郭 偉

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

基于模糊綜合評(píng)判法的點(diǎn)權(quán)

郭 偉

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

文章主要研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中點(diǎn)權(quán)的計(jì)算方法。通過模糊綜合評(píng)判法，給出了教學(xué)知識(shí)傳播中教師的點(diǎn)權(quán)大小，對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)權(quán)計(jì)算進(jìn)行了補(bǔ)充。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；模糊綜合評(píng)判法；點(diǎn)權(quán)

1 引言

近幾年來，國(guó)內(nèi)外掀起了研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的熱潮。對(duì)網(wǎng)絡(luò)的研究最早起源于歐拉開創(chuàng)的圖論。之后的近兩百年中，數(shù)學(xué)家們一直致力于對(duì)簡(jiǎn)單的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行抽象的數(shù)學(xué)研究。隨著近年來計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)能力和數(shù)據(jù)處理能力的增強(qiáng)，人們獲得了真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的特征數(shù)據(jù)，通過研究發(fā)現(xiàn)真實(shí)的網(wǎng)絡(luò)既不是規(guī)則的，也不是隨機(jī)的，而是呈現(xiàn)一定規(guī)律的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)之所以復(fù)雜，不僅在于網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的巨大、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜，而且還在于網(wǎng)絡(luò)在時(shí)間、空間上都具有動(dòng)態(tài)復(fù)雜性，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)行為也具有復(fù)雜性。實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)：許多現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)，包括信息網(wǎng)絡(luò)、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)和生物網(wǎng)絡(luò)都是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。本文主要研究的是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)權(quán)大小的計(jì)算。

所謂網(wǎng)絡(luò)是由節(jié)點(diǎn)和連線組成的一個(gè)整體，這里的節(jié)點(diǎn)和連線是廣義的，其中節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的組成元素，兩節(jié)點(diǎn)的連線表示各元素之間的相互作用。雖然定義看似簡(jiǎn)單，但是網(wǎng)絡(luò)卻能夠呈現(xiàn)高度的復(fù)雜性。網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展從最初的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)（度服從單點(diǎn)分布）到艾爾德和萊利的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)理論（度分布服從泊松分布）。然而，影響深遠(yuǎn)的進(jìn)展則是近年來在統(tǒng)計(jì)物理中出現(xiàn)的小世界網(wǎng)絡(luò)（smallworld networks）（度分布服從泊松分布）和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（scale-free networks）（度分布服從冪律分布）的研究。

泊松度分布如圖1所示：圖中的曲線是一條鐘形曲線，該圖形在網(wǎng)絡(luò)平均度數(shù)k處有一個(gè)峰值。網(wǎng)絡(luò)中大多數(shù)節(jié)點(diǎn)的連線都集中在它的附近，而連接線數(shù)遠(yuǎn)離它的結(jié)點(diǎn)所占比例指數(shù)衰減，說明具有泊松分布的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)有同質(zhì)性，人們將k稱為網(wǎng)絡(luò)的特征標(biāo)度（characteristic scale）。然而，另一個(gè)圖中的曲線沒有峰值，且隨k衰減（如圖2所示）。

圖2-1 泊松度分布

圖2-2 冪律度分布

（其中橫坐標(biāo)表示節(jié)點(diǎn)數(shù)，縱坐標(biāo)表示連線數(shù)）

從圖形中還可以看出，現(xiàn)在大多數(shù)節(jié)點(diǎn)僅有少量連線，而少數(shù)節(jié)點(diǎn)擁有大量連線，這種節(jié)點(diǎn)稱為中樞節(jié)點(diǎn)（hubs）。因?yàn)榻Y(jié)點(diǎn)的異質(zhì)性，于是特征標(biāo)度消失了，為給這類網(wǎng)絡(luò)一個(gè)名稱，巴拉巴西（Barabasi）提出了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的概念。

無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)最重要的特性是標(biāo)度不變性（scale invariance）。下面從指數(shù)函數(shù)與冪律函數(shù)對(duì)標(biāo)度改變的反映來解釋標(biāo)度不變性或無標(biāo)度特性的概念。

冪律函數(shù)y=cxa；指數(shù)函數(shù)z=ce-x?，F(xiàn)在改變測(cè)量單位標(biāo)度，即乘以因子λ，觀察這兩個(gè)函數(shù)如何變化。顯然，

由第一個(gè)式子可知：函數(shù)圖形的形狀沒有發(fā)生變化，同時(shí)函數(shù)的指數(shù)也沒變。

由第二個(gè)式子可知：函數(shù)圖形的形狀已經(jīng)改變，同時(shí)函數(shù)的指數(shù)也乘以因子。

以上說明冪律具有標(biāo)度不變性，即不依賴于所采用的測(cè)量單位；而指數(shù)函數(shù)則不具備。

點(diǎn)權(quán)：在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的加權(quán)網(wǎng)中，與節(jié)點(diǎn)度ki相對(duì)應(yīng)的自然推廣就是點(diǎn)強(qiáng)度或點(diǎn)權(quán)Si，其定義為：，其中Ni是節(jié)點(diǎn)i的近鄰集合，ωij代表相鄰兩點(diǎn)間的邊權(quán)。也就是說點(diǎn)權(quán)的大小由邊權(quán)來決定。

2 主要方法和結(jié)果

上述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中對(duì)點(diǎn)權(quán)的定義，只是根據(jù)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度的大小來衡量點(diǎn)的重要性。本文從真實(shí)的教學(xué)知識(shí)傳播網(wǎng)絡(luò)出發(fā)，以節(jié)點(diǎn)表示每個(gè)人，節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的連線表示知識(shí)的傳播。在這里節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的不同即點(diǎn)權(quán)之間的差異主要是由每個(gè)人所擁有的知識(shí)量大小不同來決定的。當(dāng)然，要精確地計(jì)算每個(gè)人的知識(shí)擁有量是不現(xiàn)實(shí)的，但是我們可以利用相對(duì)科學(xué)、合理的模糊方法來計(jì)算知識(shí)擁有量。因此本文利用模糊綜合評(píng)判法來計(jì)算個(gè)人所擁有的知識(shí)量。

Istvan Z.Kissa等[1]在傳染病模型的基礎(chǔ)上研究了基于個(gè)體的有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)模型，通過學(xué)科間的研究課題的擴(kuò)散，說明了有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)對(duì)知識(shí)傳播的擬合性較好，并對(duì)有向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)重進(jìn)行了討論。周濤等[2]對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳播動(dòng)力學(xué)研究做了綜述，并介紹了經(jīng)典傳播模型，討論了小世界網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的傳播特性以及網(wǎng)絡(luò)免疫技術(shù)，提出了實(shí)際傳播網(wǎng)絡(luò)的邊的權(quán)重不同，如何去分析邊權(quán)（或頂點(diǎn)權(quán)）分布對(duì)傳播行為的影響的問題可研究性。以上文章都對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)權(quán)的重要性進(jìn)行了研究，但未給出其具體的計(jì)算方法。李鵬翔等[3]對(duì)原始的系統(tǒng)科學(xué)的研究方法通過度量節(jié)點(diǎn)刪除時(shí)網(wǎng)絡(luò)連通的破壞程度來反映網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)（集）的重要性進(jìn)行了改進(jìn)，通過節(jié)點(diǎn)（集）被刪除后形成的所有不連通節(jié)點(diǎn)對(duì)之間的距離（最短路）的倒數(shù)之和來反映節(jié)點(diǎn)刪除時(shí)網(wǎng)絡(luò)連通的破壞程度，即所刪除節(jié)點(diǎn)（集）的重要性，從另一個(gè)角度考查了點(diǎn)權(quán)的重要性。以下是本文給出的具體方法。

由于確定一個(gè)人的知識(shí)擁有量并不能夠精確的通過數(shù)據(jù)來計(jì)算，所以這里采用模糊綜合評(píng)判法來求出教師的點(diǎn)權(quán)。在知識(shí)傳播過程中，教師是知識(shí)傳播的傳播者。既然是傳播者，那么發(fā)出信號(hào)是很關(guān)鍵的，即教師的語言表達(dá)能力是知識(shí)傳播過程中的主要因素。以下通過對(duì)某班（49人）的調(diào)查研究運(yùn)用模糊綜合評(píng)判法求出點(diǎn)權(quán)，其中的指標(biāo)體系參考考核教師教學(xué)工作的評(píng)價(jià)表得出。不同的是，這里采用了模糊綜合評(píng)判法對(duì)教師的教學(xué)工作進(jìn)行評(píng)測(cè)。

（1）確定因素集

（2）確定權(quán)重向量

評(píng)價(jià)項(xiàng)目的權(quán)重系數(shù)向量（如表1所示）

WF=（0.20，0.20，0.25，0.20，0.15）。

表1 某班教師測(cè)評(píng)

（3）統(tǒng)計(jì)、確定單因素評(píng)價(jià)隸屬度向量，形成隸屬度矩陣。該隸屬度是表（1）中評(píng)價(jià)結(jié)果占總?cè)藬?shù)的比重。利用maple軟件可得：

表1-2 某班教師點(diǎn)權(quán)

綜合隸屬度S=WFR=>

結(jié)果：可以看到，通過模糊綜合評(píng)判法，可以更合理、更科學(xué)的計(jì)算出點(diǎn)權(quán)的確切數(shù)值，當(dāng)然，在其他的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，點(diǎn)權(quán)的計(jì)算仍然可以通過此方法來計(jì)算獲得。所以，本文是對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)權(quán)給出了又一角度的計(jì)算方法。

［1］Kiss，I.Z.，et al.Can epidemic models describe the diffusion of topics across disciplines？Journal of Informetrics（2009），doi：10.1016/j.joi.2009，（08）：002.

［2］周濤，傅忠謙，牛永偉.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳播動(dòng)力學(xué)研究綜述［J］.自然科學(xué)進(jìn)展.2005，15（5）：513-518.

［3］李鵬翔，任玉晴，席酉民.網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)（集）重要性的一種度量指標(biāo)［J］.系統(tǒng)工程.2004，22（4）：13-20.

Based on the Fuzzy Com prehensive Evaluation M ethod of Vertex W eight

GUOWei
（Departmentof Mathematics Changzhi University，Changzhi Shanxi 046011）

This papermainly studies a complex network vertex weight calculation method.By fuzzy comprehensive evaluation method is presented,the teachers'teaching knowledge dissemination of vertex weight of complex network size，the vertex weight computing added.

complex network；fuzzy comprehensive evaluation method；vertex weight

TP393

A

1673-2014（2011）02-0106-03

2011—01—06

郭 偉（1982— ），男，山西長(zhǎng)治人，碩士，主要從事復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究。

（責(zé)任編輯 趙巨濤）