摘 要：考慮到單項預測方法在不同時刻預測準確性的差異，提出了一種基于密度算子的組合預測方法。該方法的核心思想是利用樣本區(qū)間內單項預測方法的預測準確性對預測值聚類；然后基于密度算子的思想對單項預測法集結，得到一種新的組合預測模型；在此基礎上，基于預測值和相應觀察值誤差最小的思想確定單項預測法的加權系數(shù)。該模型充分利用了樣本區(qū)間內單項預測法的預測準確性，因而預測值具有較高的準確性。最后，給出一個實例，并對其結果進行比較分析，證明了該組合預測模型的有效性。

關鍵詞：組合預測；密度算子；預測準確度；密度加權向量

中圖分類號：C934 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5192(2011)04-0060-05

Combination Forecasting Method Based on Density Operator

YI Ping-tao， GUO Ya-jun， LI Wei-wei

(School of Business Administration， Northeastern University， Shenyang 110004， China)

Abstract:Considering the difference of single forecasting method’s veracity at different times， this paper presents a new combination forecasting model based on density operator. The core ideal of this method is to cluster the forecasting values by the forecasting veracity， then build the combination forecasting model using the density operator. Based on this， the single forecasting method weight is determined through the minimal warp between the forecasting values and the real values. This combination forecasting model makes full use of single forecasting model’s veracity， so the forecasting value veracity has been increased. At last， an application example is given， and its result is analyzed to illustrate the validity of the new combination forecasting model.

Key words:combination forecasting; density operator; forecasting veracity; the density weighting vector

1 引言

小到人們日常生活，大到國家發(fā)展規(guī)劃，都會遇到預測問題，比如農場品市場行情預測、股市預測乃至國民經(jīng)濟發(fā)展趨勢預測等。預測對象往往是相互聯(lián)系，相互制約的復雜系統(tǒng)，而使用單個預測模型只能從某個角度提供相應的有效信息，信息源不夠廣泛，因而預測的準確性難以保證。Bates和Granger［1］己于1969年首次提出組合預測的概念，即綜合考慮各單項預測方法所提供的信息，將不同的單項預測方法集結得到組合預測模型。由于它能有效地提高預測精度，因而引起了國內外廣大學者的研究興趣［1~10］。

本文在分析現(xiàn)有組合預測模型的基礎上，考慮到樣本區(qū)間內單項預測方法在不同時刻預測準確性的差異，基于密度算子的思想提出了一種新的組合預測模型。該模型首先利用單項預測方法預測準確性的差異對其進行聚類；然后基于密度算子［11］的思想對單項預測值進行集結，得到組合預測值；在此基礎上，以組合預測值和實際觀察值的誤差最小為基準確定單項預測法在組合預測模型中的加權系數(shù)。該預測模型充分利用了單項預測法的預測準確性，從而進一步提高了組合預測值的準確性。

2 傳統(tǒng)的加權算術平均組合預測方法

設某社會經(jīng)濟現(xiàn)象的指標序列的觀察值為{xt;t=1，2，…，n}，有m種可行的單項預測方法對其進行預測，xit(i=1，2，…，m;t=1，2，…，n)為第i種預測方法在t時刻的預測值（或稱擬合值）。為方便起見，記N={1，2，…，n}，M={1，2，…，m}。

設w=(w1，w2，…，wm)T為m種單項預測方法在組合預測中的加權系數(shù)，應該滿足歸一性和非負性，即∑mi=1wi=1，wi≥0，i∈M。

顯然，J為各種預測方法的加權系數(shù)向量w=(w1，w2，…，wm)T的函數(shù)，所以J也可記為J(w)。

對于組合預測方法，J(w)的大小表明了組合預測值和實際值之間的接近程度。J(w)越小，表示加權算術平均的組合預測值越接近于實際值。因此以誤差平方和最小為準則的加權算術平均組合預測模型可表示為

模型（M1）的最優(yōu)解即為加權算術平均組合預測模型中單項預測方法的加權系數(shù)。

3 密度算子簡介

文獻［11］首次提出了密度算子的概念，并將其應用于多屬性決策中，取得了較好的效果。密度算子是基于屬性信息或群體評價信息分布的疏密程度提出的一種信息集結方法，其作為信息集結的中間過程，在實際應用中需要與已有的信息集結算子（AA，WAA，OWA，Min，Max）合成使用。

密度算子的具體應用過程可以簡述為以下步驟。

步驟1 評價信息的聚類。將已有的屬性信息或群體評價信息根據(jù)信息分布的疏密程度進行聚類，可采用的聚類方法有有序增量分割法［11］、類平均法［12］等。

步驟2 密度加權向量的確定。評價者根據(jù)其對“組間同性”的偏好程度（即評價者偏好主體信息或群體共識，抑或是偏好極端信息或個別意見），采用一定的表達式來確定密度加權向量，可采用的方法主要有比例加速法［11］、規(guī)模增益法［12］、熵值規(guī)劃法［12］等。

步驟3 各組評價信息的內部集結。按照步驟1對評價信息進行分組后，需要對各組內部的評價信息進行集結，可采用已有的信息集結算法，如AA、WAA、OWA、Min、Max等算子。

步驟4 各組評價信息之間的集結。按照步驟3計算出各組的評價信息之后，結合步驟2求得的密度加權向量，可采用“線性”或“積性”［13］密度算子對各組之間的評價信息進行集結。

4 基于密度算子的組合預測模型

4.1 單項預測方法的聚類

組合預測的目的是為了提高預測的準確性，下面給出一種基于預測準確性的單項預測值聚類方法。

定義4 稱

dit=｜xit-xt｜， i∈M，t∈N（4）

為t(t∈N)時刻第i(i∈M)種預測方法的預測值與相應實際值的偏離度。其中dit>0且dit越大，說明第i(i∈N)種預測方法的預測值與相應實際值的偏差越大，其預測的準確性越低。

定義5 稱

μ(t)i=e(1-dit)/∑mi=1e(1-dit)， i∈M，t∈N（5）

為t(t∈N)時刻第i(i∈M)種預測方法的預測準確度，滿足μ(t)i∈(0，1)且∑mi=1μ(t)i=1。

設t(t∈N)時刻所有單項預測法的準確度為μ(t)1，μ(t)2，…，μ(t)m。下面給出基于預測準確度對單項預測值進行聚類的方法——“有序增量分割法”：

(1)按照單項預測法的預測準確度由大到小的順序對μ(t)1，μ(t)2，…，μ(t)m重新排序，記為μ′(t)1，μ′(t)2，…，μ′(t)m。

(2)對重新排序后的單項預測準確度，計算相鄰兩個單項預測準確度的離差，即d(t)i=μ′(t)i-μ′(t)i+1，i=1，2，…，m-1。

(3)設將t(t∈N)時刻的m種單項預測準確度分為l組(l≤m)，則在前l(fā)-1個最大的d(t)i(i=1，2，…，m-1)處分割，即可得到l個數(shù)組。

(4)將l個數(shù)組中的單項預測準確度換成其對應的單項預測值，即可得到t(t∈N)時刻m種單項預測值的l組聚類。

設t(t∈N)時刻m種單項預測值的集合為X^t

={x1t，x2t，…，xmt}，其l組聚類為X^1t，X^2t，…，X^lt，每組中的元素個數(shù)為kj，j=1，2，…，l。為方便起見，記L={1，2，…，l}。

通過以上分析可知：當01時，Tp(ξ(t))>0.5，表明預測者比較偏好預測準確性偏高的數(shù)組。

為了提高組合預測的準確性，理性的預測者一般會比較偏好預測準確性偏高的數(shù)組，即令q>1。下面給出確定密度加權向量的兩種方法：

方法1 給定q一任意值，按照（8）式計算組間預測準確性的偏好度Tp(ξ(t))，若Tp(ξ(t))的值滿足預測者的偏好，則將該q值代入（7）式求得密度加權向量；否則，對q重新賦值，重復上述過程，直到滿足預測者的偏好為止。

方法2 預測者事先給出其組間預測準確性的偏好度，設為λ，將其代入（8）式求得q的取值，然后將q值代入（7）式求得密度加權向量。

4.3 基于密度算子的組合預測模型

設m種單項預測方法在組合預測中的加權系數(shù)ω=(ω1，ω2，…，ωm)T，滿足ωi∈(0，1)且∑x(j)kjt}(j∈L)中的元素重要性的歸一化加權向量，滿足ω(j)i∈(0，1)且∑kji=1ω(j)i=1。

定義9 設et為第t時刻的基于密度算子的組合預測值與相應的實際值之間誤差，則et的表達式為

與傳統(tǒng)的加權算術平均組合預測方法原理相同，基于密度算子的組合預測方法中，J(ω)的大小也表明了組合預測值和實際值之間的接近程度。J(ω)越小，表示基于密度算子的組合預測值越接近于實際值。因此以誤差平方和最小為準則的基于密度算子的組合預測模型可表示為

模型（M2）的最優(yōu)解即為基于密度算子的組合預測模型中單項預測方法的加權系數(shù)。

5 實例分析

為了證明基于密度算子的組合預測方法的有效性，本文對基于密度算子的組合預測模型的結果與傳統(tǒng)的加權算術平均組合預測模型以及單項預測方法的結果進行比較分析。按照預測效果評價原則，選擇下列指標作為預測效果評價指標體系：

選用文獻［14］的實例對基于密度算子的組合預測方法的應用進行說明。為更好地分析，本文在文獻［14］的基礎上，又增加3種單項預測方法。預測對象在10個預測期內的指標實際值分別為：14.9，18.6，22.2，17.6，19.6，24，31.6，43.7，37，47.2；與此對應的單項預測方法1的預測值為10，14.9，23.3，26.1，17.5，20.2，26.4，36.8，52.5，38.5；單項預測方法2的預測值為12，15.48，18.95，22.43，25.9，29.38，32.85，36.33，39.8，43.28；單項預測方法3的預測值為13，16，20.5，19.8，18.7，25.5，30.87，35.98，34.71，40.67；單項預測方法4的預測值為14.3，17.34，19.98，18.34，20.89，23.56，28.68，42.5，41.8，39.86；單項預測方法5的預測值為11.98，16.45，21.67，18.64，21.3，22.56，29.79，39.83，36.98，42.8。

以單項預測方法1為例，根據(jù)（5）式求得其在10個預測期內的預測準確度分別為：0.085，0.046，0.266，0.001，0.124，0.020，0.006，0.003，0.001，0.005。

按照“有序增量分割法”對單一預測時刻各單項預測值進行聚類，以預測時刻1為例，設分為3組，聚類結果為

X^(1)1={x41};X^(1)2={x31};

X^(1)3={x11，x21，x51}；采用方法2確定密度加權向量，設預測者對組間預測準確性的偏好度為Tp(ξ(t))=0.7，則q=7.945，對應的密度加權向量為ξ(1)=(0.585，0.229，0.186)T。

依據(jù)規(guī)劃模型（M1）和（M2）求得傳統(tǒng)的加權算術平均組合預測模型和基于密度算子的組合預測模型中單項預測方法的加權系數(shù)向量分別為：(0，0，0，0.11，0.89)T和(0.01，0.01，0.69，0.13，0.16)T。

對于預測效果評價指標SSE，基于密度算子的組合預測模型和傳統(tǒng)的加權算術平均組合預測模型以及各單項預測模型的預測效果分別為35.28，56.44，520.6，199.76，129.18，96.16，57.09；對于預測效果評價指標MSE，對應的預測效果分別為0.593，0.751，2.282，1.413，1.137，0.981，0.756；對于預測效果評價指標MAE，對應的預測效果分別為1.285，2.018，6.040，4.112，2.807，2.281，1.988；對于預測效果評價指標MAPE，對應的預測效果分別為0.050，0.078，0.225，0.170，0.098，0.074，0.078；對于預測效果評價指標MSPE，對應的預測效果分別為0.019，0.028，0.083，0.060，0.034，0.027，0.029。

分析以上數(shù)據(jù)可知，對于所有的預測效果指標體系，基于密度算子的組合預測方法的預測效果都要優(yōu)于其他預測方法，從而證明了本文提出的基于密度算子的組合預測方法的有效性和準確性。

6 結束語

本文基于單項預測法的預測準確性提出了基于密度算子的組合預測方法。該方法充分利用了密度算子的優(yōu)良特性，又與傳統(tǒng)的密度算子有所區(qū)別：（1）傳統(tǒng)密度算子中數(shù)據(jù)聚類依據(jù)的是數(shù)據(jù)分布的疏密程度，而在組合預測模型中，密度算子數(shù)據(jù)聚類依據(jù)的是單項預測方法的預測準確性分布的疏密程度；（2）傳統(tǒng)密度算子中聚類數(shù)組的序化依據(jù)的是數(shù)據(jù)組的規(guī)模信息，而在組合預測模型中，密度算子聚類數(shù)組的序化依據(jù)的是數(shù)據(jù)組預測準確性信息；（3）傳統(tǒng)密度算子中密度加權向量的確定依據(jù)數(shù)據(jù)組的“規(guī)模信息”或“規(guī)模信息”與“功能信息”的結合，而在組合預測模型中，密度算子密度加權向量的確定依據(jù)數(shù)據(jù)組的預測“準確性信息”?？梢姡诿芏人阕拥慕M合預測模型，在充分利用單項預測方法的預測準確度信息的基礎上，結合密度加權向量，增強了預測準確度較高的單項預測方法在組合預測模型中的作用，因而進一步提高了組合預測結果的準確性。

參 考 文 獻：

［1］Bates J M， Granger C W J. Combination of forecasts［J］. Operations Research Quarterly， 1969， 20(4): 451-468.

［2］Bunn D W. Combining forecasts［J］. European Journal of Operation Research， 1988， 33(3): 223-229.

［3］Donaldson R G， Kamstra M. Forecast combining with neural networks［J］. Journal of Forecasting， 1996， 15(1): 49-61.

［4］Granger C W J. Combining forecasts-twenty years later［J］. Journal of Forecasting， 1989， 8(3): 167-173.

［5］唐小我.預測理論及其應用［M］.成都：電子科技大學出版社，1992.

［6］唐小我，曹長修.組合預測最優(yōu)加權系數(shù)向量的進一步研究［J］.預測，1994，13(2):48-49.

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［8］陳華友，劉春林.基于IOWA算子的組合預測方法［J］.預測，2003，22(6):61-65.

［9］周傳世，羅國民.加權算術平均組合預測模型及其應用［J］.數(shù)理統(tǒng)計與管理，1995，(2):17-19.

［10］陳華友.組合預測方法有效性理論及其應用［M］.北京:科學出版社，2008.

［11］易平濤，郭亞軍，張丹寧.密度加權平均中間算子及其在多屬性決策中的應用［J］.控制與決策，2007，22(5):515-524.

［12］易平濤，郭亞軍.廣義實型密度加權平均中間算子及其應用［J］.系統(tǒng)工程學報，2010，25(2):190-195.

［13］易平濤，高立群，郭亞軍.基于多源密度信息集結算子的組合評價方法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術，2009，31(12):2882-2887.

［14］王應明，羅英. 廣義加權算術平均組合預測技術研究［J］.預測，1998，17(1):51-53.

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