尹曉冬

(首都師范大學 物理系，北京 100048)

朱重遠

(中國科學院 理論物理研究所，北京 100190)

在將經典動力學體系從拉格朗日形式導出哈密頓形式以進行正則量子化時，常常由于開始的拉格朗日形式中的動力學變量不都是獨立的(即存在著約束)，從而不能直接用通常的方法去實現(xiàn)自洽的量子化，這就是需要研究約束系統(tǒng)量子化方案的原因。實際上，約束系統(tǒng)的量子化是當代理論物理在建立基本的動力學時用到的最重要的關鍵工具之一。我們知道，從現(xiàn)象學角度，自然界存在著四種基本相互作用:強相互作用、電磁相互作用、弱相互作用和引力相互作用。在現(xiàn)在已經建立的正確地描寫了強作用、電磁作用和弱作用的標準模型中，描述強作用的量子色動力學，描述電磁作用及弱作用的電弱統(tǒng)一理論(包括描述電磁作用的量子電動力學)，都涉及到約束系統(tǒng)的量子化。甚至于在至今尚未建立滿意的量子理論的引力相互作用的研究中，其主要的嘗試方案，如弦理論、阿什特卡(Abhay V．Ashtekar，1949—)的非微擾量子引力等也都使用了約束系統(tǒng)的量子化方法。所以建立約束系統(tǒng)的量子化方法，在物理學理論研究中，占據(jù)十分重要的地位。

目前理論物理界廣泛使用的約束系統(tǒng)的量子化方法，主要可以分為二類。一類是由狄拉克(Paul Adrie Maurice Dirac，1902—1984)于1950年開始的工作基礎上發(fā)展起來的正則量子化方案［1—3］，另一類是在由1967 年法捷耶夫(Ludwig．D．Faddeev，1934—)和波波夫(Victor．Nikolaevich．Popov)的工作開始的用路徑積分量子化方法發(fā)展起來的方案，后者對解決非阿貝爾規(guī)范場論的量子化作出了重大貢獻［4］。本文打算探討的是，在這些方案建立之前，中國理論物理學家張宗燧①張宗燧(1915—1969)，中國理論物理學家。1934年畢業(yè)于清華大學物理系并留校攻讀研究生一年。1936—1938年在英國劍橋大學數(shù)學系跟隨著名理論物理學家福勒教授攻讀博士學位，1938年獲得哲學博士學位，其后去丹麥、瑞士、法國等地進行科學研究。1940年回國任重慶中央大學物理系教授。1946年以英國文化協(xié)會高級研究員身份赴英國劍橋大學進行科學研究。1947年赴美國普林斯頓高等研究院(Institute for Advanced Study in Princeton)、費城卡內基理工學院(Carnegie Institute of Technology)訪問。1948年回國，歷任中央大學、北京大學、北京師范大學教授及理論物理教研室主任，中國科學院數(shù)學研究所研究員及理論物理研究室主任，兼中國科技大學教授等職。1957年受聘為中國科學院數(shù)理化部學部委員(今中國科學院院士)。文革期間受迫害自殺。在1944—1946年期間完成的工作［5—7］，盡管所提的方案與上述二類不同，但已是一種自洽的行得通的方案。所以，張宗燧對約束系統(tǒng)的正則量子化方法做出了重要的貢獻。

1 張宗燧工作之前的約束系統(tǒng)量子化研究

1.1 問題的提出

實際上，在量子場論剛建立時，就遇到了約束系統(tǒng)的量子化方法問題。大家知道，人們首先認識到的經典場是麥克斯韋電磁場。要建立電磁場及電磁相互作用的微觀理論，就需要將其量子化。歷史上，最早成功地建立的量子場論就是1927年狄拉克給出的［8］量子電磁場場論。狄拉克的基本做法是將輻射場分解成簡諧振動，并將電磁場的量子化歸結為這些基本振動的量子化。由于這一方案中，電磁勢的橫場與縱場及標量場的量子化處理處于不同的位置，所以理論并不明顯地協(xié)變。隨后，1929年海森堡(Werner Karl Heisenberg，1907—1976)和泡利(Wolfgang Pauli，1900—1958)建立了一般場論的正則量子化方式［9—10］。但是，當用他們的方法去處理電磁場時，會立刻發(fā)現(xiàn)與電磁標量勢共軛的正則動量為零，也就是說，正則自由度不都是獨立的，它們存在著約束。如果直接使用普通的正則量子化方法，將立刻出現(xiàn)零算子的對易關系不為零的矛盾。顯然，在這種情況下，哈密頓函數(shù)及正則對易關系等都不可能按普通的方法直接使用，必須進行處理。

1.2 羅森菲爾德和狄拉克的早期方案

最早提出的一些對電磁場進行量子化的修正方案存在著明顯的令人不滿意之處。正如羅森菲爾德(Leon Rosenfeld，1904—1974)在泡利的指導下于1929年完成并于1930年發(fā)表的文章［11］中提到的:海森堡和泡利提出的第一種方法，是在拉格朗日函數(shù)中加入帶小參量ε相關的項，從而使得正則共軛動量都不為零，最后再令ε趨于零，這一方案破壞了明顯的規(guī)范不變性;海森堡和泡利提出的另一種方案，是取標量勢為某限定值去減少方程，此做法對四度矢量的不同分量沒有作同樣的處理，從而使量子理論的相對論不變性的證明變得很困難;費米(Enrico Fermi，1901—1954)提出的方案，是在拉格朗日函數(shù)中附加新項，使得共軛動量不為零，但為了使最終的運動方程與原來的系統(tǒng)的方程一致，又必須加上約束(［10］，175頁)其結果的形式也沒有明顯的規(guī)范不變性。

羅森菲爾德在文［11］中為解決此問題提出了的方案如下:

對于像電磁場這樣的有規(guī)范群對稱性的體系，用不定乘子λr與約束

去構造哈密頓函數(shù)

于是，基本方程由用此哈密頓函數(shù)構造的正則場方程及對易關系，加上約束方程組成。但是，由于這組方程中明顯包含著拉格朗日未定乘子λr，它們是未知的，完全可能是動力學的。因此，對它不加處理，是無法實現(xiàn)量子化的。

狄拉克于1933年發(fā)表了《經典力學中的齊次變量》一文［12］。在這篇文章中狄拉克從比電磁場更一般的角度提出了約束系統(tǒng)問題。他舉出了靜止質量為零的自由粒子的相對論性運動作為另一個例子。此文中他建議的用齊次坐標寫出的正則形式的運動方程是

其中ρa，ρb等是拉格朗日不定乘子。實際上，由于這些不定乘子是未知的，所以此形式也不能直接用于量子化。

關于拉格朗日不定乘子需要進行處理才能進行量子化的問題，是張宗燧首先指出的，具體論述詳見下文。

2 張宗燧的貢獻

2.1 三篇關于約束系統(tǒng)量子化論文的發(fā)表情況

根據(jù)張宗燧發(fā)表的論文統(tǒng)計［13］可知，張在1945年到1947年期間發(fā)表的7篇文章中除1篇是關于合作現(xiàn)象外其余6篇是與粒子物理及量子場論相關的，其中有三篇［5—7］是關于約束系統(tǒng)量子化方面的，這三篇分別是:

(1)A note on the Hamiltonian theory of quantization(《哈密爾頓量子化理論的一個注記》)，Proc．Roy．Soc．of London，1945;

(2)A note on the Hamiltonian equations of motion(《哈密爾頓運動方程式的理論的一個注記》)，Proc．Camb．Phil．Soc，1946;

(3)A note on the Hamiltonian theory of quantization(II)(《哈密爾頓量子化理論的一個注記(II)》)，Proc．Camb．Phil．Soc，1947。

下文依次簡稱為第一、第二、第三篇論文。這些論文發(fā)表時直接注明了，第一篇收錄于1944年7月11日，第二篇收錄于1945年9月24日，第三篇收錄于1946年6月7日。第一及第二篇論文所署地址均為“Central University，Chungking”(重慶中央大學)，第三篇所署地址為劍橋。由于張宗燧是1946年再次前往劍橋進行學術訪問的，所以可以斷定張宗燧是在中央大學期間開始從事約束系統(tǒng)量子化方面研究的。1937年10月，由于日本侵華中央大學不得不從南京遷到重慶，張宗燧的這些研究，正是在抗日戰(zhàn)爭期間的重慶那十分艱苦的條件下開展的。這一點可以從馮端①馮端(1923—)，浙江紹興人，生于江蘇蘇州。固體物理學家。1946年7月畢業(yè)于中央大學理學院物理系并留校。1949年該校更名為南京大學后，歷任物理系副教授、教授及固體物理研究所所長，研究生院院長，1985年起任固體微結構物理國家重點實驗室主任兼學術委員會主任。1980年當選為中國科學院院士。的回憶中得到佐證。馮端是張宗燧在重慶中央大學的學生，1943年馮上大學二年級時所選的熱力學和理論物理課程就是由張宗燧講授的②據(jù)馮端回憶，當時講授的理論物理內容是經典電動力學加相對論，參考Abraham＆Becker的電動力學。1957年張宗燧出版的《電動力學與狹義相對論》可能就是由當年講課筆記擴展而來的。。在《松林坡往事》一文中，馮提到了當時上課的情景:

中大(中央大學)校舍極差，教室、宿舍都是草頂平房，比同在沙坪壩的重慶大學和中央工業(yè)學校都差，更比不上抗戰(zhàn)前的南開中學。但是簡陋校舍中的學術空氣卻是濃郁的。

……

值得注意的是即使在抗戰(zhàn)的萬分艱苦階段，中央大學物理系的一些教授們還埋頭進行科學研究，而且取得了一些難能可貴的成績?！谥貞c時代，埋頭研究工作的還有張宗燧教授，他在劍橋大學師從R．H．Fowler教授，進行統(tǒng)計物理合作現(xiàn)象理論的工作，取得了不少成就。1940—1945年在中央大學執(zhí)教期間還在國際刊物上發(fā)表了三篇這方面研究工作的論文。但是值得注意的是，在這段時期他已將研究重心轉移到量子場論這一領域，也發(fā)表了由P．A．M．Dirac推薦的三篇文章。這成他后期工作的主要領域。連同前面的一些工作，表明他在重慶中央大學時期的研究碩果累累。［14］

值得提到的是，這三篇文章中，第一篇和第二篇發(fā)表時編輯部都注明了是由狄拉克推薦的(Communicated by P．A．M．Dirac)。張宗燧在第二篇和第三篇文章末尾都寫到:“最后，筆者要感謝狄拉克教授對本項工作的興趣。”“感謝他對此極大的興趣并與我的討論，這讓我受益匪淺?！雹塾⑽脑姆謩e是:“In conclusion，the writer wishes to thank Prof．P．A．M．Dirac for his interest in the work．”及“In conclusion，the writer wishes to thank Prof．P．A．M．Dirac for his kind interest and discussion，for which the writer is greatly indebted．”表明張宗燧的工作與狄拉克有密切關系。

在這里順便指出，在學術上張宗燧與狄拉克一直到1950年都保持著比較緊密的聯(lián)系?？箲?zhàn)勝利后，張宗燧由中英文化協(xié)會李約瑟(Joseph Needham，1900—1995)安排，以高級研究員的身份于1946年1月去劍橋大學，也是由狄拉克安排在劍橋大學講授量子場論④“劍橋大學報告”(Cambridge University Reporter)中的學術管理委員會1947—1948年度報告(Annual Report of the Board of Research Studies)上面記錄:Mr Chang開設Quantum Mechanics of Fields(量子力學場論)，P470，英國劍橋大學圖書館。。1946年底狄拉克計劃去美國講學，張宗燧隨狄拉克一塊去了普林斯頓高等研究院，并在費城卡內基理工學院做訪問學者。即使張宗燧回國后，50年代張宗燧與狄拉克依舊保持學術上通訊聯(lián)系①1949年9月、1950年1月、1950年9月張宗燧與狄拉克的通信，英國劍橋大學丘吉爾檔案館。。

2.2 三篇論文的內容分析

下面來分析研究張宗燧的三篇有關約束系統(tǒng)量子化的論文。從內容上看，第三篇總結了前二篇的主要內容，所以在這里主要對第三篇論文展開分析。

首先，在此文中，張宗燧直接指出:狄拉克1933年的文章雖然“證明了運動方程總可以納入正則形式，但是，最終的方程仍包含著未知拉格朗日乘子，因此不能用于過渡到量子理論”②英文原文是:“It was shown that the equations of motion can always be put in canonical forms．However，the final equations still contain quantities of the nature of unknown Lagrange multipliers，and are thus not suitable for passing to a quantum theory．”。這是有關拉格朗日乘子的十分明確的論斷，也是目前所看到的第一次提出這個問題的文獻。問題直接所指的雖是狄拉克的文章，但顯然，此前的用拉格朗日乘子的工作，也有同樣的問題。

其次，張的這篇文章討論了更一般的約束系統(tǒng)。事實上，他首先討論的是對外加約束條件(即不是由拉格朗日的正則共軛動量為零所產生)的系統(tǒng)的處理。他指出，對于

如有f個外加附加條件

則有方程其中μξ是拉格朗日乘子，(6)式和(7)式是場方程。這里的記號中，xμ=(x，y，z，ict)，x=(x，y，z)，μ，υ，… 取值為(1，2，3，4)，r，s，… 取值為(1，2，3)，qα是獨立變量，qαμυ=(?/?xμ)(?/?xυ)…qα。為了導出正則形式，他的做法不是通過拉格朗日去定義動量，而是設

其中 bα是 pα，qα，，x 的函數(shù)，它與一起由下列二式確定:

用此哈密頓函數(shù)寫下的正則方程為

此式展開是

容易證明(9)、(10)、(12)、(13)與(6)、(7)完全等價。這里，需再強調一下，原來的拉格朗日乘子已經變?yōu)?ηξ，它與 bα都是由(9)、(10)式確定的 (pα，qα，qαr，x)的函數(shù)，不是未知量。所以，這里的方程中不再有未知量，用這些形式可以實現(xiàn)量子化。

在這里筆者還愿意順便指出，這篇論文還提出，對于(5)—(7)式的系統(tǒng)，可以考慮定義新的拉格朗日為

然后，將拉格朗日乘子μξ也看成是與其他坐標一樣的動力學變量，于是，μξ的共軛動量為零，系統(tǒng)成為共軛動量為零的約束類型。這一提議在當時也是很有創(chuàng)意的。

對于只有正則動量為零的約束的系統(tǒng)，這篇文章的處理方法如下:

動量的定義如通常一樣，

設為零的動量是Pl，相應的坐標為Ql。其他的無約束的動量和坐標記作 (p，q)。

于是，

確定?？梢宰C明，由此導出的正則方程與(16)、(17)、(18)等價。對于(19)式完全獨立，從而可以用p，q，x定出Bl及bα的情形，只需令p，q取正則對易關系即可，Ql則可以根據(jù)運動方程看作Bl。于是，可以用Bl與p，q的函數(shù)關系給出Ql與p，q的泊松括號，進而完成量子化。

對于(19)式不完全獨立從而不能用p，q，x定出Bl及bα的情形，情況比較復雜。此文討論了其中一類情形，即其拉格朗日量在部分坐標作如下變換時不變①注意張宗燧的這篇文章中將此變換稱為“規(guī)范變換”，但實際上并不是大家所稱的規(guī)范變換。它只是與規(guī)范變換有相似處的一類變換。的體系:

經過分析，可以證明此時必有若干相應的動量為零。對于這些動量和坐標，在用了一些技巧后，又可證明其(18)式可以用某些動量的函數(shù)為零的條件所代替:

然后，此文研究了(?gu(p)/?x4)，說明它可以用(16)、(17)式表示為 Ql，qα，pα的函數(shù)，并進一步證明了，如果(?gu(p)/?x4)不恒為零，運動方程將不自洽，相應的體系是非物理的，不必考慮。對于?gu(p)/?x4=0的情形，(18)或(21)式完全可以作為初始條件。于是，這類體系的哈密頓形式可以這樣來建立:

以上論述比較仔細地論述了張宗燧對約束系統(tǒng)量子化的處理方案。下面再進一步做幾點評論:

(1)張宗燧明確指出:如果使用了未知拉格朗日乘子，就不能直接進行量子化，因此，必須正確處理拉格朗日乘子，這是十分重要的。既然張的這些文章與狄拉克討論過，甚至由狄拉克推薦發(fā)表，由此可以推斷，他的這一意見是狄拉克認可的。事實上，在后來的工作中［1—3］，狄拉克對拉格朗日乘子進行了認真的分析和處理。

(2)張宗燧的研究不僅限于電磁場。他既考慮了由拉格朗日量的具體形式決定的沒有共軛動量產生的約束，也考慮了不是由拉格朗日導出的外加約束條件。原則上外加條件可以有多種類型，因此，他所考慮的系統(tǒng)是相當廣泛的。

(3)形式上看，張宗燧的方案與后來的狄拉克的方案不相同。但是，分析和檢查張的方案，可以發(fā)現(xiàn)，張的方案的確解決了直接使用普通方法所存在的矛盾，是可行的。張的方案中用新的變量作為正則變量，滿足正則泊松括號，因此，老變量的泊松括號不再是正則關系從而不與約束條件矛盾。狄拉克的方案則是定義新的括號①現(xiàn)在稱為‘狄拉克括號’。使之不與約束條件矛盾。

(4)張的文章中，在將經典的初始條件(18)式量子化時不作為算子方程，而是作為對于物理狀態(tài)的條件(22)式。但現(xiàn)在知道，(18)式量子化時對應的條件可以比(22)式更弱，只要它在物理態(tài)間的矩陣元滿足條件即可。

在這一節(jié)結束的時候，需要再次強調，以上對張的方案做如此詳細的討論，是為了這節(jié)也是這篇文章的主旨，即說明張的方案確實對一大類約束系統(tǒng)是自洽可行的。

3結語

張宗燧是中國最早開展量子場論研究的理論物理學家之一［15］。本文論證了張宗燧于1944—1946年期間對約束系統(tǒng)量子化做出的重要貢獻:首先指出了必須正確處理拉格朗日乘子，并提出了可行的量子化方案。

我們對在張宗燧的這些工作之前的對于約束系統(tǒng)量子化開展的研究進行了文獻搜索，未發(fā)現(xiàn)比之更早的有關約束系統(tǒng)量子化研究中提出需要對拉格朗日乘子進行處理的論述。同時，積極與國外學者交流，并向國內外專家廣泛地征求信息，迄今為止，還未發(fā)現(xiàn)有比張宗燧的文章更早的自洽的約束系統(tǒng)量子化方案?；谝陨锨闆r，張宗燧極為可能是國際上第一個提出可行的解決了拉格朗日乘子問題的量子化方案的物理學家。

致 謝本文部分內容在2009年12月于北京工業(yè)大學舉行的“理論物理前沿研討會”以及2010年6月于德國柏林舉行的“第三屆國際量子力學史會議”上報告過，作者對于這兩個會的參加者的興趣和熱烈討論及建議表示感謝。

作者感謝中國科學院理論物理所戴元本院士的多次仔細的討論，感謝美國衣阿華州大學楊炳麟教授，北京大學宋行長、馬伯強教授，中國科學院理論物理所李淼、劉寄星教授，北京工業(yè)大學黃永暢教授，南京大學王凡教授等的興趣和討論，感謝德國馬克斯·普朗克科學史研究所Donald Salisbury教授提供羅森菲爾德論文的原文復印本及英譯本。作者之一尹曉冬對在訪問馬克斯·普朗克研究所、英國劍橋大學、丹麥玻爾檔案館、英國李約瑟研究所期間得到的幫助與支持表示誠摯感謝。

1 Dirac P A M．Generalized Hamiltonian dynamics［J］．Canad．J．Math，1950，2:129—148．

2 Dirac P A M．The Hamiltonian Form of Field Dynamics［J］．Canad．J．Math，1951，3∶1—23．

3 Dirac P A M．Lectures on Quantum Mechanics［M］．New York:Yeshiva University，1964．

4 Fadeev L D，Popov V N．Feynman diagrams for the Yang-Mills field［J］．Phys．Lett，1967，25B∶29—30．

5 Chang T S．A note on the Hamiltonian theory of quantization［J］．Proc．Roy．Soc．of London，1945，A183∶316—328．6 Chang T S．A note on the Hamiltonian equations of motion［J］．Proc．Camb．Phil．Soc，1946，42∶132—138．

7 T．S．Chang．A note on the Hamiltonian theory of quantization(II)［J］．Proc．Camb．Phil．Soc，1947，43∶196—204．8 Dirac P A M．The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation ［J］．Proc．Roy．Soc，1927，A114∶243—265．

9 Heisenberg W，Pauli W．Zur Quantendynamik der Wellenfelder［J］．Zeits．Physik，1929，56∶1—61．

10 Heisenberg W，Pauli W．Zur Quantendynamik der Wellenfelder［J］．Zeits．Physik，1930，59∶168—190．

11 Rosenfeld L．Zur Quantelung der Wellenfelder［J］．Annalen der Physik，1930，5∶113—152．

12 Dirac P A M．Homogenous variables in classical dynamics［J］．Proc．Camb．Phil．Soc，1933，29∶389—400．

13 張宗燧論文選集·附錄:張宗燧論著目錄［C］．張宗燧先生誕生九十周年紀念會，2005．

14 馮端．松坡林往事［A］．施士元．施士元回憶錄及其他［M］．南京:南京大學出版社2007.179—182．

15 戴元本．中國量子場論研究的初期［J］．現(xiàn)代物理知識，2009，21∶64—65．