王立強(qiáng)，續(xù)秋霞，李海洋

(1.西藏民族學(xué)院信息工程學(xué)院，陜西咸陽712082;2.西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710048)

從經(jīng)濟(jì)角度看，一個(gè)國家的GDP大幅增長，反映出該國經(jīng)濟(jì)發(fā)展蓬勃，國民收入增加，消費(fèi)能力也隨之增強(qiáng)．研究GDP有助于了解人民的收入，國家的收入，人民的就業(yè)情況以及維持社會(huì)的穩(wěn)定等一系列問題．對(duì)于GDP時(shí)間上的研究與預(yù)測已有諸多文獻(xiàn)［1－3］，對(duì)于一個(gè)地區(qū)GDP空間上的文獻(xiàn)近年來也不少［4－6］．但同時(shí)對(duì)一個(gè)地區(qū)GDP時(shí)間空間上的研究并將其納入一個(gè)模型仍鮮有．因此，針對(duì)此一系列問題，對(duì)我國不同地區(qū)GDP在各年中進(jìn)行適當(dāng)?shù)难芯考邦A(yù)測是很有必要的．本文對(duì)我國31個(gè)省區(qū)2001～2008年GDP數(shù)據(jù)與各地區(qū)的位置坐標(biāo)數(shù)據(jù)，通過線性混合模型，分析了其時(shí)間空間結(jié)構(gòu)特征，并且建立了相應(yīng)的預(yù)測方程．

1 模型

線性混合模型為

Y是n×1觀測向量，β是p×1稱為固定效應(yīng)．X和Z分別為n×p和n×q的已知設(shè)計(jì)矩陣．u和e分別為q×1和n×1隨機(jī)向量，u為隨機(jī)效應(yīng)，e為誤差．且E(u)=0，E(e)=0，u和e互不相關(guān)且cov(u)=G，cov(e)=R，G 和 R 為已知或未知正定陣，均值和Y的協(xié)方差矩陣是由E(Y)=Xβ和V=ZGZt+R分別給出的．線性混合模型的未知參數(shù)分2類，一類是固定效應(yīng)，一類是方差分量．對(duì)模型(1)估計(jì)可估函數(shù)^β和^u，記

其中A=(XtV－1X)－1．但是G和R必須估計(jì)，然后和是由V∧θ和G∧θ分別替代V和G而得到的，其中，θ 是由方差組成的向量是 θ 的估計(jì)［7－8］．

2 GDP的時(shí)間空間分析

本文數(shù)據(jù)集包含了2001～2008年31個(gè)省市共計(jì)248個(gè)GDP統(tǒng)計(jì)值，數(shù)據(jù)來源于陜西人民政府門戶網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)信息版塊(http：//data．sei．gov．cn/yearnew/a_search200809．a(chǎn)sp)，各省市的經(jīng)緯度范圍來源于軟件Google Earth．

表1 GDP均值與時(shí)間的線性回歸方差分析表與參數(shù)估計(jì)表

1)首先利用描述性統(tǒng)計(jì)量平均值對(duì)不同時(shí)間點(diǎn)的GDP變化趨勢做一個(gè)簡單描述．所做趨勢圖如圖1所示．該圖中，橫軸表示時(shí)間，縱軸表示GDP值．從總的趨勢來看，GDP曲線的斜率及增長速度逐年遞增，但變化較小，大致可以看做一條直線，即time與GDP近似呈線性關(guān)系．

通過 SAS［9－10］統(tǒng)計(jì)軟件擬合 GDP 均值與時(shí)間的線性回歸結(jié)果見表1．

由表 1，回歸模型的檢驗(yàn) P－值為小于0.000 1，調(diào)整后的R2為0.959 5，參數(shù)估計(jì)中時(shí)間的顯著性檢驗(yàn)P－值小于0.000 1，這些都充分表明，GDP均值與時(shí)間線性關(guān)系非常顯著．

其次，分別做出GDP1～GDP8對(duì)應(yīng)于2個(gè)坐標(biāo)軸經(jīng)度(east)和緯度(north)的描述曲線如圖2～3所示．橫軸表示坐標(biāo) east，north，縱軸表示2001～2008年的 GDP．由圖2、圖3顯示 GDP1～GDP8與east和north之間為曲線關(guān)系．

方法同前面分別擬合east和north的多項(xiàng)式模型，得east為3次方，north為5次方．從而建立混合線性回歸模型：

yi，j為第 i個(gè)地區(qū) j年的 GDP 值(i=1，…，31;j=1，…，8)，xi，1，xi，2，xi，3(i=1，…，31，)分別表示 east3，north5，time．

表2 方差協(xié)方差結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)量(REML法)

表3 方差協(xié)方差結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)量(ML法)

2)參數(shù)估計(jì)方法與協(xié)方差結(jié)構(gòu)的選擇．這是一個(gè)具有8個(gè)時(shí)間點(diǎn)的重復(fù)測量數(shù)據(jù)，在分析協(xié)變量的效應(yīng)前，先要選擇一個(gè)合適的方差協(xié)方差矩陣．分別用ML算法和REML算法進(jìn)行分析，表2與表3分別列出了4種常用協(xié)方差結(jié)構(gòu)在2種算法下的結(jié)果．在配合的4種協(xié)方差結(jié)構(gòu)中，綜合考慮協(xié)方差參數(shù)的個(gè)數(shù)及信息量指標(biāo)值，特別是AIC準(zhǔn)則，觀察其大小變化，結(jié)果顯示在ML算法下，以具有2個(gè)協(xié)方差參數(shù)的VC法效果最好．故本例選用ML法，用VC作為本例的方差協(xié)方差結(jié)構(gòu)的算法．

3)模型結(jié)果．在VC方差協(xié)方差結(jié)構(gòu)下，把隨機(jī)項(xiàng)列入模型分析．反應(yīng)變量Y為8個(gè)時(shí)間點(diǎn)的GDP值，隨機(jī)項(xiàng)為地區(qū)．把east、north和time作為固定效應(yīng)納入回歸方程中進(jìn)行分析，得到協(xié)方差參數(shù)估計(jì)如表4．

協(xié)方差參數(shù)的檢驗(yàn)P－值小于0．000 1，說明協(xié)方差VC結(jié)構(gòu)是合理的．

模型中每一地區(qū)的8次重復(fù)測定之間的方差協(xié)方差矩陣 Rij(i=1，…，31，j=1，…，8)為：

表4 協(xié)方差參數(shù)估計(jì)

故R為一個(gè)由(31×31)個(gè)矩陣塊Rij所構(gòu)成的((8×31)×(8×31))的矩陣．

同樣，可以得到隨機(jī)效應(yīng)的一個(gè)(31×31)的方差協(xié)方差矩陣G如下所示：

固定效應(yīng)參數(shù)估計(jì)值及假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果如表6所示．由檢驗(yàn)P－值可以看出，我國31個(gè)地區(qū)8年的GDP值時(shí)間方向上變化更顯著于地區(qū)性方向，即8年各個(gè)地區(qū)GDP的增長都是非常巨大的;同時(shí)，通過檢驗(yàn)P－值也可以看出呈現(xiàn)出很強(qiáng)的南北差異與東西地域性差異，越往東GDP值增長越快，而越往北GDP增長越慢，而且在地理方向上東西方向引起的GDP增長差距要比南北更顯著．這與我國的實(shí)際情況是相符合的，東南沿海地區(qū)明顯要比內(nèi)陸西北地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)得多．

表7為隨機(jī)效應(yīng)參數(shù)的估計(jì)以及檢驗(yàn)結(jié)果．在α=0.1的顯著性水平下北京、天津、遼寧、山西、黑龍江、湖南、湖北、內(nèi)蒙古、云南、西藏、陜西、甘肅、青海其隨機(jī)效應(yīng)不具有統(tǒng)計(jì)意義．

表5 固定效應(yīng)的參數(shù)估計(jì)值及假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果

表6 固定效應(yīng)的Type3檢驗(yàn)結(jié)果

表7 隨機(jī)效應(yīng)的參數(shù)估計(jì)值及假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果

續(xù)表7

最后我國各地2001～2008年樣本數(shù)據(jù)得到不同地點(diǎn)GDP的預(yù)測方程表達(dá)式為：

其中的值如表7所示，它表示不同地區(qū)的隨機(jī)效應(yīng)．由此可以預(yù)測這些地區(qū)中任意地區(qū)任意一年的GDP值．

［1］劉亮，孫朗成．我國GDP的非參數(shù)回歸建模及其應(yīng)用［J］．沿海企業(yè)與科技，2009(10)：20－22．

［2］郝香芝，李少穎．我國GDP時(shí)間序列的模型建立與預(yù)測［J］．統(tǒng)計(jì)與決策，2007(23)：4－6．

［3］于修柱．我國GDP增長與CPI變動(dòng)的實(shí)證分析［J］．內(nèi)蒙古科技與經(jīng)濟(jì)，2005(12)：24－25．

［4］ 張曉旭，馮宗憲．中國人均 GDP 的空間相關(guān)與地區(qū)收斂：1978 ～2003［J］．經(jīng)濟(jì)學(xué)：季刊，2008，7(2)：399 －414．

［5］宋琳，董春，胡晶，等．基于空間統(tǒng)計(jì)分析與GIS的人均GDP空間分布模式研究［J］．測繪科學(xué)，2006，31(4)：123－125．

［6］趙軍，楊東輝，潘竟虎．基于空間化技術(shù)和土地利用的蘭州市GDP空間格局研究［J］．西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010(5)：92 －102．

［7］WOLFINGER R D．An example of using mixed models and PROC MIXED for longitudinal data［J］．Journal of Biopharmaceutical Statistics，1997，7(4)：481 －500．

［8］ VERBEKE G，MOLENBERGHS G．Linear mixed models for longitudinal data［M］．New York：Springer，2000：77 －119．

［9］余松林，向惠云．重復(fù)測量資料分析方法與SAS程序［M］．北京：科學(xué)出版社，2004．

［10］ Ramon C L．SAS for mixed models［M］．Znded Cary，NC：SAS Institute，2006：317 －411．