100048 首都師大附中 張文娣
巧用中考試題進(jìn)行中考復(fù)習(xí)(2)
100048 首都師大附中 張文娣
(接上期)
變式7 如圖11在梯形ABCD 中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1.
(1)在直線AD上是否存在一點(diǎn)E,使△BCE是直角三角形?若存在,求出AE的長(zhǎng);
(2)若在,說(shuō)明理由.(即把變式6中的“線段”換成“直線”)
分析 存在.分∠BEC=90°,∠BCE=90°,∠CBE=90°三種情況分別求解.
圖11
一題多用變式,就是以教材中的基本例、習(xí)題或中考題為集中目標(biāo),探討該題及其變通形式的應(yīng)用,挖掘基本題目的解題功能,從而提高學(xué)生的解題能力.
通過(guò)對(duì)上述【試題】的解答可以得到圖12.
在圖 12中,若∠A=∠D=∠BMC=90°,則△ABM∽△CDM.
這一結(jié)論有著廣泛的應(yīng)用,現(xiàn)舉幾例說(shuō)明.
圖12
變式1 (2006年山西)如圖13,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊 BC,CD上,如果 AE=4,EF=3,AF=5,那么正方形ABCD的面積等于
圖13
解 因?yàn)锳E2+EF2=AF2=25,
所以∠AEF=90°.
又因?yàn)椤螧=∠C=90°,由例1知△ABE∽△ECF,
變式2 (2006年安徽)如圖14,直線l過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)B,點(diǎn)A,C到l的距離分別為1cm,2cm,則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為__.
圖14
解 由例1知△AMB∽△BNC,
且 AM=1,BM=CN=2.
圖15
變式3 如圖15,邊長(zhǎng)為2的正方形 ABCD,點(diǎn) B在x軸上,C在 y軸上,∠OBC=30°,求 A,D 兩點(diǎn)的坐標(biāo).
解 作DE⊥y軸,AF⊥x軸,垂足分別為E,F(xiàn).
由例1得,△AFB∽△BOC∽△CED,
因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為2,∠OBC=30°,
變式4 如圖16,已知正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為1,E,F(xiàn),G,H 分別為各邊上的點(diǎn),且AE=BF=CG=DH,設(shè) AE長(zhǎng)為 x,正方形 EFGH的面積為S,則S關(guān)于x的函數(shù)大致圖象是
圖16
變式5 (2005年海淀)如圖17,梯形 ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點(diǎn) E在 BC上,且 AE⊥ED,若 BC=12,DC=7,BE ∶EC=1 ∶2,求 AB 的長(zhǎng).
解 因?yàn)锽E ∶EC=1 ∶2,BC=12,
設(shè) BE=x,EC=2x,
則 x+2x=12,解得 x=4.
所以,BE=4,CE=8.
由例1知 △ABE∽△ECD,
圖17
變式6 (2006年河南)如圖18,用形狀相同大小不等的三塊直角三角形木板,恰好能拼成如圖19所示的四邊形ABCD,若AE=4,CE=2BE,這個(gè)四邊形的面積為
__.
解 在矩形ABCD中,因?yàn)镃E=2BE,設(shè)BE=x,CE=2x,AB=CD=y,
由例1知 △ABE∽△ECD
變式7 (2005年浙江)在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖20所示).已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1,2,3,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1,S2,S3,S4,則
圖20
解 因?yàn)樵谥本€l上依次擺放著七個(gè)正方形,由例1 知△1≌△2,△3≌△4,△5≌△6.
變式8 (2008年北京)已知,如圖21,一塊三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的AB邊上,并且使一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,三角板的另一條直角邊與AD交于點(diǎn)Q.
(1)請(qǐng)你寫出此時(shí)圖形中成立的一個(gè)結(jié)論(任選一個(gè));
(2)當(dāng)點(diǎn)P滿足什么條件時(shí),有AQ+BC=CQ,請(qǐng)證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在AD的什么位置時(shí),可證得PC=3PQ,并寫出過(guò)程.
解 (1)△APQ∽△BCP.
(2)當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí),有AQ+BC=CQ.
圖21
證明 如圖22,連接 CQ,延長(zhǎng)QP交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
可證△APQ≌△BPE,則AQ=BE,PQ=PE,
又因?yàn)镃P⊥QE,可得CQ=CE,
所以AQ+BC=CQ.
圖22
證明 如圖23,在正方形ABCD中,
∠A= ∠B=90°,AD=BC=AB,
又因?yàn)橹苯侨前宓捻旤c(diǎn)P在邊AB上,
所以∠1+∠2=180°-∠QPC=90°
因?yàn)?Rt△CBP 中,∠3+∠2=90°,
圖23
變式9 (2008年北京)如圖24,梯形ABCD中,BC∥AD,∠BAD=90°,AD=18,BC=24,AB=m.在線段BC上任取一點(diǎn)P,連接 DP,作射線 PE⊥DP,PE與直線AB交于點(diǎn)E.
(1)當(dāng)CP=6時(shí),試確定點(diǎn)E的位置;
(2)若設(shè)CP=x,BE=y,寫出y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在線段BC上能否存在不同的兩點(diǎn)P1,P2使得按上述作法得到的點(diǎn)E都分別與點(diǎn)A重合,若能,試求出此時(shí)m的取值范圍,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)作DF⊥BC,F(xiàn)為垂足.
當(dāng)PC=6時(shí),
由已知可得,四邊形ABFD是矩形,F(xiàn)C=6,
∴點(diǎn)P與點(diǎn)F重合,又BF⊥FD,
圖24
∴此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合.(2)當(dāng)點(diǎn)P在BF上(即6 <x≤24)時(shí),如圖25.
∵∠EPB+∠DPF=90°,∠EPB+ ∠PEB=90°,
∴∠DPF=∠PEB.
∵∠B=∠PFD=90°
圖25
圖26
綜合以上知
假設(shè)在線段BC上能找到兩個(gè)不同的點(diǎn)P1與P2滿足條件,即方程①有兩個(gè)不相等的正根,
首先要△=(-30)2-4×(144+m2)>0,
(3)解法1 能找到這樣的P點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí),y=EB=m,此時(shí)點(diǎn)P在線段BF上,
解法2 能找到這樣的P點(diǎn).
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí),
∵∠APD=90°,∴點(diǎn)P在以AD為直徑的圓上,設(shè)圓心為Q,則Q為AD的中點(diǎn).
要使在線段BC上能找到兩個(gè)不同的點(diǎn)P1與P2滿足條件,
只要使線段BC與⊙Q相交,即:圓心Q到BC的距離d滿足0<d<
一題多用變式,實(shí)際上是對(duì)基本題目解答后的特征探究與經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用,屬模型解題.經(jīng)常進(jìn)行這種訓(xùn)練,可以培養(yǎng)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)意識(shí),提高解題能力.
(全文完)
20110326)