林輝慶

(余杭高級中學 浙江 杭州 311100)

對感應電動勢根據(jù)非靜電力來源的不同，分為動生電動勢和感生電動勢兩類．導體在磁場中運動，其中的自由電荷受到洛倫茲力，從而推動自由電荷定向移動，這樣產(chǎn)生的感應電動勢叫動生電動勢;由于磁場變化產(chǎn)生渦旋電場，導體中的自由電荷受到渦旋電場的作用力而定向移動，這樣產(chǎn)生的感應電動勢叫感生電動勢．這兩種感應電動勢的大小，都滿足法拉第電磁感應定律

高中生經(jīng)常提出這樣的問題：既然動生電動勢和感生電動勢的非靜電力來源不同，它們怎么會滿足相同的定律？它們能否在更深的層次上相統(tǒng)一？一些大學的電磁學教材沒有涉及這個問題，有些教材雖然涉及到了這個問題，但沒有使它們真正相統(tǒng)一．本文對此問題做較為深入的探討．

1 動生電動勢與感生電動勢的相對性

動生電動勢與感生電動勢的區(qū)分并非是絕對的，而與選取的參考系有關(guān)．對于具體的電磁感應現(xiàn)象，在一個參考系中觀察是動生電動勢，在另一個參考系中觀察就可能是感生電動勢．如圖1所示，柱形磁棒與導體圓環(huán)相對運動，導體圓環(huán)中出現(xiàn)感應電動勢．如果以磁棒為參考系，那么空間各點的磁場不變，導體環(huán)切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢,如圖1(a)，這時的電動勢就是動生電動勢．如果以圓環(huán)為參考系，那么空間各點的磁場都在變化，變化的磁場產(chǎn)生渦旋電場，渦旋電場使導體圓環(huán)中產(chǎn)生感應電動勢,如圖1(b)，這時的電動勢是感生電動勢．

圖1

動生電動勢與感生電動勢的相對性表明它們是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的．兩者的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，一定源于磁場與電場的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化．實際上，按照麥克斯韋的電磁理論，電場和磁場是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的統(tǒng)一體，稱為電磁場．從相對論可以更好地理解這一點．在相對論中，電場和磁場只是統(tǒng)一的電磁場的兩種不同表現(xiàn)，一個電磁場，在某個參考系中觀察，它可能表現(xiàn)為電場，在另一個參考系中觀察，它可能就表現(xiàn)為磁場，在一般的情況下，觀察到的是既有電場又有磁場．電磁場在不同參考系之間作為一個整體來變換．動生電動勢與感生電動勢的非靜電力——洛倫茲力和渦旋電場力，是電磁場對導體中自由電荷統(tǒng)一的電磁作用力的兩種成分.這兩種成分是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，這決定了這兩種電動勢必然是統(tǒng)一的．

下面用兩個參考系之間的相對論變換，探討動生電動勢與感生電動勢的定量統(tǒng)一．為此，先研究電源電動勢在不同參考系之間的相對論變換．

2 電源電動勢的相對論變換

電源是通過非靜電力做功把其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能的裝置．電能的實質(zhì)是電源正、負極積聚的正、負電荷相互作用具有的電勢能．電源的電動勢定義為非靜電力把正電荷在電源內(nèi)從負極移送到正極所做的功W與所移送電荷量q的比值．非靜電力做了多少功，就有多少其他形式的能轉(zhuǎn)化為電勢能．所以，電動勢E也等于非靜電力移送電荷增加的電勢能ΔE，與被移送電荷q的比值，即

那么，在做相對運動的不同參考系中觀測，同一電源的電動勢是否相同？電動勢與非靜電力做功產(chǎn)生的電勢能的變化相聯(lián)系．由相對論，能量E總對應一定的質(zhì)量m，即

E=mc2

同一對象，在不同參考系中觀測，質(zhì)量不同.設物體的靜止質(zhì)量為m0，則在與物體的相對運動速度為v的參考系中觀測，質(zhì)量為

c是真空中的光速．在相對論中，一個過程的能量變化，在不同參考系中觀測，有不同的數(shù)值．所以，同一個電源，在不同參考系中觀測，電動勢也不相同．

設非靜電力把一定量的電荷從的電源的負極運送到正極，在相對電源靜止的參考系K′ 和相對電源以速度v運動的參考系K中觀測，電勢能分別增加了ΔE′ 和ΔE;與它們對應的質(zhì)量變化分別為Δm′ 和Δm.由質(zhì)量變換關(guān)系有

由質(zhì)能關(guān)系得到

(1)

電荷量是一個洛倫茲不變量，在不同參考系中觀測，同一個帶電粒子的電荷量q相同．在(1)式兩邊同除以q，即得到

(2)

這就是電源電動勢在不同參考系之間的變換公式，其中 E ′是在相對于電源靜止的參考系中的電動勢，E是相對于電源以速度v運動的參考系中的電動勢．可見電源在運動狀態(tài)的電動勢大于靜止狀態(tài)的電動勢．

3 動生電動勢與感生電動勢在相對論中的統(tǒng)一

為了推導方便，下面只研究導體棒在勻強磁場中切割磁感線這種最簡單的情況，而得到的結(jié)果具有普遍性．

在圖2所示的K參考系中，PQ、MN之間有沿z軸負方向的勻強磁場(圖中z軸未畫)，磁感應強度為B，長為l的導體棒CD沿y軸方向，以速度v沿x軸方向運動．

圖2

設導體棒中的自由電荷帶正電，它隨著棒運動而受到y(tǒng)軸方向的洛倫茲力

F洛=qvB

自由電荷從C端運動到D端，由于洛倫茲力做功而增加的電勢能為

ΔE=qvBl

電動勢

(3)

如圖3所示，在與導體棒一起運動的K′參考系中觀測，空間既有電場又有磁場．根據(jù)電磁場的相對論變換，可以由K參考系中的磁場，求出K′ 參考系中電磁場的各個分量．

圖3

從K參考系到K′ 參考系，電磁場的變換公式為[1]

(4)

變換式中

在K參考系中，電磁場中的各個分量為Ex=

Ey=Ez=0，Bx=By=0，Bz= -B．由變換公式(4)得到在K' 參考系中，電磁場中的各個分量為Ex′=Ez′=0，Ey′=γvB，Bx′=By′=0，Bz′= -γB．

在K′參考系中，導體棒中的自由電荷受到感應電場力(非靜電力)從C端運動到D端，增加的電勢能ΔE′=qEy′l=qγvBl．電動勢為

(5)

比較(3)、(5)兩式得到

(6)

在這里，與導體棒相對靜止的參考系K′ 中觀測到的電動勢E ′，比相對導體棒運動的參考系K中觀測到的電動勢E 大，與電源電動勢的變換公式(2)相矛盾．

問題出在哪里？原來，在推導K參考系中的電動勢公式(3)時，并沒有考慮相對論效應．自由電荷在沿y軸方向的洛倫茲力作用下從C端移動到D端，電勢能增加，導體棒的質(zhì)量也增大.要使導體棒以速度v沿x軸方向勻速運動，需要再增加一個x方向的外力Fx，才能使導體棒水平方向的動量增加．

即Fxdt=vdm

(7)

自由電荷從導體棒的C端運動到D端的過程，水平外力Fx做的功

利用(7)式得到

(8)

(9)

電荷q從C端運動到D端，對導體棒做功的非靜電力有y軸方向的洛倫茲力和x方向的外力Fx，由功能關(guān)系有

qvBl+Wx=ΔE

利用(9)式即可得到

電動勢為

(10)

比較(5)式和(10)式，即可得到

與電源電動勢的相對論變換公式(2)符合．

至此，我們在相對論的理論框架內(nèi)，達到了動生電動勢與感生電動勢的定量統(tǒng)一，并且推導出了相對論中動生電動勢的公式

由此知道，通常使用的動生電動勢公式E =Blv，是相對論中動生電動勢公式在導體棒的速度v遠小于光速c情況下的近似．

參考文獻

1 趙凱華，陳熙謀．新概念物理教程·電磁學(第二版)．北京：高等教育出版社，2006．199