龍承星，張 波

(1.湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南婁底417000;2.云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南昆明650091)

一個(gè)國(guó)家或一個(gè)地區(qū)根據(jù)人口現(xiàn)狀以及對(duì)影響人口發(fā)展的各種因素的假設(shè)，對(duì)未來某一時(shí)間人口規(guī)模、水平和趨勢(shì)所做的測(cè)算，即為人口預(yù)測(cè)．如何使人口、資源、環(huán)境與經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展已經(jīng)成為當(dāng)今社會(huì)眾多學(xué)者關(guān)注的問題．然而，人口預(yù)測(cè)是一個(gè)比較復(fù)雜的問題．因?yàn)橛绊懭丝诎l(fā)展過程的因素很多，要將這些所有因素都準(zhǔn)確地包含在預(yù)測(cè)之內(nèi)，顯然是比較困難的．所以在人口預(yù)測(cè)中，一般只能根據(jù)過去的人口發(fā)展變化的實(shí)際統(tǒng)計(jì)資料，加以分析比較，找出歷史上人口發(fā)展過程中一些帶有共同規(guī)律并考慮到未來其他各種因素的影響．

1 昆明市人口現(xiàn)狀描述與分析［1］

根據(jù)2000年第5次全國(guó)人口普查，昆明市常住人口578萬1 294人，男性人口303萬9 862人，占總?cè)丝诘?2.581%，女性人口274萬1 432人，占總?cè)丝诘?7.419%，男女性別比例是110.885 9∶100．與1990年相比，這10年間昆明市共增人口54萬2 200人，平均每年增長(zhǎng)人口5萬4 220人．從1949～2000年昆明市人口總數(shù)以及自然增長(zhǎng)率來看，其總?cè)丝谝恢笔翘幱谠鲩L(zhǎng)狀態(tài)，并且其環(huán)比增長(zhǎng)率除了1967年下跌以外，也是呈上升的趨勢(shì)，特別是改革開放以來，環(huán)比增長(zhǎng)率更是快速提高．從育齡婦女生育率來看，生育高峰人群為20～34歲之間的育齡婦女，特別是20～29歲的育齡婦女，生育率更是高，幾乎在8%以上．調(diào)查中我們發(fā)現(xiàn)，昆明市嬰兒死亡率高達(dá)0.529 7%，之后，隨著年齡的增長(zhǎng)，死亡率有所下降，但是25歲以后死亡率又陸續(xù)攀升，特別是65～69歲的人口死亡率高達(dá)2.066 2%．從分性別死亡率來看，除了男性0～4歲嬰兒的死亡率低于女性，其他的年齡段男性的死亡率均高于女性．昆明市性別結(jié)構(gòu)基本正常，但是5～9歲、20～44歲、50～54歲、60～64歲的性別結(jié)構(gòu)已經(jīng)超過了107的國(guó)際警戒線，處于成年型向老年型轉(zhuǎn)變的階段．全市少兒撫養(yǎng)比比較高，從而導(dǎo)致了全市總撫養(yǎng)比也比較高．所以，昆明市的年齡結(jié)構(gòu)以及由此引起的撫養(yǎng)系數(shù)表現(xiàn)出較強(qiáng)的不適應(yīng)性，年齡結(jié)構(gòu)已經(jīng)從成年型向老年型過渡，而少兒撫養(yǎng)比仍然很高．

2 人口預(yù)測(cè)模型及合理性

2．1 馬爾薩斯人口模型［2］

假設(shè)在t時(shí)刻(單位以年計(jì))人口為P(t)，則人口的增長(zhǎng)率由出生率B(p，t)和死亡率D(p，t)決定．假定 B(p，t)和 D(p，t)不隨時(shí)間的變化而變化，即相對(duì)于 t來說，B(p，t)和 D(p，t)為常數(shù)，從而有B(p，t)=B(p)，D(p，t)=D(p)．如果說1 000人中每年有50個(gè)小孩出生，那么我們認(rèn)為2 000個(gè)人中每年有100個(gè)小孩出生是有道理的．換句話說就是出生率與人口成正比的．如果我們?cè)O(shè)出生率為R1，死亡率為R2，則有B(p，t)=B(p)=R1P(t)，同樣道理，D(p，t)=D(p)=R2P(t)．此處 R1和 R2為大于 0 的常數(shù)，并且一般來說R1－R2＞0．

由上面的敘述可以得出：

令 R1－R2=α，則

假設(shè)在基年t0時(shí)的人口數(shù)量是P(t0)，則我們對(duì)進(jìn)行積分，可以解出

P(t)=P(t0)eα(t－t0)，這即是大家熟知的馬爾薩斯人口模型．

但是，自然增長(zhǎng)率α不是一個(gè)固定不變的值，在應(yīng)用這個(gè)模型的時(shí)候我們還得對(duì)昆明市的人口自然增長(zhǎng)率進(jìn)行估計(jì)．

通過昆明市1981～2000年人口自然增長(zhǎng)率，我們作出自然增長(zhǎng)率如圖1所示．

我們可以看出，昆明市的人口自然增長(zhǎng)率并不是一直上升的，而是有上下起伏波動(dòng)的．此時(shí)我們就要用時(shí)間序列模型來模擬自然增長(zhǎng)率的趨勢(shì)．若令X1代表1981年昆明市的人口自然增長(zhǎng)率，X2代表1982年昆明市的人口自然增長(zhǎng)率，X3代表1983年昆明市的人口自然增長(zhǎng)率，依次類推．得到線性回歸模型：

用SPSS軟件［6］進(jìn)行處理得到以下結(jié)果：

這說明模型是不顯著的，所以這個(gè)模型不可用，我們必須尋找其它的模型．從圖中我們可以看出，自然增長(zhǎng)率隨著時(shí)間的變化又不太明顯的周期s=5，所以我們用多元線性回歸模型［3］：

其中 t=1，2，3，…，20，b、b0、b1、b2、b3、b4、b5是待估參數(shù)，dk，t是啞元，滿足

上述模型的設(shè)計(jì)使得第k年數(shù)具有相同的斜率bk．由于模型中的參數(shù)過多，使得設(shè)計(jì)矩陣不滿秩．為了克服這個(gè)問題，取b=0，得到以下的模型：

定義：

經(jīng)計(jì)算可以得到回歸方程：

xt=0.0227t+6.9569d1，t+7.1492d2，t+6.9589d3，t+6.6362d4，t+6.7110d5，t，從而我們可以計(jì)算 2001 ～ 2005年的自然增長(zhǎng)率(見表1)，并與實(shí)際值之間進(jìn)行比較．

從上面我們可以計(jì)算上述模型的平均誤差是0.438，這個(gè)誤差是很小的，這說明用這個(gè)時(shí)間序列模型來估計(jì)自然增長(zhǎng)率是合適的．

表1 2001～2005年自然增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)值與實(shí)際值及誤差‰

2．2 回歸模型

我們用t代表年份，如1949年我們用t=1表示，依次類推;我們用yi表示第i年的人口，所以我們有以下的模型：

用SPSS模擬得到預(yù)測(cè)系數(shù)和方差分析結(jié)果(見表2～3)．從表2、表3中我們可以得到模型為

y=214．998+6．43t，

a=214．998，T 值等于 0．569 顯著性概率 Sig接近于0，這說明a的估計(jì)值是顯著異于0．

b=6．43，T 值等于45．754 顯著性概率 Sig接近于0，這說明b的估計(jì)值是顯著異于0．

F=2093．472顯著性概率Sig接近于0，這說明模型是顯著的．

R=0．99，R2=0．981 這說明昆明市人口的99%可以由時(shí)間來解釋．

總體來說我們用簡(jiǎn)單回歸模型來模擬昆明市人口還是合理的．

表2 預(yù)測(cè)值導(dǎo)數(shù)表

表3 模型方差分析結(jié)果

2．3 Logistic 模型［4］

英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯在擔(dān)任牧師期間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，于1798年發(fā)表了《人口原理》一書，提出了著名的馬爾薩斯人口模型，這個(gè)我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)介紹，但是這個(gè)模型沒有反映出環(huán)境所提供的條件是不能無限制的滿足人類的需要的，由于環(huán)境的限制，使得個(gè)體之間存在競(jìng)爭(zhēng)，從而使得人口增長(zhǎng)率α下降，荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst提出增加添加項(xiàng)：－R1P2(R1＞0)，將馬爾薩斯人口模型改進(jìn)為L(zhǎng)ogistic模型：

從而可以解得：

如同馬爾薩斯人口模型，該模型中也存在一個(gè)出生率的確定問題，一種方法是用1981～2000年的出生率的總平均來計(jì)算，但是這種方法是不確切的．由計(jì)算可以得出1981～2000年的出生率的均值為12．743．

3 預(yù)測(cè)及模型比較

3．1 預(yù)測(cè)結(jié)果

對(duì)昆明市總?cè)丝谧鲴R爾薩斯模型、回歸模型、Logistic模型預(yù)測(cè)結(jié)果，見表4～6．

表4 昆明市總?cè)丝隈R爾薩斯預(yù)測(cè)

表5 昆明市總?cè)丝诨貧w模型預(yù)測(cè)

表6 昆明市總?cè)丝贚ogistic模型預(yù)測(cè)

3．2 模型評(píng)價(jià)

我們可以容易計(jì)算出，馬爾薩斯人口模型的平均誤差是最小的，為5．222，而線性回規(guī)模型的平均誤差是64．81，Logistic模型的平均誤差是83．68．這就說明用馬爾薩斯人口模型來估計(jì)昆明市未來10年的人口數(shù)量是3個(gè)模型中最合適的．但是馬爾薩斯人口模型忽略了環(huán)境、競(jìng)爭(zhēng)等客觀存在的影響人口增長(zhǎng)的因素，這個(gè)模型預(yù)測(cè)短期內(nèi)的人口是可行的，但是如果我們要預(yù)測(cè)長(zhǎng)期的人口模型就不能用這個(gè)模型．

表5 昆明市未來十年人口的環(huán)比增長(zhǎng)率估值

4 結(jié)論

我們用馬爾薩斯人口模型估計(jì)2001～2010年的人口，從而可以得出昆明市未來10年總?cè)丝诘沫h(huán)比增長(zhǎng)率(以1949年為基期)的估計(jì)值(見表5)．

從表5中我們可以看出環(huán)比增長(zhǎng)率的漲幅已經(jīng)不大了，這就說明昆明市未來10年的總?cè)丝陔m然一直在增長(zhǎng)，但是增長(zhǎng)得比較緩慢，這是一個(gè)可喜的結(jié)果．從昆明市年齡構(gòu)成指數(shù)上來看，昆明市老年人口在2000年占總?cè)丝跀?shù)量的比重達(dá)6．56%，這很接近7%的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，而老少比也已經(jīng)達(dá)到34．42%，已經(jīng)超過了30%的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，所以我們?cè)诳紤]控制人口數(shù)量的同時(shí)，還應(yīng)該建立良好的社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)機(jī)制，以應(yīng)對(duì)即將到來的老齡化問題．

［1］2000年昆明市第五次全國(guó)人口普查資料匯編［M］．北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2000．

［2］方亞玲．對(duì)人口模型的研究［J］．山西煤炭干部管理學(xué)報(bào)，2002(2)：41－44．

［3］楊麗霞，楊貴山，苑韶峰．?dāng)?shù)學(xué)模型在人口預(yù)測(cè)中的應(yīng)用——以江蘇省為例［J］．流域資源與環(huán)境，2006(3)：287－291．

［4］任運(yùn)平，楊建雅．Logistic人口模型的改進(jìn)［J］．運(yùn)城高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，1999(6)：23－24．

［5］郝黎仁，樊元，郝哲歐．SPSS實(shí)用統(tǒng)計(jì)分析［M］．北京：水利水電出版社，2003．