●劉紅霞 (平湖中學(xué) 浙江嘉興 314200) ●龔 雷 (杭州市第九中學(xué) 浙江杭州 310020)

人教版“條件概率”探究引例的隨機(jī)模擬設(shè)計(jì)

●劉紅霞 (平湖中學(xué) 浙江嘉興 314200) ●龔 雷 (杭州市第九中學(xué) 浙江杭州 310020)

在人教版教材必修3中學(xué)生學(xué)習(xí)了電腦隨機(jī)模擬方法，針對(duì)人教版教材選修2-3(本文所提到的教材均指人教版教材)中“條件概率”一節(jié)的一個(gè)探究引例:

3張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由3名同學(xué)無放回地抽取，問最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是否比前2名同學(xué)?。?/p>

學(xué)生很自然地提出了這樣一個(gè)問題:能否用隨機(jī)模擬方法驗(yàn)證這一問題?可惜教材對(duì)此只字未提．筆者曾就此問題與一些數(shù)學(xué)教師討論過，有不少數(shù)學(xué)教師并不能獨(dú)立設(shè)計(jì)出用EXCEL進(jìn)行隨機(jī)模擬的方法，這直接引發(fā)了筆者寫作本文的沖動(dòng)．

將3張獎(jiǎng)券分別編號(hào)為0，1，2，并規(guī)定0號(hào)為中獎(jiǎng)券．第1位同學(xué)的隨機(jī)結(jié)果很容易模擬，在EXCEL中用函數(shù)INT(3*RAND())即可生成{0，1，2}中一個(gè)隨機(jī)數(shù)(以下用A表示此數(shù))．這里的RAND()是一個(gè)隨機(jī)函數(shù)，生成區(qū)間(0，1)上的連續(xù)型隨機(jī)數(shù)(實(shí)質(zhì)上仍是離散的);INT()是取整函數(shù)(教材中介紹的整數(shù)型隨機(jī)函數(shù)RANDBETWEEN()在EXCEL的典型安裝方案中一般沒有裝入，所以這里采用這2個(gè)更基本的函數(shù)，使得這個(gè)方法更具普適性)．這些內(nèi)容學(xué)生在必修3中都已經(jīng)有所接觸．

如何模擬第2位同學(xué)的摸獎(jiǎng)結(jié)果?這是一個(gè)難點(diǎn)．用函數(shù)INT(2*RAND())(以下用D表示此數(shù))可以模擬在剩下2張中任取一張的2種結(jié)果，但這并不是其抽到的真實(shí)號(hào)碼．我們可以這樣來理解，在第1位同學(xué)抽取以后，剩下的獎(jiǎng)券按原來次序重新編號(hào)為0和1，而隨機(jī)數(shù)D正是這個(gè)重新編號(hào)以后的號(hào)碼．這樣一來，能否還原這2張獎(jiǎng)券的原先號(hào)碼就成為解決這個(gè)問題的關(guān)鍵．通過分析不難發(fā)現(xiàn):原號(hào)碼B與新號(hào)碼D之間滿足函數(shù)關(guān)系:

在EXCEL中，可利用邏輯函數(shù)“=IF(A1＜=D1，1，0)”來實(shí)現(xiàn)這一函數(shù)，其含義是:當(dāng) A1≤D1時(shí)取1，否則取0．

1 隨機(jī)模擬的基本思路和方法

解決了第2位同學(xué)的模擬，最后一位就不再復(fù)雜了，可以利用“3位同學(xué)的獎(jiǎng)號(hào)總和為3”這一規(guī)律來設(shè)計(jì)．于是，就得到了用EXCEL進(jìn)行隨機(jī)模擬的基本思路和方法，具體操作如下:

(1)在A1單元格輸入“=INT(3*RAND())”;

(2)在D1單元格輸入“=INT(2*RAND())”;

(3)在E1 單元格輸入“=IF(A1 ＜ =D1，1，0)”;

(4)在B1單元格輸入“=C1+E1”;

(5)在C1單元格輸入“=3－A1－B1”;

(6)選中A1:E1區(qū)域，利用復(fù)制句柄將其復(fù)制N行，得N次隨機(jī)試驗(yàn)，表1為20次隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．

接下來只需利用EXCEL的統(tǒng)計(jì)和計(jì)算功能計(jì)算頻數(shù)和頻率即可，這里不再贅述．

表1 20次隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果

2 條件概率公式在此隨機(jī)模擬中的直觀解釋

這個(gè)隨機(jī)模擬過程可以較為直觀解釋為什么第2位學(xué)生的中獎(jiǎng)概率不是而是．事實(shí)上，雖然D列中0的頻率接近于，但這并不全部都是真正的中獎(jiǎng)券．例如當(dāng)?shù)?位同學(xué)抽到0號(hào)簽時(shí)，剩下的號(hào)簽都進(jìn)行了重新編號(hào)，1號(hào)改成了0號(hào)．因此當(dāng)且僅當(dāng)A列不為0時(shí)，D列的0號(hào)簽才是B列的0號(hào)簽．例如在表1中，D列共有9個(gè)0，接近，但其中第9，11，17次試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的 A列是0，此時(shí)中獎(jiǎng)簽已經(jīng)被第1位同學(xué)抽取，D列的0并不是第2位同學(xué)抽取的真實(shí)簽號(hào)，第2位同學(xué)抽取的真實(shí)號(hào)簽是1，所以B列中0的個(gè)數(shù)為6，接近．我們可以按對(duì)應(yīng)的 A列取值{0，1，2}，將其分為3類，這3類基本上是平均分布的．其中對(duì)應(yīng)于A列取值為1和2的2類才是真正的中獎(jiǎng)券．因此D列中真正的中獎(jiǎng)券頻率約為:×=．這恰好印證了條件概率公式:

3 隨機(jī)模擬結(jié)果的精致化

隨機(jī)模擬只能用頻率來近似估計(jì)概率，控制隨機(jī)誤差的唯一方法是增加試驗(yàn)次數(shù)．雖然電腦模擬使得增加試驗(yàn)次數(shù)并不困難，但這也同時(shí)帶來了對(duì)精度的進(jìn)一步追求．從某種意義上來講，單憑這樣的隨機(jī)模擬要讓學(xué)生相信“3位同學(xué)的獲獎(jiǎng)概率都一樣”這個(gè)結(jié)論沒有太大的說服力．

解決這個(gè)問題可以從2條思路考慮:一是從改進(jìn)這個(gè)隨機(jī)模擬方法的角度思考;一是從結(jié)合其他解題思路(例如教材上的用古典概型的概率計(jì)算公式分析)．后者不是本文所要論述的問題，這里著重研究一下前面這個(gè)思路．

我們知道，頻率在概率附近擺動(dòng)，而且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率越接近概率．但這并不是說200次試驗(yàn)所得的頻率值一定比100次試驗(yàn)所得的頻率值更接近概率．在教材必修3中采用了用折線圖方法反映隨著試驗(yàn)次數(shù)增加頻率的變化趨勢．我們這里也可以采用這種方法把隨機(jī)模擬的結(jié)果更精致化(如表2)．

表2 中獎(jiǎng)?lì)l率和中獎(jiǎng)?lì)l數(shù)

據(jù)此畫出如圖1所示的折線圖就能很清晰地說明了3個(gè)頻率越來越接近的趨勢:

圖1

4 不是題外話

曾經(jīng)有一位教育家說過:“如果學(xué)生沒有按照我們教的方法去學(xué)，那么我們就按照學(xué)生學(xué)的方法來教”．有些教師喜歡讓學(xué)生按照自己教的方法學(xué)，很少注意到改進(jìn)自己的教學(xué)方法以適應(yīng)學(xué)生學(xué)的方法．這正是新課程改革所期望改變的．

在學(xué)習(xí)理解概率的過程中，電腦隨機(jī)模擬方法雖然不見得是所有學(xué)生都喜愛的方法，但肯定是部分學(xué)生所喜歡的，可惜有一些教師沒有認(rèn)真體會(huì)新課程理念，沒有給這一部分學(xué)生以足夠的關(guān)注．這大概也就是“關(guān)注平均分”與“關(guān)注學(xué)生個(gè)性”之間的不同點(diǎn)之一吧?本文也無非就是對(duì)這種教育理念的一次實(shí)踐．的極線為x=－t．拋物線在點(diǎn)A處的切線與極線x=－t交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作直線AP的垂線MN，垂足為M，則直線MN恒過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)Q，且點(diǎn)M的軌跡是以PQ為直徑的圓(點(diǎn)Q除外)．

故直線MN通過x軸上一點(diǎn)Q(p－t，0)．

當(dāng)x1=t時(shí)，MN的方程為y=0，顯然直線MN過 x軸上一點(diǎn) Q(p－t，0)．

因?yàn)閠是定值，所以Q(p－t，0)為x軸上的一定點(diǎn)，故直線MN恒過x軸上一定點(diǎn)Q(p－t，0)．

由于P，Q 是 2個(gè)定點(diǎn)，且∠PMQ=90°，因此點(diǎn)M的軌跡是以PQ為直徑的圓(點(diǎn)Q除外)．