王本德， 周惠成， 李 敏， 王國(guó)利， 刁艷芳

（大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院，遼寧大連 116024）

0 引 言

文獻(xiàn)［1、2］中提出的利用降雨預(yù)報(bào)信息動(dòng)態(tài)控制汛限水位的推理模式，簡(jiǎn)稱(chēng)推理模式，已在碧流河、葠窩、白龜山、桓仁、于橋、丹江口、大伙房水庫(kù)等編制或應(yīng)用，取得了既安全，又充分利用洪水資源的效果.

推理模式依據(jù)降雨預(yù)報(bào)實(shí)際值的統(tǒng)計(jì)分布律，令設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)洪水暴雨事件為E，且假定“事件E在無(wú)雨預(yù)報(bào)的漏報(bào)條件下發(fā)生的概率趨于零，屬不可能事件；在大暴雨預(yù)報(bào)條件下發(fā)生的概率極高，屬于可能事件”.基于上述假定，在汛限水位動(dòng)態(tài)控制域內(nèi)，相應(yīng)建立的推理模式是：若無(wú)雨或小雨預(yù)報(bào)，則水位控制在上限；若中雨預(yù)報(bào)，則將水位控制在中線；若有大雨或暴雨預(yù)報(bào)，則庫(kù)水位控制在下限或低于原設(shè)計(jì)汛限水位.

推理模式僅計(jì)算單一條件風(fēng)險(xiǎn)，如“無(wú)雨”預(yù)報(bào)發(fā)生漏報(bào)x≥0.1事件條件下發(fā)生設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)暴雨洪水事件E的概率計(jì)算公式：p（E，x≥0.1）＝p（x≥0.1）×p（E）＜p（E）（p（E）為設(shè)計(jì)暴雨洪水頻率）.

不難看出，推理模式推廣應(yīng)用尚存在兩個(gè)主要問(wèn)題：之一是基于降雨預(yù)報(bào)水平構(gòu)建的推理模式所做的假定尚需證明；之二是推理模式風(fēng)險(xiǎn)分析中，僅給出單一條件風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算式是不完備的，事件E的發(fā)生應(yīng)以無(wú)雨至暴雨以上5個(gè)量級(jí)降雨互斥完備事件之一發(fā)生為條件，并需在各種設(shè)計(jì)頻率暴雨實(shí)際發(fā)生信息不完全條件下估計(jì)相應(yīng)的概率.這兩個(gè)問(wèn)題是構(gòu)建合理、安全推理模式的關(guān)鍵，深入研究它們既有理論意義又有實(shí)用價(jià)值.

目前看，貝葉斯定理是在不完全信息下，對(duì)部分未知的狀態(tài)用主觀概率估計(jì)，然后用其公式對(duì)發(fā)生概率進(jìn)行修正確定的常用方法.為此本文嘗試應(yīng)用該定理，期望研究成果能證明原推理模式假定的合理性，給出新的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算方法，進(jìn)而構(gòu)建有理論依據(jù)的新推理模式，為進(jìn)一步推廣應(yīng)用汛限水位動(dòng)態(tài)控制方法，安全利用洪水資源作貢獻(xiàn).

1 貝葉斯定理概述

英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯（Thomas Bayes）于1763年提出貝葉斯定理，目前已形成一整套理論與方法，在自然科學(xué)及國(guó)民經(jīng)濟(jì)的許多領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用.其基本原理是：

要采取的行動(dòng)所取決的某種自然狀態(tài)是客觀的且未知的，但有可能通過(guò)判斷和采樣獲得有關(guān)自然狀態(tài)的信息.初始信息稱(chēng)先驗(yàn)信息，在采樣基礎(chǔ)上可獲得新信息，并可對(duì)先驗(yàn)信息進(jìn)行修正，使得決策依據(jù)的信息更接近于實(shí)際.它打破了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)派的局限性，為一系列信息綜合推斷和決策分析過(guò)程奠定了基礎(chǔ).

該定理表述了給定事件E發(fā)生時(shí)事件e i的發(fā)生概率與給定事件ei發(fā)生時(shí)事件E的發(fā)生概率二者之間的關(guān)系［3］，即

可見(jiàn)，貝葉斯定理是在已知條件概率密度函數(shù)p（E︱ei）和先驗(yàn)概率p（ei）的條件下，利用式（1）轉(zhuǎn)換為后驗(yàn)概率p（ei︱E）.

2 利用貝葉斯定理擬解決的命題與實(shí)例

2.1 擬解決的命題

針對(duì)引言中的兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，擬利用貝葉斯定理解決如下命題：

汛期利用降雨預(yù)報(bào)信息動(dòng)態(tài)控制水庫(kù)汛限水位時(shí)，若已知某設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)暴雨量事件E的發(fā)生是以不同量級(jí)e i降雨預(yù)報(bào)之一的發(fā)生為條件，且又知事件ei的先驗(yàn)概率p（ei）和條件概率p（E︱ei），求事件E發(fā)生于各級(jí)降雨預(yù)報(bào)的后驗(yàn)概率p（ei︱E），并與單一條件風(fēng)險(xiǎn)比較，構(gòu)建汛限水位動(dòng)態(tài)控制新推理模式；利用其最高或最低概率證明現(xiàn)行推理模式假定成立與否.

此命題中的各級(jí)降雨預(yù)報(bào)事件ei，即無(wú)雨、小雨、中雨、大雨、暴雨以上的5個(gè)量級(jí)是互斥的，其樣本空間I＝e1＋…＋ei＋…＋en是完備的，基于氣象部門(mén)若干年作業(yè)預(yù)報(bào)實(shí)踐，因樣本容量較大，在頻率替代概率的假定條件下，即可求出先驗(yàn)概率p（ei）.

命題中“某量級(jí)設(shè)計(jì)暴雨量”事件E，是以不同量級(jí)ei降雨預(yù)報(bào)漏報(bào)之一發(fā)生為條件，是客觀的.可據(jù)資料分析出不同量級(jí)降雨預(yù)報(bào)的實(shí)際降雨分布，進(jìn)而求得條件概率p（E︱ei）和全概率p（E）.

2.2 求解上述命題的實(shí)例

為便于與文獻(xiàn)［1、2］提出的現(xiàn)行推理模式的風(fēng)險(xiǎn)分析方法比較，仍以當(dāng)時(shí)選用的白龜山水庫(kù)為實(shí)例，求解上述命題.

（1）互斥事件及其先驗(yàn)概率

仍以當(dāng)時(shí)選用的1997～2002年平頂山市氣象臺(tái)汛期702 d的未來(lái)24 h降雨預(yù)報(bào)與水庫(kù)實(shí)際的24 h流域平均降雨資料進(jìn)行分析.尊重氣象部門(mén)習(xí)慣，互斥事件ei分5級(jí)（見(jiàn)表1）.互斥且完備事件ei發(fā)生的先驗(yàn)概率p（ei），可根據(jù)發(fā)生頻次利用古典概率p（ei）＝M／N計(jì)算.

表1 互斥事件ei先驗(yàn)概率Tab.1 The prior probabilities of exclusive events ei

（2）“某量級(jí)設(shè)計(jì)暴雨量”事件E及其條件概率

白龜山水庫(kù)依據(jù)降雨預(yù)報(bào)信息動(dòng)態(tài)控制汛限水位時(shí)，發(fā)生“某量級(jí)設(shè)計(jì)暴雨量”事件Ej，是根據(jù)水庫(kù)上游淹沒(méi)允許、下游城市防洪標(biāo)準(zhǔn)及大壩設(shè)計(jì)防洪標(biāo)準(zhǔn)確定的.該水庫(kù)具有一日主暴雨量控制洪峰與洪量特點(diǎn)，不同頻率設(shè)計(jì)暴雨量見(jiàn)表2.水庫(kù)大壩校核、設(shè)計(jì)洪水頻率分別是0.05%、1%；下游城市防洪標(biāo)準(zhǔn)與上游淹沒(méi)允許標(biāo)準(zhǔn)分別是2%、5%.

表2 不同設(shè)計(jì)頻率洪水暴雨量Tab.2 Storm rainfall of each design flood frequency

根據(jù)水庫(kù)流域汛期降雨預(yù)報(bào)和實(shí)際的6 a資料，引用“柯?tīng)柲缏宸驕?zhǔn)則”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，證明降雨預(yù)報(bào)的實(shí)際降雨分布規(guī)律符合Ρ－Ⅲ型分布［4］，其概率密度函數(shù)為

式中：Γ（α）為α的伽瑪函數(shù)；α、β、a0為3個(gè)參數(shù).

上述的統(tǒng)計(jì)參數(shù)采用適線法確定，結(jié)果列入表3.

表3 降雨預(yù)報(bào)不同量級(jí)的實(shí)際降雨分布參數(shù)Tab.3 The actual rainfall distribution parameters of each order of rainfall forecasting

依據(jù)表3之參數(shù)，用式（2）的概率分布函數(shù)編程計(jì)算事件Ej（j＝1，2，3，4）發(fā)生的條件概率，結(jié)果見(jiàn)表4.

（3）后驗(yàn)概率p（ei︱Ej）的計(jì)算

將表1和表4相應(yīng)的數(shù)據(jù)代入貝葉斯式（1）即可算出事件Ej（j＝1，2，3，4）發(fā)生條件下各量級(jí)降雨預(yù)報(bào)事件ei出現(xiàn)的概率（后驗(yàn)概率），結(jié)果見(jiàn)表5.

表4 事件Ej發(fā)生的條件概率p（Ej︱ei）Tab.4 Conditional probabilities p（Ej｜ei）when event Ej happened

表5 事件Ej發(fā)生條件下事件e i后驗(yàn)概率Tab.5 Posterior probability of event ei when event Ej happened

（4）基于后驗(yàn)概率構(gòu)建新的汛限水位動(dòng)態(tài)控制推理模式及其風(fēng)險(xiǎn)

白龜山水庫(kù)原設(shè)計(jì)主汛限水位102 m，汛限水位動(dòng)態(tài)控制研究階段設(shè)計(jì)的約束域?yàn)?02.0～ 102.6 m.現(xiàn)行的汛限水位動(dòng)態(tài)控制推理模式只分兩種條件，且沒(méi)有給出風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)，不夠完善，即：

a.如預(yù)報(bào)未來(lái)24 h有大雨以下量級(jí)，則汛限水位為102.3～102.6 m；

b.如預(yù)報(bào)未來(lái)24 h有大雨以上量級(jí)，則汛限水位為102.0～102.3 m.

本文應(yīng)用貝葉斯公式推斷的后驗(yàn)概率描述風(fēng)險(xiǎn)，相應(yīng)構(gòu)建的汛限水位動(dòng)態(tài)控制新推理模式更為完備，且為決策者提供風(fēng)險(xiǎn)信息，即：

a.如預(yù)報(bào)未來(lái)24 h無(wú)雨，事件E4～E1條件下無(wú)雨事件發(fā)生的后驗(yàn)概率（即風(fēng)險(xiǎn)率，以下同）在2.654 71×10－24～2.933 89×10－11，則汛限水位控制為上限102.6 m；

b.如預(yù)報(bào)未來(lái)24 h小雨，事件E4～E1條件下小雨事件發(fā)生的后驗(yàn)概率在8.165 23×10－10～5.630 14×10－5，則汛限水位控制為中上限102.5 m；

c.如預(yù)報(bào)未來(lái)24 h中雨，事件E4～E1條件下中雨事件發(fā)生的后驗(yàn)概率在1.068 51×10－3～8.579 47×10－3，則汛限水位控制為中限102.3 m；

d.如預(yù)報(bào)未來(lái)24 h大雨，事件E4～E1條件下大雨事件發(fā)生的后驗(yàn)概率在2.398 02×10－2～7.734 27×10－2，則汛限水位控制為102.0 m（原設(shè)計(jì)汛限水位，即控制域下限）；

e.如預(yù)報(bào)未來(lái)24 h暴雨以上量級(jí)，事件E4～E1條件下暴雨以上量級(jí)事件發(fā)生的后驗(yàn)概率在0.914 021～0.974 951，為提高防洪效益，則汛限水位為101.7 m（考慮預(yù)泄能力，低于原設(shè)計(jì)汛限水位0.3 m）.

上述5種情況分別與表5的行號(hào)相對(duì)應(yīng).

（5）兩種方法風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算比較

鑒于單一條件風(fēng)險(xiǎn)式計(jì)算是白龜山水庫(kù)現(xiàn)行方法推理模式的建?；A(chǔ)，而新方法構(gòu)建推理模式的依據(jù)是貝葉斯推斷的后驗(yàn)概率，所以表6列出兩種方法概率計(jì)算比較，作為評(píng)價(jià)其安全性的依據(jù).

表6 兩種方法概率計(jì)算比較Tab.6 Comparison of probabilities calculated by two methods

從表6可見(jiàn)，因單一條件風(fēng)險(xiǎn)式是不完備條件下的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算結(jié)果，所以忽大忽小沒(méi)有規(guī)律，各事件概率之和不歸一，預(yù)報(bào)量級(jí)為e1、e2時(shí)，單一條件風(fēng)險(xiǎn)p（x＞ei）×p（E）計(jì)算的概率大于貝葉斯公式計(jì)算的后驗(yàn)概率，而e3、e4、e5則相反.另外，p（x＞ei）是降雨漏報(bào)的概率，p（E）是年最大法推求的設(shè)計(jì)暴雨洪水的頻率，二者相乘的合理性缺乏論證.而貝葉斯公式推斷的后驗(yàn)概率，是考慮互斥完備事件的條件組合概率的權(quán)系數(shù)，計(jì)算合理、有規(guī)律且歸一，可為決策者提供偏安全的信息.

3 結(jié) 論

（1）根據(jù)白龜山水庫(kù)汛期預(yù)報(bào)和實(shí)際降雨資料，應(yīng)用貝葉斯定理推斷出：若發(fā)布無(wú)雨預(yù)報(bào)，則校核標(biāo)準(zhǔn)暴雨洪水E4條件下的“無(wú)雨”事件發(fā)生的后驗(yàn)概率為2.654 71×10－24，趨于零；如發(fā)布暴雨以上量級(jí)預(yù)報(bào)，則校核標(biāo)準(zhǔn)暴雨洪水E4條件下的“暴雨以上量級(jí)”事件發(fā)生的后驗(yàn)概率為0.974 951，接近1.初步證明現(xiàn)行的汛限水位動(dòng)態(tài)控制推理模式建模的假定是成立的.

（2）貝葉斯定理推斷出的后驗(yàn)概率，是互斥完備事件的條件組合概率的權(quán)系數(shù)，比現(xiàn)行的單一條件概率計(jì)算結(jié)果有規(guī)律，符合實(shí)際，可用于描述風(fēng)險(xiǎn).其可信度會(huì)隨著時(shí)序延長(zhǎng)、新信息的獲得與先驗(yàn)概率修正而提高.

（3）基于貝葉斯定理推斷出的后驗(yàn)概率構(gòu)建的汛限水位動(dòng)態(tài)控制推理模式比現(xiàn)行推理模式結(jié)構(gòu)合理、邏輯性強(qiáng)，配合相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)信息為決策者提供支持，可操作性強(qiáng).

（4）本文研究方法具有理論意義和實(shí)用價(jià)值，期望它能起到拋磚引玉的作用，使更多水庫(kù)參與驗(yàn)證現(xiàn)行的推理模式建模假定的合理性，提出風(fēng)險(xiǎn)小、效益大、可操作性強(qiáng)的汛限水位動(dòng)態(tài)控制新推理模式，為水利部進(jìn)一步推廣應(yīng)用汛限水位動(dòng)態(tài)控制方法作貢獻(xiàn).

［1］王本德，周惠成，王國(guó)利.水庫(kù)汛限水位動(dòng)態(tài)控制理論與方法及其應(yīng)用［M］.北京：中國(guó)水利水電出版社，2006

［2］周惠成，王本德，王國(guó)利，等.水庫(kù)汛限水位動(dòng)態(tài)控制方法研究［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，2006

［3］梅理特F S.工程技術(shù)常用數(shù)學(xué)［M］.丁 仁，陳三平，譯.北京：科學(xué)出版社，1978

［4］大連理工大學(xué)土木水利學(xué)院，河南省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，河南省白龜山水庫(kù)管理局.白龜山水庫(kù)汛限水位設(shè)計(jì)與運(yùn)行研究技術(shù)總報(bào)告［R］.大連：大連理工大學(xué)，2004