廖慶斌，李舜酩，王曉東，馬士虎

(1.武漢第二船舶研究所，武漢 430064;2.南京航空航天大學 能源與動力學院，南京 210016)

復雜耦合動力系統(tǒng)振動響應的統(tǒng)計估計方法研究

廖慶斌1，李舜酩2，王曉東1，馬士虎1

(1.武漢第二船舶研究所，武漢 430064;2.南京航空航天大學 能源與動力學院，南京 210016)

復雜耦合動力系統(tǒng)是一種常見的工程力學系統(tǒng)，分析了復雜耦合動力系統(tǒng)振動響應的統(tǒng)計估計問題。首先通過動態(tài)系統(tǒng)的統(tǒng)計能量分析(SEA)方程，應用擾動法推導隨機系統(tǒng)的能量平衡方程，進而推導復雜耦合系統(tǒng)響應的統(tǒng)計估計公式。在分析復雜耦合系統(tǒng)的響應統(tǒng)計估計時，重點分析各種形式激勵對系統(tǒng)響應統(tǒng)計估計的影響以及載荷參數(shù)的確定方法。分析表明，相互獨立的載荷作用是相關載荷作用時的一種特殊情況，它們可以應用統(tǒng)一的計算公式來表達。根據(jù)建立的響應統(tǒng)計估計方法，設計了相應的試驗件，驗證其正確性，試驗結(jié)果表明，應用該推導得到的理論公式，系統(tǒng)響應的相對偏差能有效的減小，得到的能量平均值能夠與試驗值較好地吻合。

耦合動力系統(tǒng);統(tǒng)計分析;載荷參數(shù);功率流;統(tǒng)計能量分析

動力結(jié)構(gòu)的響應特性與結(jié)構(gòu)的構(gòu)成、激勵形式及其激勵頻率有關，在激勵頻率較低時，動力結(jié)構(gòu)只有很少的幾階模態(tài)被激起，這樣應用有限元方法或者邊界元方法就可以精確的得到系統(tǒng)的動態(tài)響應，但是，當動力結(jié)構(gòu)的激勵頻率較高(中頻或者高頻)、結(jié)構(gòu)復雜時，動力結(jié)構(gòu)的模態(tài)被大量的激起，這樣要準確的計算其響應特性就變得非常困難。統(tǒng)計能量分析(Statistical Energy Analysis:SEA)方法正是為了適應這種需要而建立起來的一種動力結(jié)構(gòu)響應分析方法，它能滿足當時航天器的高頻振動預示的需要，并且為分析復雜耦合系統(tǒng)的振動響應提供了可能［1］。和功率流方法一樣，SEA也是應用能量的觀點來表征結(jié)構(gòu)的振動情況。

由于SEA中存在的大量的假設與逼近，使得SEA的有效性和精確性通常是未知的［2］。SEA中的響應統(tǒng)計估計能夠使得分析對象的參數(shù)變化具有可參照性，是衡量SEA分析數(shù)據(jù)可信度的重要手段;同時，根據(jù)其響應統(tǒng)計估計，為后期的結(jié)構(gòu)整體或局部上的改進亦能提供理論上的參考依據(jù)［3］。

Lyon［4］首先開始了對SEA分析結(jié)果統(tǒng)計估計的研究，給出了單點激勵時結(jié)構(gòu)振動響應的統(tǒng)計特性。后來，Davy［5］、Weaver［6］、Langley 和 Cotoni［7］等人在基于SEA的響應統(tǒng)計估計中做了大量的工作，促進了這一研究的發(fā)展［3］。

文獻［8］分析了相關激勵作用下，簡單結(jié)構(gòu)的振動響應的統(tǒng)計估計方法，本文在該文的基礎上，進一步分析復雜耦合動力系統(tǒng)的響應統(tǒng)計估計。首先通過動態(tài)系統(tǒng)SEA能量平衡方程，應用擾動法推導隨機系統(tǒng)的能量平衡方程，進而得到復雜耦合系統(tǒng)響應的統(tǒng)計估計公式。在分析復雜耦合系統(tǒng)的響應統(tǒng)計估計時，重點分析各種形式激勵對系統(tǒng)響應統(tǒng)計估計的影響以及載荷參數(shù)的確定方法。根據(jù)建立起來的復雜耦合動力系統(tǒng)的響應統(tǒng)計估計方法，設計相應的試驗件對其進行試驗驗證。試驗結(jié)果表明，應用本文得到的理論結(jié)果，能與試驗值較好的吻合，相對偏差較小。本文建立起來的響應統(tǒng)計估計方法，計及了各種激勵條件對系統(tǒng)響應統(tǒng)計估計的影響，能夠有效的反映出系統(tǒng)中參數(shù)對各個子系統(tǒng)響應的影響。

1 系統(tǒng)的能量平衡等式

在應用SEA分析系統(tǒng)的動態(tài)特性時，需要首先將系統(tǒng)劃分為若干個子系統(tǒng)。設第j個子系統(tǒng)在振動頻率為ω時的能量表示為Ej，按照Lyon和DeJong的假設［9］，有:

式中:ηj是子系統(tǒng) j的損耗因子，nj是模態(tài)密度，Pin，j是輸入到子系統(tǒng)的外部功率，ηjk是子系統(tǒng)j到子系統(tǒng)k的耦合損耗因子。子系統(tǒng)的能量Ej通過總體隨機系統(tǒng)的能量平均得到，如Pin，j表示的是總體平均能量的輸入，ω表示頻帶的中心頻率。

系統(tǒng)在共振區(qū)時，可以假設系統(tǒng)總能量Ej是系統(tǒng)的動能Tj的兩倍，即

對于帶寬系統(tǒng)，動能Tj與頻帶平均動能關系表示為:

Δ為頻率平均帶寬。同樣，對于輸入能Pin，j有:

式(4)中，Pj為子系統(tǒng)j的功率輸入為頻帶平均功率輸入。這樣，式(1)可以用矩陣的形式表示為:

根據(jù)文獻［7］，對于確定性系統(tǒng)，能量平衡等式表述為:

2 隨機系統(tǒng)的能量平衡等式

對于船舶、車輛和飛機等復雜結(jié)構(gòu)的設計而言，整個結(jié)構(gòu)和其子系統(tǒng)都可能在設計的前期、設計過程中以及設計的后期被修改，或者由于加工的原因使得同一子系統(tǒng)在同一批次的產(chǎn)品中具有不同的特性，為了分析系統(tǒng)的響應統(tǒng)計特性，首先需要將分析系統(tǒng)隨機化。對于隨機系統(tǒng)的分析而言，擾動法能夠有效的分析系統(tǒng)隨機化帶來的影響［11］。

相對于確定性系統(tǒng)，假設輸入功率的確定性部分為Pin，擾動部分為Pran，這樣輸入功率表示為:

同理，對于矩陣D的確定性部分D0和擾動部分Dran有:

這樣，結(jié)合等式(7)，有如下等式成立:

應用擾動理論展開式(9)，忽略二次以上的擾動項后并對等式兩邊取數(shù)學期望，得到:

這樣，由等式(5)、等式(11)和等式(12)，得到:

這就是說，隨機系統(tǒng)的確定性部分D0可以依據(jù)確定性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣來確定。

對于隨機系統(tǒng)的能量平衡等式(7)，可以得到系統(tǒng)的總功率Ptot為:

將等式(9)代入，將上式進一步化為:

根據(jù)系統(tǒng)總體能量一定的觀點，對于隨機系統(tǒng)，系數(shù)矩陣 Dran，jk的作用項，其能量為零，即等式(15)中有:

上式表明響應功率的系數(shù)矩陣，其隨機部分每列的和均為零。

3 復雜耦合系統(tǒng)的響應統(tǒng)計估計

對于要分析的系統(tǒng)，為了評價SEA方法的有效性，需要對SEA的分析結(jié)果進行數(shù)學統(tǒng)計分析，這也就是本文所說的復雜耦合系統(tǒng)響應的統(tǒng)計估計。

根據(jù)前面的分析，由等式(10)、式(11)和式(12)，有:

其中，r2為子系統(tǒng)的相對偏差，αk為載荷類型參數(shù)，αks為耦合系數(shù)，它由子系統(tǒng)s作用于子系統(tǒng)k的特征力決定。其中，m'k和B'k分別為:

由式(20)可知，為了得到子系統(tǒng)的能量方差，就是要確定 Var(Pran，j)和 Var(Dran，ks)的取值，而這兩個參數(shù)又與載荷參數(shù)α直接關聯(lián)，下面分析各種形式激勵下，載荷參數(shù)α的求解。

4 參數(shù)α的取值分析

對于復雜系統(tǒng)，參數(shù)α的取值變得非常復雜，下面分情況討論α的取值。

對于復雜系統(tǒng)，模態(tài)振型依然假設是相互獨立的，這樣主要就是要討論不同的載荷形式下，對參數(shù)α取值的影響。

4.1 不相關多載荷作用的影響

本節(jié)討論N個不相關的載荷作用在系統(tǒng)中不同的子系統(tǒng)上時，參數(shù)α的取值情況。由等式(14)知，系統(tǒng)輸入的總功率為:

文獻［8］中分析了簡單隨機結(jié)構(gòu)中參數(shù)α取值情況，本文進一步分析對于復雜的組合系統(tǒng)，參數(shù)α的取值情況。依據(jù)文獻［9］，載荷參數(shù)α的表達式為:

又設fl為第l個載荷的廣義力，在這種情況下，an表示為:

同樣，為了求得參數(shù)α的值，先假設各個作用力相互獨立，這樣

展開式(29)，只有在l=n并且m=k以及l(fā)=k并且m=n時，其值存在(其它情況下，其值為零)，這樣由式(29)得到:

當組合系統(tǒng)簡化到只有一個子系統(tǒng)(此時子系統(tǒng)就是前面所指的整個系統(tǒng))時，上式變成了一個恒等式。

對于隨機變化的多個相互獨立的分布力作用于各個子系統(tǒng)，記Sfi為作用力fi的自譜;Sfifj為作用力fi和fj的互譜。那么an的表示形式為:

假設每個子系統(tǒng)的輸入功率相同，那么同式(32)一樣，可以將參數(shù)α的值表示為:

同樣，當組合系統(tǒng)簡化到只有一個子系統(tǒng)時，上式也變成了一個恒等式。

4.2 相關激勵作用的影響

上面的討論中，在分析各種受力情況時，均是假設作用力相互獨立，而當激勵力不能當作相互獨立來處理時，上述表達式將極大的復雜化甚至不可解。直接處理相關激勵的作用，根據(jù)工程經(jīng)驗，幾乎是不可行的［12］。為了使得分析相關激勵作用下參數(shù)α的值可行，應用在文獻［8］中提出的相關激勵的解相關方法來處理。

對于作用在系統(tǒng)上的相關載荷 Fj(x)，將其分解為:

式中，θji(x)為分解得到的基函數(shù)，hji為分解系數(shù)。這樣廣義力可以相應的表示為:

在相關激勵作用下，應用式(38)，可以將an表達為:

由于分解后得到的廣義力是相互獨立的，這樣，結(jié)合等式(30)、式(39)和等式(41，可以得到:

式中，參數(shù)αcor，l為系統(tǒng)中第l個子系統(tǒng)上受相關力作用時的值。

這樣，相關力作用下，復雜系統(tǒng)的載荷參數(shù)α為:上式與在假設載荷獨立時的表達式基本是相同的，當載荷獨立時，αcor，l=αl，這也就是說，對于復雜系統(tǒng)而言，激勵獨立作用也可以看成是相關激勵輸入時的一種特殊情況。

應用各個子系統(tǒng)的功率表示方法(這也是不將等式(43)應用等式(39)進一步帶入展開的原因所在)，參數(shù)α可以寫為:

對于隨機變化的多個相關力作用的各個子系統(tǒng)，若通過解相關后，它們的功率仍然相等，那么參數(shù)α可以表示為:

比較等式(32)與等式(44)以及等式(37)與等式(45)可知，在考慮相關激勵對系統(tǒng)的作用時，只需應用文獻［8］給出的方法求得各個子系統(tǒng)受相關力作用時的參數(shù)αcor，l，然后帶入相應的公式就可以得到整個系統(tǒng)的載荷參數(shù)α，但是有一點需要注意的是:在求輸入功率時，應該應用解相關后的激勵力帶入式(45)進行計算。

通過上面的分析可以看出，不相關激勵只是本文所述相關激勵的一種特殊情況，它們可以用統(tǒng)一的公式來表示。

5 板架系統(tǒng)的響應統(tǒng)計估計試驗

5.1 試驗件的構(gòu)成

為驗證上述理論，設計了一套由三塊板連接組成的簡單板架系統(tǒng)，它能示意性的表達出復雜系統(tǒng)中振動功率流的傳遞關系，并且也便于檢驗本文所給出分析理論的正確性。在試驗中，各個參數(shù)(包括模態(tài)密度、耦合損耗因子、內(nèi)部損耗因子等)參照文獻［9］以及文獻［13］中的計算公式和試驗方法得到。

試驗件的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示，從左到右三塊鋁板依次編號為A，B，C，其中，板A和板C的幾何參數(shù)是一樣的，鋁板的密度為ρ=2.7×103kg/m3，彈性模量為7.1 × 1010Pa，泊松比為 0.32，各個板的參數(shù)如表 1所示。

表1 試驗中各個板的參數(shù)Tab.1 Parameters of the experimental plates

試驗時，三塊鋁板通過螺栓連接起來，構(gòu)成一個“工”字形的組合系統(tǒng)，兩塊側(cè)板與中間的板B通過上下兩個鋁制的角鐵固定，整個試驗裝置呈左右對稱結(jié)構(gòu)。

5.2 測試系統(tǒng)

三個激振器通過同一個信號發(fā)生器產(chǎn)生輸入信號:信號發(fā)生器產(chǎn)生的信號通過一個多接口轉(zhuǎn)換頭傳輸?shù)饺齻€功率放大器，然后分別接到三個激振器上，其中兩個激振器作用在板A上，一個激振器作用在板B上。為了表達輸入的隨機性，在板A上任意選定兩個作用點作為激振器的輸入點，同樣，在板B上任意選定一點作為激振器的輸入點。為了構(gòu)造相關輸入，在激振器與側(cè)板的連接間，加一個厚1 mm、寬65 mm的“U”形鋁塊。在試驗件的三個板上分別裝上加速度傳感器:板A上裝有4個，板B上裝有2個，板C上裝有3個，整個測試示意圖如圖1所示。

試驗中時，將試驗件放在軟質(zhì)聚胺脂泡沫上(如圖1)，待各個試驗器件按照圖2連接完成后，開始試驗。

5.3 試驗數(shù)據(jù)分析

為了驗證本文提出的復雜耦合動力系統(tǒng)振動響應的統(tǒng)計分析方法，用公式(1)計算系統(tǒng)中各個部分的振動響應。試驗時，測試頻率的范圍為0.2 kHz～5.0 kHz，采樣頻率為20 kHz，共進行15次測試。在每次測試中，每塊板上加速度傳感器的位置隨機更換3次，即每次測試更換傳感器位置24次(4×2×3)，進行30次采樣(試驗時，連續(xù)采樣一段數(shù)據(jù)信號，分析時將采樣數(shù)據(jù)分成互不重疊的30段處理)，這樣可以得到各個板平均能量隨頻率的變化曲線如圖3所示。圖中平滑曲線為應用SEA方法計算得到的能量平均值(該均值計及了相關激勵作用的影響)，波動曲線為試驗得到的平均值曲線。

圖3 三塊板的平均能量隨頻率變化的對比Fig.3 The comparison of the average energy of three plates contrast with the frequency change

從圖6可以看出，三塊板響應的平均能量從大到小依次為板A，板B，板C。在頻率低于1.5 kHz時，由試驗得到的平均能量與由SEA理論計算得到的平均能量差別較大，這可能是由于以下幾個因素導致的:

(1)在低頻部分，整個系統(tǒng)的模態(tài)重疊率較低，使得輸入能量不能在共振頻帶內(nèi)有效的傳遞。

(2)輸入激勵是經(jīng)阻抗頭用螺桿連接在相應的板上，而這一結(jié)構(gòu)將會在板上產(chǎn)生一個等效質(zhì)量Me，這相當于增加了板上附加質(zhì)量部分，使得測試得到的振動響應量減小，因而由試驗測得的平均能量偏小。

(3)在考慮相關激勵輸入時，本文假定系統(tǒng)是保守耦合的，沒有計及間接耦合的能量損耗［14］，這部分能量損耗導致了試驗測得的響應能量減小。

隨著頻率的增加，能量能夠在三個板中有效的傳遞，附加質(zhì)量的影響逐漸減小(輸入功率與頻率成正比而與附加質(zhì)量Me成近似反比關系［15］)，這使得試驗得到的能量均值與理論預測吻合較好。

下面通過圖的形式比較相關激勵對平均能量分析的影響。當不考慮相關激勵的影響時，即將圖1中三個輸入激勵各個單獨計算，此時得到板的響應的平均能量如圖4所示(圖中同一種線形表示一塊板的變化情況，其中線上帶點的表示考慮了相關激勵影響得到的平均能量，波動的變化曲線為由試驗得到的平均能量值)。

由圖4可以看出，當不考慮相關激勵的影響時，理論計算得到的平均能量比考慮相關輸入情況得到的平均能量大，并且隨著頻率的增加，兩者間的差值呈減小的趨勢:當頻率小于2.0 kHz時，兩者之間的差值在3 dB左右，當頻率在2.0 kHz與4.0 kHz間時，兩者間的差值在2 dB左右，當頻率大于4.0 kHz時，兩者之間的差值進一步減小至1 dB左右。從試驗曲線可以看出，計及相關輸入時得到的理論值與試驗值吻合較好，這就是說，計及相關輸入，能有效的減小SEA分析得到的能量均值，更加符合工程實際情況。

圖4 平均能量變化趨勢的對比Fig.4 Comparison of the trends in average energy

下面分析系統(tǒng)受相關激勵作用時，其相對偏差的情況，三塊板響應的相對偏差如圖5至圖7所示。

在圖5至圖7中，由虛線表示的平滑曲線表示相對偏差的均值(由它給出相對偏差的變化趨勢)，實線表示各個板相對偏差的變化情況。從這三個圖可以看出，隨著頻率的增加，各個板響應的相對偏差逐漸減小。對于本文給出由三塊板組成的耦合系統(tǒng)，當頻率大于2.0 kHz時，整個系統(tǒng)的相對偏差小于5，也就是說，在頻率大于2.0 kHz時，整個系統(tǒng)的估計是比較準確的。

為了比較三塊板得到的響應相對偏差，將它們表達在圖8中。由圖8可以知道，三塊板振動響應的相對偏差從大到小依次為板C，板B，板A，也就是說，從系統(tǒng)中能量輸入到系統(tǒng)中子系統(tǒng)的響應，隨著傳遞路徑的增加(即傳遞路徑加長)，子系統(tǒng)響應的相對偏差逐漸增大。對于系統(tǒng)處于等價傳遞位置上的構(gòu)件，模態(tài)密度越大，其響應的相對偏差逐越小。從等式(20)知，系統(tǒng)響應的方差由輸入功率的方差及SEA平衡方程的系數(shù)矩陣決定，對于復雜耦合系統(tǒng)而言，系數(shù)矩陣由系統(tǒng)自身的特點確定，因此為了減小能量響應的方差，需要考慮輸入功率的情況，而輸入功率的相關性作用直接影響輸入功率方差的計算，故而計及相關激勵影響的作用，能有效的減小子系統(tǒng)響應的相對偏差，提高分析精度。

圖8 三塊板相對偏差隨頻率變化的對比Fig.8 The comparison of the relative deviation of three plates contrast with the frequency change

6 結(jié)論

本文分析了復雜耦合動力系統(tǒng)振動響應的統(tǒng)計估計問題?？偨Y(jié)起來，得到的結(jié)論概括如下:

(1)分析了復雜耦合動力系統(tǒng)的響應統(tǒng)計估計以及載荷參數(shù)α的確定方法。當載荷作用在子系統(tǒng)上時，載荷參數(shù)α與子系統(tǒng)上的輸入能量和整個系統(tǒng)的輸入能量的比值以及子系統(tǒng)上的載荷參數(shù)αl有關。當載荷相關時，應用解相關后的載荷帶入載荷參數(shù)計算表達式進行計算。

(2)用試驗驗證了復雜系統(tǒng)的響應統(tǒng)計估計。試驗表明，考慮相關激勵的影響，能夠使得計算得到的平均能量與試驗值更好的吻合。

(3)依據(jù)試驗分析了相對偏差的影響。隨著頻率的增加，響應的相對偏差逐漸減小，并且隨著傳遞路徑的增加，子系統(tǒng)響應的相對偏差逐漸增大。由于輸入功率的方差受相關激勵的影響，因而考慮相關輸入的影響，能有效的減小各個板的振動響應的相對偏差，即增加分析的準確性。

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Statistical analysis for vibrational response of a complicated coupled dynamical system

LIAO Qing-bin1，LI Shun-ming2，WANG Xiao-dong1，MA Shi-hu1

(1.Wuhan Second Ship Design and Research Institute，Wuhan 430064，China;2.Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China)

The statistical characteristics of vibrational response of a coupled dynamical system were analyzed here.At first，the equation of energy balance of a random dynamical system was gained based on statistical energy analysis(SEA).Then，the statistical estimation expression was deduced for the vibrational response of the coupled dynamical system.the influence of all kinds of excitation on the statistical estimation and the method of determining loading parameters were analyzed.It was shown that the independent excitation is a special case of correlated-excitations，they can be expressed with an uniform expression.Test samples were designed to validate the correctness of the method based on the estimation expression.The experimental results showed that the statistical analysis method proposed is more accurate than the existing ones，it can reduce the relative deviation of vibrational response effectively.

coupled dynamical system;statistical analysis;loading parameter;power flow;statistical energy analysis

TB53;O324

A

國家自然科學基金資助項目(50675099)

2010－01－15 修改稿收到日期:2010－04－06

廖慶斌 男，博士，1979年6月生