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        數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想滲透

        2011-02-01 06:30:14244000安徽省銅陵市二中章東紅
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年12期
        關(guān)鍵詞:數(shù)形方程分類

        244000 安徽省銅陵市二中 章東紅

        數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想滲透

        244000 安徽省銅陵市二中 章東紅

        中學(xué)數(shù)學(xué)中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法很多,最基本的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等.如果將數(shù)學(xué)知識比喻成數(shù)學(xué)學(xué)科的血肉,那么數(shù)學(xué)思想方法就是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂,教學(xué)中適時滲透數(shù)學(xué)思想方法,提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng),乃是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓所在.

        1 化歸思想

        化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié),它是數(shù)學(xué)解決問題的基本方法:在解決數(shù)學(xué)問題時,人們常常是將需要解決的問題,通過某種轉(zhuǎn)化手段,歸結(jié)為另一個相對較容易解決的或者已經(jīng)有解決程式的問題,以求得問題的解答.

        分析 很顯然,此為解關(guān)于(x-1)為主元的一元二次方程.如果把方程展開化簡后再求解會非常麻煩,所以可根據(jù)方程的特點,將含有(x-1)的未知項換為y,這樣原方程就轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程,問題就簡單化了.

        2 數(shù)形結(jié)合思想

        數(shù)形結(jié)合的思想,可以使學(xué)生從不同的側(cè)面理解問題,加深對問題的認(rèn)識,提供解決問題的方法,有利于培養(yǎng)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.

        圖1

        如圖1,線段AB=4.P為AB上一動點.設(shè) PA=x,PB=y.CA⊥AB,DB⊥AB,A,B 為垂足,且CA=1,BD=2,

        易知當(dāng)點P,C,D在同一條直線上時,PC+PD最小.

        作CE垂直DB的延長線于E.,易知EC=4,ED=2+1=3,

        例3 求|x-5|+|x-6|的最小值.

        分析 此題可通過去掉絕對值分類討論.即分為三類 x<5,5≤x≤6,x>6,然后比較其結(jié)果,但比較繁瑣,利用數(shù)形結(jié)合思想較為簡單,一目了然.

        解 將x看作實數(shù)軸上的任意一點,那么此問題轉(zhuǎn)化為求實數(shù)軸的任意一點x到5的距離與到6的距離的和的最小值.

        如圖2:顯然可看出其最小值為1,即x應(yīng)是5,6之間的點到其的距離之和.

        圖2

        3 分類討論思想

        分類源于生活,存在于生活,分類思想是自然科學(xué)乃至社會科學(xué)中的基本邏輯方法,也是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想方法,它始終貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)中.

        例4 已知△ABC中,AB=20,AC=15,BC邊上的高為12,求△ABC的面積.

        分析 應(yīng)分△ABC是銳角三角形或鈍角三角形兩種情況分別求之.

        解 AD是△ABC的高,由勾股定理,得

        圖3

        圖4

        (1)若∠C為銳角,如圖3所示,則BC=BD+CD=16+9=25,

        (2)若∠C為鈍角,如圖4所示,則BC=BD–CD=16–9=7,

        即△ABC的面積為150或42.

        例5 一次函數(shù)y=kx+b的自變量取值范圍是-3≤x≤6,相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是 -5≤y≤ -2,則這個一次函數(shù)的解析式為__.

        分析 本題的自變量x的取值和函數(shù)值的取值的對應(yīng)關(guān)系不明確.

        ①若k>0,則當(dāng)x= -3時,y= -5,x=6時y= -2;于是有

        4 方程思想

        方程思想就是將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組問題.通過解方程(或方程組)或者運用方程的性質(zhì)來分

        故所求的函數(shù)解析式是析、轉(zhuǎn)化問題,使問題得以解決.

        例6 △ABC 的三邊 a,b,c滿足 b=8-c,a2-bc-12a+52=0,試確定△ABC的形狀.

        解析 由題意得b+c=8,bc=a2-12a+52,

        于是有了根與系數(shù)關(guān)系的模型,不妨設(shè)b,c是方程t2-8t+a2-12a+52=0的兩實根,

        即 -4(a -6)2≥0,所以 a=6.

        從而得b=c=4,因此△ABC是等腰三角形.

        5 函數(shù)思想

        函數(shù)思想是客觀世界中事物運動變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的反映.它的本質(zhì)是變量之間的對應(yīng).辯證唯物主義認(rèn)為,世界上一切事物都是處在運動、變化和發(fā)展的過程中,這就要求我們教學(xué)中重視函數(shù)的思想方法的教學(xué).

        例7 已知方程x2-(2-a)x+(5-a)=0的兩個根都大于2,求實數(shù)a的取值范圍.

        分析 此題直接解不容易,我們不妨先構(gòu)造函數(shù)y=x2-(2-a)x+(5-a),則方程的兩根都大于2的等價條件是

        當(dāng)然,初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法還有很多,象觀察與實驗、分析與綜合、歸納與類比以及集合論的思想方法,幾何變換的思想方法等等.我們在教學(xué)實踐中應(yīng)充分挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想方法,有目的、有意識、有計劃地進行滲透、介紹和強調(diào),精心設(shè)計每一個單元、每一堂課的教學(xué)目標(biāo)以及問題提出、情境創(chuàng)設(shè)等教學(xué)過程的各個環(huán)節(jié).只有讓其掌握了數(shù)學(xué)思想方法這把金鑰匙,才能使其學(xué)好數(shù)學(xué),提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),增強創(chuàng)新意識,提高創(chuàng)新能力.

        20110319)

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