響應(yīng)函數(shù)的方法進(jìn)行簡(jiǎn)要的回顧。傳遞矩陣定義了頻域范圍內(nèi)聲學(xué)系統(tǒng)變量進(jìn)出口的關(guān)系。

圖1 消聲器聲學(xué)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic representation of acoustic system of a muffler

對(duì)于圖1所示的聲學(xué)系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可以表示為：

下標(biāo)1和2分別代表入口和出口。P和Q是聲壓和體積流率的諧振幅。A，B，C，D代表四極參數(shù)。它們可以用壓力響應(yīng)函數(shù)表示如下［3］：

fij表示系統(tǒng)在j點(diǎn)受到單位容積流率的激勵(lì)并同時(shí)阻塞另一點(diǎn)i的壓力響應(yīng)。從方程（2）可知，如果已知聲學(xué)系統(tǒng)的壓力響應(yīng)函數(shù)，那么其相應(yīng)的傳遞矩陣也可以得到。

根據(jù)文獻(xiàn)［2］，使用四極參數(shù)推導(dǎo)的傳遞損失的公式可以如下表示：

Z1和Z2分別是系統(tǒng)入口和出口的特征阻抗。Z1=ρc/S1，Z2=ρc/S2，其中S1和S2分別代表入口和出口管道的截面積。ρ和c分別代表流體介質(zhì)的密度和音速。

正交曲面坐標(biāo)系下的二維非齊次聲波方程可以表示為：

式中，p代表聲壓是質(zhì)量流率，▽2是二維曲面坐標(biāo)系下的拉普拉斯算子［4］：

式中，α1，α2代表一組正交的曲線坐標(biāo)，A1和A2表示拉梅系數(shù)。

1.1 二維矩形消聲器

對(duì)于如圖2所示的薄矩形消聲器，采用矩形坐標(biāo)系：α1=x，α2=y，A1=1，A2=1，進(jìn)行分析。波動(dòng)方程表示為：

圖2 采用面源模型的二維矩形消聲器Fig.2 Rectangular thin muffler element with surface source model

使用正方形面聲源模型，質(zhì)量流率可以表示為：

其中δ（·）是狄拉克函數(shù)，H（·）表示單位階躍函數(shù)，L是正方形聲源的邊長(zhǎng)。（x1，y1）是聲源的中心坐標(biāo)。h是該消聲器的厚度。

使用模態(tài)展開(kāi)法［3］，可以得到源點(diǎn)中心的壓力響應(yīng)函數(shù)：

其中：

式中：Pmn和ωmn分別代表（m，n）階復(fù)模態(tài)振幅和固有圓周頻率。Lx和Ly分別代表矩形消聲器的長(zhǎng)度和寬度。Nmn由下式給出：

由于在面源上的壓力分布不是常數(shù)，壓力響應(yīng)函數(shù)是由計(jì)算面源上壓力響應(yīng)的平均值得到［8］：

令方程（12）中（x，y）=（x1，y1）并且Q=1，可以得到壓力響應(yīng)函數(shù)f11。通過(guò)相同的方法，也可以得到f21，f22，f12。通過(guò)計(jì)算得到的壓力響應(yīng)函數(shù)可以由方程（2）和（3）計(jì)算不同尺寸，不同進(jìn)出口位置的二維矩形消聲器的傳遞損失。

1.2 二維圓柱形消聲器

圖3為常用于小型全封閉制冷壓縮機(jī)的二維圓柱形消聲器。方程（4）采用圓柱坐標(biāo)系：α1=θ，α2=z，A1=r和A2=1，進(jìn)行計(jì)算。其波動(dòng)方程為：

圖3 采用面源模型的二維圓柱形消聲器Fig.3 Cylindrical thin muffler element with surface source model

采用面聲源模型，質(zhì)量流率表示為：

其中Θ代表面源的弧度，Z代表面源的高度。（θ1，z1）是面源中心點(diǎn)的坐標(biāo)。R代表此圓柱的半徑。采用模態(tài)展開(kāi)法，可以得到面源中點(diǎn)的壓力響應(yīng)函數(shù)：

其中：

Pmnl和ωmnl分別代表（m，n，l）階復(fù)模態(tài)振幅和固有圓周頻率。R代表圓柱體的半徑。Lz是圓柱的高。Nmnl由下式給出：

由前述分析可知。由于矩形消聲器在面源上的壓力分布并不均勻，因此平均的壓力響應(yīng)函數(shù)可以定義為：

通過(guò)方程（19）計(jì)算f11，f21，f22和f12，就可以得到圓柱形消聲器的四極參數(shù)和傳遞損失。

2 有限元法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模態(tài)展開(kāi)法推導(dǎo)出的二維薄型消聲器的傳遞損失模型，本節(jié)首先采用聲學(xué)有限元法建立了三維有限元模型。分析采用商用有限元軟件COMSOL［11］。對(duì)1.2節(jié)中提到的圓柱薄形消聲器建立完整的三維有限元模型。其尺寸為：Lz=0.185 m，R=0.07 m，h=0.01 m，Θ=0.142，Z=0.01 m。入口、出口中心點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（0.092 5，0）和（0.092 5，π）。分析選用密度ρ=6.04 kg/m3聲速c=162.9 m/s的冷媒作為介質(zhì)。傳遞損失計(jì)算通過(guò)文獻(xiàn)［2］和文獻(xiàn)［10］中給出的進(jìn)出口的速度和聲壓得到。傳遞損失可以表示為：

其中pin是入口的平均聲壓，uin和uout分別為進(jìn)出口的平均速度值。對(duì)此消聲器建立由8 668個(gè)四面體單元構(gòu)成的網(wǎng)格。該網(wǎng)格所對(duì)應(yīng)的最高頻率為2 000 Hz的單位波長(zhǎng)，其節(jié)點(diǎn)數(shù)為9，滿足聲學(xué)有限元計(jì)算中單位波長(zhǎng)至少為6的基本要求。經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，進(jìn)一步加密網(wǎng)格并不能得到更為精確的傳遞損失計(jì)算結(jié)果。為了抑制進(jìn)口處的壓力反射，進(jìn)口采用平面波輻射邊界條件；為了模擬無(wú)回聲的出口邊界條件，在出口處采用阻抗邊界條件。傳遞損失的計(jì)算范圍為10 Hz到2 000 Hz，分辨率為10 Hz。為了比較三維有限元法和模態(tài)展開(kāi)法的計(jì)算效率，計(jì)算都采用相同配置的計(jì)算機(jī)（CPU：Intel? CoreTM2 2.33GHz，ROM：2.96GB）進(jìn)行。對(duì)于模態(tài)展開(kāi)法，采用面聲源模型對(duì)于200個(gè)頻率步長(zhǎng)的傳遞損失計(jì)算耗費(fèi)的CPU時(shí)間為91 s，而三維有限元法耗費(fèi)的CPU時(shí)間為243 s，該時(shí)間不包括前后處理的時(shí)間。

計(jì)算結(jié)果如圖4中所示，模態(tài)展開(kāi)法得到的計(jì)算結(jié)果與三維有限元法得到的結(jié)果在低頻范圍內(nèi)的結(jié)果相當(dāng)一致。模態(tài)展開(kāi)法得到的結(jié)果反映了消聲器的高次波效應(yīng)。由于模態(tài)展開(kāi)建立的計(jì)算模型是二維的，而有限元法建立的模型本質(zhì)上是三維的，因此兩種方法得到的結(jié)果在1 500 Hz～2 000 Hz范圍內(nèi)有微小的偏差。另外，對(duì)于模態(tài)展開(kāi)法而言，由于參與計(jì)算的模態(tài)數(shù)是有限的（本例中為40 000），因此會(huì)產(chǎn)生一定截?cái)嗾`差，這也是兩種方法計(jì)算結(jié)果差異的原因之一。

圖4 傳遞損失計(jì)算結(jié)果比較Fig.4 Sound transmission loss of a cylindrical thin muffler

圖5 二維矩形消聲器傳遞損失Fig.5 Transmission loss of a two-dimensional rectangular muffler

圖6 平均相對(duì)誤差Fig.6 Averaged relative errors

3 與格林函數(shù)法的比較討論

文獻(xiàn)［10］使用格林函數(shù)法推導(dǎo)了三維矩形消聲器的四極參數(shù)和傳遞損失。該方法同樣可以用于分析計(jì)算二維矩形消聲器的傳遞損失。為了將本文的方法與格林函數(shù)法進(jìn)行比較，選用一尺寸為L(zhǎng)x=0.1 m，Ly=0.08 m，h=0.01 m，進(jìn)出口位置為：（0.02，0.04）和（0.08，0.04）的二維矩形消聲器進(jìn)行計(jì)算。圖5比較了采用兩種方法得到的該消聲器傳遞損失的計(jì)算結(jié)果。從圖5可以看出，當(dāng)選用的面聲源的尺寸控制在較小范圍內(nèi)（本例為L(zhǎng)=0.005 m）時(shí)，采用兩種方法得到的計(jì)算結(jié)果并沒(méi)有顯著的差異。為了比較兩種方法的計(jì)算誤差，對(duì)此消聲器建立了聲學(xué)三維有限元模型進(jìn)行計(jì)算，并將有限元方法得到的傳遞損失作為標(biāo)準(zhǔn)，比較模態(tài)展開(kāi)法和格林函數(shù)法的計(jì)算結(jié)果的誤差。誤差定義式由下式給出：

從圖6中可以看出，模態(tài)展開(kāi)法和格林函數(shù)法計(jì)算結(jié)果的誤差都隨著面源尺寸的不斷增加而增加，而且格林函數(shù)法的誤差相對(duì)于模態(tài)展開(kāi)法的誤差隨面源邊長(zhǎng)增加得更快。對(duì)于格林函數(shù)法，此方法是建立在面源上均勻速度分布［10］的假設(shè)上的，該假設(shè)只能在進(jìn)出口的尺寸比相關(guān)波長(zhǎng)尺寸小得多的條件下才成立。但是隨著面聲源的尺寸不斷加大，這一條件并不能得到滿足，因此計(jì)算的誤差也隨之增大。而對(duì)于模態(tài)展開(kāi)法，在推導(dǎo)其壓力響應(yīng)函數(shù)時(shí)，主要的過(guò)程是對(duì)質(zhì)量流率點(diǎn)源在進(jìn)出口面上對(duì)壓力響應(yīng)進(jìn)行積分，然后通過(guò)求解壓力響應(yīng)的平均值得到相應(yīng)的四極參數(shù)，在此過(guò)程中并不需要假設(shè)面源上速度的均勻分布。因此，當(dāng)面聲源尺寸相對(duì)較大時(shí)，采用模態(tài)展開(kāi)法進(jìn)行計(jì)算的精度較格林函數(shù)法更高。另一方面，從計(jì)算效率來(lái)看，由于模態(tài)展開(kāi)法相對(duì)于格林函數(shù)法在計(jì)算四極參數(shù)時(shí)需要多一個(gè)步驟，即求解壓力響應(yīng)在面源上的平均值［8］，因此耗費(fèi)更多的計(jì)算時(shí)間。在本例的計(jì)算中，格林函數(shù)法耗費(fèi)的CPU時(shí)間為13 s而模態(tài)展開(kāi)法為75 s。因此在計(jì)算二維消聲器的傳遞損失時(shí)到底采用哪種方法還需要根據(jù)具體的要求進(jìn)行選擇。如果面源的尺寸比較小，選用格林函數(shù)法具有較高的計(jì)算效率。但是當(dāng)面源尺寸增加時(shí)，模態(tài)展開(kāi)法的計(jì)算精度更高。

4 結(jié)論

采用模態(tài)展開(kāi)法和面源模型建立了矩形和圓柱形二維消聲器的傳遞損失計(jì)算模型，并通過(guò)有限元法驗(yàn)證了該方法的正確性。通過(guò)與三維有限元法分析比較，模態(tài)展開(kāi)法在計(jì)算二維矩形和二維圓柱形消聲器的傳遞損失時(shí)具有更高的計(jì)算效率。另外，還與格林函數(shù)法進(jìn)行了比較。如果面源的尺寸較小，選用格林函數(shù)法需要的計(jì)算時(shí)間較少，但是當(dāng)面源尺寸不能滿足速度均勻分布的假設(shè)時(shí)，格林函數(shù)法與模態(tài)展開(kāi)法相比誤差較大。

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