琚鑫 鄭鵡

(首都師范大學(xué)物理系 北京 100048)

1 引言

單擺是物理學(xué)中一類重要的諧振子模型．無(wú)論是在經(jīng)典物理，還是在量子物理，能否成功地求解諧振子問(wèn)題，可以被認(rèn)為是一個(gè)物理理論是否可行的判定標(biāo)準(zhǔn)之一.單擺還為人們開(kāi)啟了一條由線性物理學(xué)進(jìn)入到非線性物理學(xué)的窗口．單擺這一簡(jiǎn)單的物理模型不僅包含了物理知識(shí)和物理規(guī)律，同時(shí)在求解單擺問(wèn)題的過(guò)程中，很多科學(xué)方法和思維模式的使用，使得單擺無(wú)論是在中學(xué)教學(xué)中，還是在大學(xué)教學(xué)中都占據(jù)了極為重要的地位．

單擺中的一個(gè)重要的研究課題就是單擺的周期．如何精確地從理論上計(jì)算和從實(shí)驗(yàn)上測(cè)量周期就成為一個(gè)需要深入研究的問(wèn)題．在理論計(jì)算方面，目前教材中流行的方法基本都是采用線性近似，即對(duì)擺角θ的正弦值做線性處理，亦即sinθ≈θ，將非線性的微分方程變成線性微分方程，于是可以得到單擺的振動(dòng)周期為

(1)

其中l(wèi)是擺長(zhǎng)，g是重力加速度．

筆者注意到，現(xiàn)行高中物理新課程教材[1]中，有這樣一段注釋：

“利用高等數(shù)學(xué)研究單擺的運(yùn)動(dòng)就會(huì)看到，(1)式是個(gè)近似公式，由它算出的周期與精確值之間的差別伴隨著偏角的增加而增加．當(dāng)偏角θ為5°時(shí)兩者相差0.01%，7°時(shí)兩者相差0.1%，15°時(shí)兩者相差0.5%，23°時(shí)兩者相差1%．”

這里很自然地涉及兩個(gè)問(wèn)題：一個(gè)是理論上如何給出一個(gè)任意擺角的單擺振動(dòng)周期的相對(duì)誤差分布；另一個(gè)是在實(shí)驗(yàn)上，多大的振幅可以滿足sinθ≈θ成立，使得小振幅單擺可以理論與實(shí)驗(yàn)相互自洽．

在開(kāi)始討論之前，我們先要糾正一下措辭，“單擺”這個(gè)名詞的定義應(yīng)當(dāng)是被限定在小角度或小振幅情況下的擺動(dòng).當(dāng)振幅很大時(shí)，擺動(dòng)就不能再稱之為單擺，于是我們采用“任意振幅擺”這個(gè)詞來(lái)代表我們所研究的問(wèn)題．

首先回答第二個(gè)問(wèn)題，采取控制誤差的方法，在實(shí)驗(yàn)測(cè)量中，認(rèn)為sinθ是真實(shí)值，而θ是我們選取的近似值或者是“測(cè)量值”.計(jì)算其相對(duì)誤差γ在γ0=0.1%的時(shí)候，所對(duì)應(yīng)的角度值，有下列方程

可以得到數(shù)值解θ=4.44°，也就是說(shuō)，在這個(gè)范圍以內(nèi)，都可以認(rèn)為sinθ≈θ成立，即我們可以放心地使用線性微分方程來(lái)求解振動(dòng)周期．但是，這樣小的振幅，雖然在實(shí)驗(yàn)測(cè)量上的問(wèn)題解決了，但是其“可視性”和“操作性”卻相對(duì)一般.比如，作為演示實(shí)驗(yàn)使用的時(shí)候，距離稍遠(yuǎn)的觀察者幾乎就看不太清楚單擺的振動(dòng)．為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們不妨非常大膽的將振幅增大，但是這需要嚴(yán)格控制誤差，這就回到了第一個(gè)問(wèn)題上.為此，我們需要計(jì)算任意振幅下擺的振動(dòng)周期的相對(duì)誤差．我們與很多文獻(xiàn)不同，沒(méi)有采用橢圓積分化為級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法[2]，而是采取從頭計(jì)算的方法，直接給出精確表達(dá)式，直接進(jìn)行數(shù)值積分，從而避免了一些不必要的步驟和誤差．

2 模型和計(jì)算

如圖1所示，其中θm為最大振幅，l是擺長(zhǎng)，mg是振子所受的重力，對(duì)于任意的θ位置，由于只有重力做功，因此系統(tǒng)機(jī)械能守恒，選擺動(dòng)平衡時(shí)所在位置為零勢(shì)能面，有

mgl(1-cosθm)

(2)

可得

(3)

圖1 單擺

對(duì)時(shí)間t積分，就可以得到小球從最低點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間t0，再乘以4，就可得到整個(gè)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期

(4)

這是一個(gè)廣義含參積分．我們將

作為單擺周期的精確真實(shí)值，以此來(lái)計(jì)算大振幅情況下的系統(tǒng)誤差γ(θm).

(5)

3 計(jì)算結(jié)果和討論

式(5)即為擺角小于90°的任意振幅擺振動(dòng)周期的相對(duì)誤差的嚴(yán)格解析表達(dá)式.下面是數(shù)值計(jì)算的結(jié)果．我們給出以5°角為等差的任意振幅擺振動(dòng)周期相對(duì)誤差分布，如表1.

表1 任意振幅擺振動(dòng)周期的相對(duì)誤差

將表1給出的數(shù)據(jù)，繪制出如圖2所示的系統(tǒng)相對(duì)誤差γ(θm)與振幅θm的關(guān)系曲線.

圖2 任意振幅擺振動(dòng)周期的相對(duì)誤差曲線

從圖2可以看出，曲線有以下特點(diǎn).

誤差的增加整體上呈現(xiàn)一個(gè)非線性單調(diào)增長(zhǎng)的趨勢(shì).在振幅趨近于零的時(shí)候，相對(duì)誤差為零，在振幅達(dá)到90°的時(shí)候，相對(duì)誤差為18%.

為何會(huì)出現(xiàn)上述結(jié)果？有一點(diǎn)很清楚，就是當(dāng)振幅θm→0的時(shí)候，剛好滿足第一部分所說(shuō)的線性近似的條件，因而得出的周期就可以認(rèn)為是真實(shí)值 ，誤差γ→0．當(dāng)振幅θm→90°時(shí)，相對(duì)誤差達(dá)到了最大值．結(jié)合式(5)可知，曲線的單調(diào)增長(zhǎng)說(shuō)明了振動(dòng)周期隨著振幅θm的增長(zhǎng)也呈現(xiàn)一個(gè)單調(diào)性的變化，從物理上講，就是振幅越大，振動(dòng)的周期越長(zhǎng)．

此外，我們的計(jì)算結(jié)果在振幅θm超過(guò)30°之后，誤差值均系統(tǒng)性地小于文獻(xiàn)[3]中的結(jié)果.這其中的原因就在于當(dāng)振幅θm較大時(shí)，對(duì)于sinθ的展開(kāi)就不能只取到第二項(xiàng)的θ項(xiàng)，而是要繼續(xù)考慮更高次冪的展開(kāi)項(xiàng).正是由于忽略了后面的高次項(xiàng)，因此必然會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的誤差偏大．

再?gòu)臄?shù)值上看，當(dāng)振幅θm=45°的時(shí)候，相對(duì)誤差γ→ 4%，也就是說(shuō)，如果一個(gè)固有周期為T0=10 s的小振幅單擺，當(dāng)把它的振幅變到θm=45°的時(shí)候，周期變?yōu)?/p>

而0.4 s的差別，對(duì)于演示實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，是完全可以接受的．

4 結(jié)論

我們推導(dǎo)了任意振幅擺周期相對(duì)誤差的解析表達(dá)式，利用從頭算起的數(shù)值方法，計(jì)算了振幅介于0°到90°之間的單擺周期的相對(duì)誤差．計(jì)算過(guò)程中沒(méi)有采取近似，所以計(jì)算結(jié)果為準(zhǔn)確的數(shù)值解．

參考文獻(xiàn)

1 人民教育出版社課程教材研究所，物理課程教材開(kāi)發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(物理·選修3-4).北京：人民教育出版社，2007

2 喻利華，張?jiān)聞?單擺周期的數(shù)值計(jì)算.物理通報(bào)，2001(7)

3 吳云龍.對(duì)單擺周期測(cè)定值誤差的詮釋.中學(xué)物理教學(xué)參考，2004,33(6)