杜 建，陳曉宏，陳志和

(中山大學(xué) 水資源與環(huán)境研究中心∥廣東省高校水循環(huán)和水安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510275)

受人類活動(dòng)和氣候變化的影響，水文特征的時(shí)間變異是客觀存在的，認(rèn)識(shí)一個(gè)區(qū)域水文要素變化規(guī)律，修正區(qū)域水文時(shí)間序列長(zhǎng)序列變化的非一致性，從而可為洪水預(yù)報(bào)、水資源開(kāi)發(fā)以及水利工程設(shè)計(jì)施工和管理提供科學(xué)依據(jù)。目前在水文時(shí)間序列中用于確定可能變異點(diǎn)的方法，如有序聚類法、Mann-Kendall檢驗(yàn)法、秩和檢驗(yàn)法、R/S分析法［1］、貝葉斯方法［2］、啟發(fā)式分割算法［3］和信息測(cè)度模型［4］等，這些方法大多數(shù)是從概率統(tǒng)計(jì)方面來(lái)研究，卻很少有從系統(tǒng)內(nèi)部的特征變化來(lái)識(shí)別水文變異點(diǎn)。

由于降雨、徑流等水文過(guò)程受眾多因素的影響而造成強(qiáng)烈的變異性，表現(xiàn)出偽隨機(jī)特征，致使傳統(tǒng)確定性數(shù)學(xué)模型對(duì)這些水文過(guò)程的模擬遇到了很大的困難，而混沌理論的出現(xiàn)為研究這種高度復(fù)雜的系統(tǒng)提供了新的思路［5］，所以從20世紀(jì)80年代開(kāi)始，混沌理論和方法在降雨、徑流、洪澇、地下水、水質(zhì)以及降雨－徑流分析及預(yù)測(cè)等水文水資源領(lǐng)域的應(yīng)用研究快速發(fā)展［6－7］。

水文變異點(diǎn)在水文系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)表現(xiàn)出來(lái)，如何提取系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變化的信息成為識(shí)別水文變異點(diǎn)的關(guān)鍵。由時(shí)間序列重構(gòu)相空間的過(guò)程可知:重構(gòu)相空間中點(diǎn)的軌跡是原時(shí)間序列動(dòng)力性質(zhì)的一種反映。如果系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生了變化，軌跡的形狀及大小必然發(fā)生相應(yīng)的變化。如能找到反應(yīng)軌跡的形狀及大小變化的參數(shù)，則可從系統(tǒng)內(nèi)部特征的變化找到水文變異點(diǎn)。文獻(xiàn) ［8］曾應(yīng)用相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵來(lái)描述統(tǒng)重構(gòu)后相空間中軌跡形狀及大小的變化，將其應(yīng)用于內(nèi)燃機(jī)氣門漏氣故障診斷研究中，取得了較好的效果。

本文嘗試應(yīng)用混沌理論對(duì)水文變異點(diǎn)進(jìn)行診斷，在重構(gòu)水文時(shí)間序列的基礎(chǔ)上，根據(jù)反映系統(tǒng)狀態(tài)變化的相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵的變化來(lái)對(duì)水文序列時(shí)間變異點(diǎn)進(jìn)行識(shí)別，以期對(duì)水文變異分析做進(jìn)一步探討。

1 水文時(shí)間序列的相空間重構(gòu)

混沌學(xué)從理論走向應(yīng)用很大程度上取決于Packard 和 Takens提出的相空間重構(gòu)理論［9－10］。相空間重構(gòu)把系統(tǒng)中每一點(diǎn)的實(shí)質(zhì)性信息都抽象出來(lái)，揭示了其它方式看不見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)模式，就象紅外線照片可以揭示非感官所及的圖形和細(xì)節(jié)一樣，這對(duì)于研究復(fù)雜的水文系統(tǒng)是一個(gè)很有力的工具［11］。相空間重構(gòu)能保持水文時(shí)間時(shí)序所對(duì)應(yīng)的原動(dòng)力系統(tǒng)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的幾何不變性，系統(tǒng)中任一分量的演化都是由與之相互作用著的其它分量所決定的，因此這些相關(guān)分量的信息就隱含在任一分量的發(fā)展過(guò)程之中［12］。時(shí)間延遲技術(shù)是時(shí)間序列相空間重構(gòu)最常用的方法，即為了重構(gòu)一個(gè)等價(jià)的狀態(tài)空間，只需考察一個(gè)分量，并將它在某些固定的延遲時(shí)間間隔點(diǎn)上的測(cè)量作為新維處理，它們確定了某個(gè)多維狀態(tài)空間中的一點(diǎn)，重復(fù)這一過(guò)程并測(cè)量相對(duì)于不同時(shí)間的各延遲量，就可以產(chǎn)生出許多這樣的點(diǎn)，它可以將系統(tǒng)的許多性質(zhì)保存下來(lái)，即用系統(tǒng)的一個(gè)觀察量可以重構(gòu)出原動(dòng)力系統(tǒng)模型。

水文系統(tǒng)可以看作是具有n個(gè)變量的動(dòng)力系統(tǒng)［13］，用下述方程表述:

系統(tǒng)的時(shí)間演變的狀態(tài)空間可由坐標(biāo)x(t)加上其(n－1)階導(dǎo)數(shù)所構(gòu)成的n維相空間來(lái)表示，即

Ruelle提出用離散的時(shí)間序列x(t)和它的 (m－1)時(shí)滯位移構(gòu)建一個(gè)新的m維相空間 (即嵌入相空間)，以代替這種連續(xù)變量x(t)和它的導(dǎo)數(shù)所反映的系統(tǒng)狀態(tài)空間，即

其中，τ為滯時(shí)，也稱延遲時(shí)間。對(duì)于某一水文站可觀測(cè)的徑流時(shí)間序列x1，x2，…，xn，選定τ和m，則其重構(gòu)嵌入相空間可表示為:

其中，N=n-(m-1)τ

從水文徑流時(shí)間序列重構(gòu)相空間的過(guò)程可知:由時(shí)間序列重構(gòu)的相空間中點(diǎn)的軌跡是原時(shí)間序列動(dòng)力性質(zhì)的一種反映。軌跡的形狀及大小均反映了原系統(tǒng)的動(dòng)力性質(zhì)，如果系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生了變化，那么其外在表現(xiàn)必然發(fā)生相應(yīng)的變化。

2 徑流序列的混沌性識(shí)別

Lyapunov指數(shù)是一個(gè)譜系 λi(i=1，2，…，m－1)，若譜系中只有最大者為正值，則系統(tǒng)為一維混沌;若譜系中具有兩個(gè)或兩個(gè)以上正的Lyapunov指數(shù)，則系統(tǒng)為多維混沌或超混沌，否則系統(tǒng)為非混沌。因此，一般用最大Lyapunov指數(shù)來(lái)進(jìn)行混沌分析。最大Lyapunov指數(shù)是判斷混沌存在的一個(gè)重要依據(jù)，對(duì)于時(shí)間序列 x1，x2，…，xn，其求取方法如下［13－14］:先按上節(jié)所述方法進(jìn)行相空間重構(gòu)，然后根據(jù)式 (5)求得歐氏空間意義上Yi的最近鄰點(diǎn)及兩點(diǎn)間距離，最后根據(jù)式 (6)求最大Lyapunov指數(shù)λ。

其中N=n-(m-1)τ。

根據(jù)以上方法，求得東江流域博羅站月徑流系列的最大Lyapunov指數(shù)為0.245，從而說(shuō)明了該水文時(shí)間序列存在混沌特性。

3 基于相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵的水文變異識(shí)別方法

變異點(diǎn)是水文序列發(fā)生急劇變化的一種表現(xiàn)形式，當(dāng)水文系統(tǒng)從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)化為另一種狀態(tài)時(shí)表現(xiàn)出來(lái)，水文系統(tǒng)狀態(tài)的改變將導(dǎo)致水文時(shí)間序列的隨機(jī)性和混沌強(qiáng)弱程度發(fā)生變化，進(jìn)而使得重構(gòu)相空間中相軌跡點(diǎn)的分布情況發(fā)生改變，從而相空間點(diǎn)分布的疏密程度也會(huì)發(fā)生改變。如何從重構(gòu)的軌跡中提取反應(yīng)水文狀態(tài)變化的信息，將成為水文變異診斷成功與否的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，而相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵正是體現(xiàn)了這一變化的特征參數(shù)。

相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵的計(jì)算方法如下［8］:

1)有水文時(shí)間序列 {xi}(i=1，2，…，n)，以嵌入維數(shù)m和延遲時(shí)間間隔τ重構(gòu)相空間，按照上述重構(gòu)相空間的方法得到重構(gòu)相空間中的點(diǎn){Yi}(i=1，2… N，N=n-(m － 1)τ)。

2)求相空間中系統(tǒng)相軌跡點(diǎn)對(duì)之間的距離

3)求相空間中系統(tǒng)相軌跡點(diǎn)對(duì)之間的距離的最大值

4)對(duì)相空間中系統(tǒng)相軌跡點(diǎn)對(duì)之間的距離dij進(jìn)行歸一化處理

5)定義絕對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵

由CH的表達(dá)式可知，定義的關(guān)聯(lián)距離熵反映了系統(tǒng)相軌跡上點(diǎn)在相空間中分布的疏密程度，是系統(tǒng)在重構(gòu)相空間中軌道性質(zhì)的一種反映。對(duì)于變點(diǎn)，是觀測(cè)值的分布按某種規(guī)律變化，而在變點(diǎn)處發(fā)生突變，改換成另一種規(guī)律，在水文時(shí)間序列重構(gòu)相空間的表現(xiàn)是相軌跡點(diǎn)的疏密程度發(fā)生了改變，而CH是一個(gè)能很好反映這種變化的參數(shù)。但是CH反映的是一種絕對(duì)大小，與相點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，由此可知這與數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)n以及相空間選取的嵌入維數(shù)m和延遲時(shí)間間隔τ有關(guān)，而m和τ的選擇是人為控制的，不具有客觀性，不利于水文要素的變異點(diǎn)識(shí)別，在此基礎(chǔ)上提出相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵的概念。由于CH反映了動(dòng)力系統(tǒng)在重構(gòu)相空間中軌跡上點(diǎn)分布的疏密程度，點(diǎn)分布越均勻則CH的絕對(duì)值越大，而點(diǎn)分布越集中則CH的絕對(duì)值越小。因此當(dāng)軌跡上點(diǎn)均勻分布時(shí)CH值應(yīng)為最大，令其為CHmax，在此基礎(chǔ)上，對(duì)CH進(jìn)行歸一化處理，這樣得到的熵稱為相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵。

經(jīng)處理后得到的Hd是反映系統(tǒng)性質(zhì)的參量，與N無(wú)關(guān)，Hd是一個(gè)無(wú)量綱的量，有利于水文變異的診斷，系統(tǒng)性質(zhì)的改變將導(dǎo)致重構(gòu)相空間中軌跡點(diǎn)分布疏密程度的不同，從而CH不同，相應(yīng)的Hd不同，Hd是反映系統(tǒng)性質(zhì)的參量。

因相空間重構(gòu)對(duì)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度有一定要求，假設(shè)變異的點(diǎn)在j年，其中j={8，9，…，n}，取j時(shí)刻前的時(shí)間序列xj，在重構(gòu)徑流相空間的基礎(chǔ)上，按照以上方法求出時(shí)間序列 xj的 Hd(xj)，計(jì)算 Hd(xj)的增值比d Hd(xj)，即

找出dHd(xj)最大的那一點(diǎn)，則視這一點(diǎn)為變異的最大點(diǎn)，相應(yīng)便可診斷出變異的年份。

4 實(shí)例研究

如果流域受到自然及人類大規(guī)?；顒?dòng)影響，從而流域的自然條件、下墊面條件會(huì)發(fā)生改變，這些會(huì)使該流域水文時(shí)間序列的特征數(shù)相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵發(fā)生變化。因此，可以通過(guò)分析流域水文時(shí)間序列的相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵的變化，找出該時(shí)間序列的變異點(diǎn)。本文以廣東省東江流域博羅站1956－2005年的逐月徑流量時(shí)間序列為例來(lái)驗(yàn)證本方法的有效性。

假設(shè)變異的點(diǎn)為 j={8，9，10，…，n}，取 j時(shí)刻前的時(shí)間序列xj，在重構(gòu)徑流相空間的基礎(chǔ)上，按照以上方法求出時(shí)間序列xj的Hd(xj)，其中m=4，τ =8，計(jì)算Hd(xj)的增值比

d Hd(xj)，找出dHd(xj)最大的那一點(diǎn)，則視這一點(diǎn)為變異的最大點(diǎn)，相應(yīng)便可診斷出變異的年份，分析的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 博羅站徑流序列相對(duì)關(guān)聯(lián)熵與相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵增值比Table 1 Relative correlation distance entropy and increment ratio of Hd(xj)of runoff series at Boluo Station

從表1可見(jiàn)，相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵Hd在1.09－1.14之間，變化的幅度較小，這主要相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵反映的是相空間主對(duì)角線方向點(diǎn)分布的疏密程度，使得重構(gòu)相空間中點(diǎn)的疏密程度改變不是特別明顯，但是從表1可以看出，1963－1972年的Hd在1.09～1.11之間交替變化，1973－1979年的Hd在1.12左右，1980－1983年的Hd在1.13左右，1984－2005年的Hd在1.14左右，由此可見(jiàn)1963－1972年的變化較其他年份變化劇烈，在1963－1972年徑流序列發(fā)生變異的可能性最大，這主要因?yàn)樵?0－70年代東江流域開(kāi)始進(jìn)行大規(guī)模的水利建設(shè)，在此期間新豐江水庫(kù)、東深供水等水利工程相繼建成，這些人類活動(dòng)的影響可能導(dǎo)致徑流序列的狀態(tài)發(fā)生變化。從圖1年增值比d Hd(xj)的變化趨勢(shì)看，1963－1972變化比較劇烈，1973－1985年變化次之，1986－2002年變化緩慢，從2003年開(kāi)始又有變化較大的趨勢(shì)，這與東江流域的主要水利工程的建設(shè)的過(guò)程是一致的，東江流域的三大水庫(kù)中新豐江水庫(kù) (1962年建成)、楓樹(shù)壩水庫(kù) (1973年建成)、白盆珠水庫(kù) (1985年建成)的相繼發(fā)揮作用，使得博羅站的徑流發(fā)生變化。從圖1中的年增值比dHd(xj)的變化可以明顯的看出博羅站徑流量在1972、1982年發(fā)生較大變化1972年明顯變化最大，所以1972年可以診斷為東江流域博羅站徑流量的變異點(diǎn)，這與文獻(xiàn) ［15］東江流域水文特征在1972年發(fā)生變異的結(jié)論相一致。

圖1 博羅站徑流序列Hd(xj)的增值比的變化Fig.1 Change of the increment ratio of Hd(xj)of runoff series

為了近一步探討徑流序列變異的原因，分析博羅站年徑流量與博羅站面雨量的相關(guān)關(guān)系 (圖2)，在變化前 (1956－1972年)，降雨徑流的相關(guān)系數(shù)為0.969，變化后 (1973－2000年)降雨徑流的相關(guān)系數(shù)為0.937，而新豐江水庫(kù)與博羅站年徑流的相關(guān)關(guān)系 (如圖3所示)在變化前 (1961－1972年)的相關(guān)系數(shù)為0.895，變化后 (1973－2005年)的相關(guān)系數(shù)為0.933，由此可看出，博羅站徑流量在受降雨影響的同時(shí)，越來(lái)越受新豐江水庫(kù)的調(diào)節(jié)作用的影響。從圖1還可以看出除1972年變化較大外，1982年也變化較大。為了探討1982年變化較大的原因，分析1973－1982年博羅站與楓樹(shù)壩水庫(kù)年徑流量的相關(guān)系數(shù)為0.789(圖4)，而在1982變化后的相關(guān)系數(shù)為0.856，而此時(shí) (1973－1982年)博羅站年徑流與面雨量的相關(guān)性0.966，而在1982變化后博羅站年徑流與面雨量的相關(guān)性為0.951。

同樣表明，博羅站的徑流受到楓樹(shù)壩水庫(kù)的調(diào)節(jié)作用。1972年變化比1982年變化劇烈是因?yàn)樾仑S江是東江流域最大的水庫(kù)，總庫(kù)容為138.96億m3，具有多年調(diào)節(jié)能力，而楓樹(shù)壩水庫(kù)的總庫(kù)容為19.32億m3，相比與新豐江水庫(kù)，楓樹(shù)壩水庫(kù)的調(diào)節(jié)性能小的多。綜上所述，東江流域降雨徑流變化過(guò)程關(guān)系密切，降雨對(duì)徑流的影響有隨著年代推移而減弱的趨勢(shì)。這說(shuō)明，變化環(huán)境下，徑流主要受降雨影響的同時(shí)，愈來(lái)愈受到水利工程的影響，在徑流演變過(guò)程中的作用越來(lái)越不容忽視。

為了與傳統(tǒng)的水文變異方法比較，對(duì)東江博羅站的徑流序列做Mann-Kendall突變點(diǎn)檢驗(yàn)，如圖5所示。

圖5 博羅年徑流量Mann-kendall統(tǒng)計(jì)量曲線Fig.5 M-K trends of runoff series at Boluo Station

從曲線的交點(diǎn)來(lái)看，有多處交點(diǎn)，位置在1963、1966、1972、2002年，但是無(wú)法判斷哪些交點(diǎn)是比較顯著的變點(diǎn)。Mann-Kendall方法對(duì)于趨勢(shì)變化明顯的單變點(diǎn)情形既簡(jiǎn)單而且直觀有效，但若對(duì)多變點(diǎn)情形誤用可能得出錯(cuò)誤結(jié)論，必需在先驗(yàn)的了解數(shù)據(jù)規(guī)律后，對(duì)多變點(diǎn)情形分段應(yīng)用該法。而基于相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵的水文變異點(diǎn)的識(shí)別方法可以清晰的判斷出比較顯著的變點(diǎn)。

關(guān)聯(lián)距離熵反映了重構(gòu)相空間中吸引子軌道的分布及形狀，體現(xiàn)了系統(tǒng)的本質(zhì)特征，從而具有較好的對(duì)系統(tǒng)性質(zhì)表達(dá)能力。根據(jù)相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵的變化來(lái)反應(yīng)系統(tǒng)平穩(wěn)性和隨機(jī)性的變化，水文變異點(diǎn)是在從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)化為另一種狀態(tài)時(shí)表現(xiàn)出來(lái)，在相空間中的體現(xiàn)是相空間點(diǎn)軌跡點(diǎn)的疏密程度發(fā)生變化，而相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵正是體現(xiàn)了這種變化?；陉P(guān)聯(lián)距離熵的水文時(shí)序變異點(diǎn)的識(shí)別從系統(tǒng)的動(dòng)力特征的角度，探索從系統(tǒng)內(nèi)部的特征的變化來(lái)辨識(shí)水文系統(tǒng)的狀態(tài)的跳躍，從而識(shí)別出水文變異點(diǎn)。

基于相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵的水文變異點(diǎn)識(shí)別方法與其他水文變異點(diǎn)識(shí)別方法相比，能清晰的識(shí)別多個(gè)變點(diǎn)的情況，計(jì)算簡(jiǎn)單，從系統(tǒng)的動(dòng)力特征的角度，識(shí)別了水文變異點(diǎn)。從關(guān)聯(lián)距離熵的定義可知，關(guān)聯(lián)距離熵反映的是系統(tǒng)在相空間中沿主對(duì)角線方向點(diǎn)分布的疏密程度，但無(wú)法反映系統(tǒng)在相空間中其它方向的分布情況，使得在應(yīng)用中關(guān)聯(lián)距離熵的變化不是特別明顯，如何從重構(gòu)的吸引子中提取更全面、能反映系統(tǒng)的參數(shù)需要進(jìn)一步探討。

5 結(jié)論

本文以東江博羅站50年月徑流量序列為例子，應(yīng)用混沌理論中相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵對(duì)博羅站月徑流序列進(jìn)行水文變異識(shí)別。首先將月徑流量構(gòu)成多維相空間，展示系統(tǒng)的動(dòng)力特征，并基于此計(jì)算序列的相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵，分析相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵的變化來(lái)辨識(shí)系統(tǒng)的變化，從而識(shí)別出水文變異點(diǎn)。本方法從系統(tǒng)的動(dòng)力特征的角度，探索從系統(tǒng)內(nèi)部的特征的變化來(lái)識(shí)別水文變異點(diǎn)，作為水文變異點(diǎn)識(shí)別的新方法是可行的。水文系統(tǒng)狀態(tài)的改變，在相空間點(diǎn)的疏密程度也會(huì)發(fā)生改變，但是變化程度在相空間中沿主對(duì)角線方向反映不是特別明顯，如何從重構(gòu)的吸引子中提取更全面、能反映系統(tǒng)的參數(shù)尚需要進(jìn)一步探討研究。

水文時(shí)間序列既有確定性的部分，又有隨機(jī)性的部分，探索水文的變化規(guī)律，把握水文變化特征，更可靠的的預(yù)測(cè)未來(lái)，選用相關(guān)研究方法是非常重要的。本文將混沌理論中相對(duì)關(guān)聯(lián)距離熵引入到水文變異點(diǎn)的識(shí)別是一次有益的嘗試，尚需要進(jìn)一步研究和完善。

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