●張惠民 (柯橋中學(xué) 浙江紹興 312030)

數(shù)形結(jié)合 化難為易

●張惠民 (柯橋中學(xué) 浙江紹興 312030)

1 考試要求

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法．主要體現(xiàn)在“對(duì)文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言及圖形語(yǔ)言的互相轉(zhuǎn)化”上，即既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使代數(shù)的精確性與幾何的直觀性巧妙、和諧地結(jié)合，使抽象思維與形象思維有機(jī)地相互配合．解析幾何和線性規(guī)劃分別是“以數(shù)輔形”和“以形助數(shù)”的典型代表，而向量則是數(shù)形結(jié)合的典范．相對(duì)而言，“以形助數(shù)”對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)和化歸能力的要求更高，需要把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形與位置關(guān)系，把抽象思維轉(zhuǎn)化為形象思維，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的．

2 考點(diǎn)回顧

在每年的高考試題中，考查數(shù)形結(jié)合思想的試題總占有一席之地．主要表現(xiàn)在:方程解的個(gè)數(shù)、參數(shù)的范圍、解不等式、值域與最值、線性規(guī)劃問(wèn)題等．而浙江省高考試卷中的向量題則是常出常新，已成為高考特色和亮點(diǎn)之一．

3 命題走勢(shì)

縱觀近幾年浙江省的數(shù)學(xué)高考試題，選擇題和填空題的中檔題十分強(qiáng)調(diào)試題的幾何背景．在新課程更加注重形的展示與量的刻畫(huà)的大背景下，數(shù)形結(jié)合思想的考查只可能進(jìn)一步加強(qiáng)，因此必須引起高度的重視．

4 典例剖析

(2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析記g(x)=ax3，h(x)=3x－1，則 g(x)≥h(x)在［－1，1］上恒成立．

(1)當(dāng)a=0時(shí)，不滿足條件;

(2)當(dāng)a＜0時(shí)，由圖1知，不滿足條件;

(3)當(dāng)a＞0時(shí)，由圖2知，在第三象限只需g(－1)≥h(－1)即可，解得 a≤4．在第一象限，若g(x)與 h(x)的圖像相切于點(diǎn)(x0，y0)，則

圖1

圖2

圖3

圖4

評(píng)析本題出現(xiàn)了3個(gè)不同的向量α，β和β－α，通過(guò)向量減法的三角形法則，可將條件濃縮到一個(gè)三角形中．向量的模對(duì)應(yīng)三角形的邊長(zhǎng)，向量的夾角對(duì)應(yīng)三角形的一個(gè)外角，這樣很自然地把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了三角形中邊長(zhǎng)度的范圍問(wèn)題．

圖5

圖6

精題集粹

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A={(x，y)|x+y≤，x≥1，y≥0}，則平面區(qū)域 B={(x+y，x－y)|(x，y)∈A}的面積為 ( )

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

參考答案

1．B 2．D 3．C

4．a(chǎn)＞6或a＜ －6