史振華， 夏鐵成

(上海大學理學院，上海200444)

眾所周知，非線性科學是現(xiàn)代科學的核心，尋找非線性演化方程的精確解是數(shù)學物理研究領域的重要工作之一.到目前為止已出現(xiàn)許多方法，如反散射法［1］、Hirota雙線性方法［2］、Backlund變換法［3］、齊次平衡法［4］、tanh函數(shù)法［5-6］、Exp函數(shù)法［7］、Jacobi橢圓函數(shù)展開法［8-9］、F擴展法［10-12］等.

本研究將運用推廣的方法求解如下(2+1)維Bogoyavlenskii破裂孤子方程：

和(3+1)維Kadomtsev-Petviashvili(K-P)方程

對于一個給定的非線性演化方程，自變量X= (x，y，z，…，t)，因變量為u，即

接下來，按以下步驟來求解u：

步驟1 假設u(x，y，z，…，t)=u(ξ)行波變化，并將式(3)轉變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?/p>

式中，G=G(ξ)，ξ=c1x+c2y+c3z+…+dt，且滿足方程

式中，am，…，a0，c1，c2，c3，…，d，λ，μ為待定常數(shù)，正整數(shù)m可以通過齊次平衡法來確定;

步驟4 通過解方程組，求出常數(shù)am，…，a0，c1，c2，c3，…，d，λ和μ.又由于方程(6)的解是已知的，故可以將am，…，a0，c1，c2，c3，…，d，λ，μ和方程(6)的通解代入式(5)，就可以得到式(3)的行波解.

下面采用該方法求解2個著名的方程.

首先，求解如下(2+1)維Bogoyavlenskii破裂孤子方程：

其等價形式為

將式(7)和(8)進行行波變換，得

因此，可將式(7)和(8)轉化為如下常微分方程：

式中，G=G(ξ)，ξ=c1x+c2y+dt滿足方程

利用齊次平衡法，可以將u(ξ)和v(ξ)表示為

式中，c1，b0，b2，a0，λ和μ為任意常數(shù).

利用式(17)，式(15)和(16)可以寫為

將方程(14)的通解代入式(18)和(19)，可以得到方程(7)和方程(8)的3種形式的精確解.

當λ2-4μ＞0時，得到如下的雙曲函數(shù)解：

當λ2-4μ＜0時，得到如下三角函數(shù)解：

當λ2-4μ=0時，可得如下有理解：

對(3+1)維Kadomtsev-Petviashvili(K-P)方程

同樣可以進行行波變換，得

將方程(26)轉換為

式中，G=G(ξ)，ξ=c1x+c2y+c3z+dt滿足方程

利用齊次平衡法比較式(28)中的u″″和uu″，得到m=2.可以將u(ξ)表示為

式中，c1，c2，c3，a0，λ和μ為任意常數(shù).

利用式(32)，式(31)可以表示為

將方程(30)的通解代入式(33)，可得方程(26)的3種形式的精確解.

當λ2-4μ＞0時，可得到如下雙曲函數(shù)解：

當λ2-4μ＜0時，可得到如下三角函數(shù)解：

當λ2-4μ=0時，可得到如下有理解：

3 結束語

［1］ ABLOWITZ M J，CLARKSONP A.Soliton nonlinear evolution equations and inverse scattering［M］.New York：Cambridge University Press，1991.

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