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        例析二次函數(shù)的圖象變換

        2011-02-01 06:30:14315800浙江省寧波市北侖區(qū)顧國和中學
        中學數(shù)學雜志 2011年12期
        關鍵詞:拋物線

        315800 浙江省寧波市北侖區(qū)顧國和中學 楊 艷

        例析二次函數(shù)的圖象變換

        315800 浙江省寧波市北侖區(qū)顧國和中學 楊 艷

        圖形的平移、軸對稱、旋轉常見于直線形中,在曲線形——圓中也偶有所見.然而,也有以二次函數(shù)圖像為背景的圖形變換,它的一些性質與直線形的圖形變換有許多相通之處.詳見下表:

        有必要指出,二次函數(shù)y=a(x+m)2+k的圖象平移、軸對稱、旋轉時,圖象的形狀不變,而開口方向要么相同,要么相反,即二次項系數(shù)不變,變化的只是它的位置,即關鍵是頂點(-m,k)位置的改變.對于拋物線的幾種變換,可以歸結為:一看頂點位置,二看開口方向.

        下面例舉拋物線的平移、軸對稱、旋轉問題的求解策略.

        1 拋物線的平移

        一般地,拋物線的平移有以下規(guī)律:

        例1 已知拋物線y=x2+2x-3,如何平移此拋物線使其圖象與拋物線y=x2-4x+7的圖象完全重合.

        可知,將拋物線y=x2+2x-3向右平移3個單位,再向上平移7個單位,與拋物線y=x2-4x+7的圖象完全重合

        .

        例2 已知y=2x2的圖象是拋物線,若拋物線不動,把x軸,y軸分別向上、向右平移2個單位,那么在新坐標系下拋物線的解析式是

        解析 反其道而行之,即將y=2x2的圖象分別向下和向左平移2個單位即可.選B.

        2 拋物線的軸對稱

        我們知道,拋物線y=a(x+m)2+k的頂點坐標為(-m,k),拋物線在對稱過程中僅僅是頂點坐標改變,方向相同或相反.由于點(-m,k)關于x軸的對稱點為(-m,-k),關于 y軸的對稱點為(m,k).所以可得,拋物線y=a(x+m)2+k關于x軸對稱(開口方向相反)的圖象是y=-a(x+m)2-k,關于y軸的對稱(開口方向相同)圖象是y=a(x-m)2+k.

        例3 作拋物線A關于x軸對稱的拋物線B,再將拋物線B向左平移2個單位,向上平移1個單位,得到的拋物線C的函數(shù)解析式是y=2(x+1)2-1,則拋物線A所對應的函數(shù)表達式是

        解析 將拋物線C:y=2(x+1)2-1向下平移1個單位,再向右平移2個單位,得拋物線B:y=2(x-1)2-2;再將B關于x軸對稱,得拋物線A:y=-2(x-1)2+2.故選 D.

        更一般地,拋物線y=a(x+m)2+k關于直線y=e(與x軸平行)對稱的拋物線為y=-a(x+m)2+(2ek);拋物線y=a(x+m)2+k關于直線x=f(與y軸平行)對稱的拋物線為y=a[(x-(2f+m)]2+k.

        3 拋物線的旋轉

        這里僅討論拋物線旋轉180°的情形.繞某點旋轉180°,即關于某點中心對稱.已知點(-m,k)關于原點的對稱點為(m,-k),所以拋物線y=a(x+m)2+k繞原點旋轉180°后所得的拋物線為y=-a(x-m)2-k.

        例4 將拋物線y=x2-2x+3繞原點旋轉180°,則所得的拋物線的函數(shù)解析式為__.

        解析 將拋物線y=x2-2x+3化為y=(x-1)2+2,其頂點坐標為(1,2).頂點(1,2)繞原點旋轉 180°后為(-1,-2),所以,旋轉后的拋物線為y= -(x+1)2-2.

        實際上,拋物線的旋轉中心不僅限于坐標原點,而具有更一般的規(guī)律.(-m,k)關于點(e,f)的中心對稱點是(2e+m,2f- k).所以 y=a(x+m)2+k關于點(e,f)的中心對稱的拋物線為y=-a[x-(2e+m)]2+(2fk).具體如y=(x-1)2+2關于點(2,3)中心對稱所得的拋物線為y=-(x-3)2+4.

        圖1

        例5 已知二次函數(shù)y=ax2+4ax+4a-1的圖象是C1.

        (1)求 C1關于點 R(1,0)中心對稱的圖象C2的函數(shù)解析式;

        (2)設曲線 C1,C2與 y軸的交點分別為 A,B,當,求a的值.

        解析 由y=a(x+2)2-1,可知拋物線C1的頂點為M(-2,-1).

        由M(-2,-1)關于點 R(1,0)中心對稱的點為N(4,1),以 N(4,1)為頂點,與拋物線 C1關于點 R(1,0)中心對稱的圖象C2也是拋物線,且C1與C2的開口方向相反,故拋物線C2的函數(shù)解析式為y=-a(x-4)2+1,即y= -ax2+8ax-16a+1.

        綜上可見,拋物線的圖象變換遵循一般直線形的變換規(guī)律,而又有其自身的特點.只有深入理解直線形圖形變換的規(guī)律和性質,才能在分析拋物線的圖象變換時做到有效遷移,求解問題時有的放矢,左右逢源,真正地做到具體情況具體分析,舉一隅而三反.

        20110311)

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