摘 要：本文使用上證綜合指數(shù)權重前50的股票作為投資范圍，運用指數(shù)滑動平均方法（EWMA）估計其協(xié)方差陣，分別在允許賣空和禁止賣空的情況下考察了積極型組合管理的馬科維茨（Markowitz）有效率邊界和常量跟蹤誤差波動（C-TEV）有效率邊界，給出了C-TEV模型約束下從輸入列表（協(xié)方差陣、預期收益）的估計到最優(yōu)權重的確定的指數(shù)基金組合管理的完整例子，比較了允許賣空和禁止賣空兩種情形下基于C-TEV模型策略構建的增強型指數(shù)基金的事后跟蹤誤差。在我國基于C-TEV模型構建策略的增強型指數(shù)基金面臨著兩難的困境，即在允許賣空時基金的事后跟蹤誤差往往超出預先的限制，而在禁止賣空時增強型指數(shù)基金又會“退化”成復制型指數(shù)基金。
　　關鍵詞：指數(shù)基金；跟蹤誤差；賣空限制；有效率邊界
　　中圖分類號：F830.91 文獻標識碼：A
　　文章編號：1000-176X(2011)04-0053-08
　　
　　一、 引 言
　　截至2009年6月30日，我國共有開放式指數(shù)基金22只，資產(chǎn)凈值占全部510只開放式基金的7.53%。僅僅半年之后，2009年12月底，我國開放式指數(shù)基金達到了48只，資產(chǎn)凈值占全部590只開放式基金資產(chǎn)凈值的比重上升到13.04%。無論是從基金數(shù)目還是從資產(chǎn)規(guī)模上都有了很大的發(fā)展，2009年可以說是指數(shù)年。在48只指數(shù)基金中，復制型指數(shù)基金和增強型指數(shù)基金分別占到了37只和11只。資產(chǎn)凈值占指數(shù)基金總體的9.68%和3.36%。對于指數(shù)基金，跟蹤誤差是其最重要的特性之一。增強型指數(shù)基金和復制型指數(shù)基金的區(qū)別也可以通過跟蹤誤差的不同地位來描述：復制型指數(shù)基金以跟蹤誤差最小化為投資目標；增強型指數(shù)基金則把跟蹤誤差當成一種約束，其投資目標與一般的基金投資一樣，是為了獲得最大的收益，只不過這種收益要在滿足跟蹤誤差約束的前提下實現(xiàn)。復制型指數(shù)基金被動地跟蹤指數(shù)，增強型指數(shù)基金通過調(diào)整組合中各證券的權重對組合進行積極的管理。那么，在我國當前融資融券剛剛打開、賣空手段仍然匱乏的證券市場中，增強型指數(shù)基金和復制型指數(shù)基金的區(qū)別何在呢？本文將基于C-TEV模型的權重策略分別對允許賣空和不允許賣空條件下兩種基金的跟蹤誤差進行分析。
　　本文選取上證綜合指數(shù)權重排名前50的股票（總市值占上證綜合指數(shù)的67.56%）構建一個股票池，
　　①將C-TEV模型應用于這個股票池，研究C-TEV約束對于組合權重選擇的影響。我們選取的時間窗口是2008-01-01至2009-12-31，這個時段有一個明顯的熊市和牛市，為本文的比較分析提供了條件。另外，結合我國實際，本文分別考慮了允許賣空和不允許賣空兩種情形。
　　
　　二、 相關理論和文獻回顧
　　由于基金經(jīng)理的業(yè)績通常通過與一個基準相比較來進行評價，所以實際上在理論研究之前，基金經(jīng)理就已經(jīng)通過類似馬科維茨有效率邊界理論的均值—方差方法管理其投資組合。Roll［1］對這種策略進行了總結和發(fā)展，并稱之為跟蹤誤差約束模型（TEV）。即先確定一個超額收益率（基金的收益率超過基準收益率的部分），然后將跟蹤誤差最小化。同時，Roll指出TEV模型的一個系統(tǒng)性缺陷，即基于TEV模型構建的組合收益的波動性總是比基準指數(shù)大。Jorion［2］對TEV模型進行了另一種表述，先確定一個跟蹤誤差，在這個跟蹤誤差下最大化超額收益（本文使用的TEV模型即是這種表述）。并且Jorion針對TEV模型的上述系統(tǒng)性缺陷，提出了常數(shù)跟蹤誤差約束模型（C-TEV），在TEV模型的基礎上再加入組合總體收益波動性約束，并從理論上證明了C-TEV模型可以更加有效地控制組合的總體風險。
　　基于上述理論，國外的很多文獻進行了大量的實證研究。這些研究大致圍繞兩個主題展開：一是關于輸入列表（預期收益均值和預期收益協(xié)方差陣）的預測方法；二是對權重的取值范圍添加限制條件（如不允許為負值，即不允許賣空等）。研究者一致認為期望收益的預測是重要的，但也是十分困難的。相對地，收益協(xié)方差陣則較易從歷史數(shù)據(jù)預測。當然協(xié)方差陣預測的難度也決不可被低估。目前大部分文獻仍集中在研究不同的協(xié)方差陣預測方法，而對于收益均值往往采用一個簡單的模型，如本文中的單因素模型。實際的運用中，基金經(jīng)理可以用考慮了多種因素之后對于收益率期望值的預測代替研究文獻中的預測。Louis等［3］比較了樣本協(xié)方差陣、因子模型和常數(shù)協(xié)方差陣3種不同方法預測協(xié)方差陣對TEV模型預測的影響，發(fā)現(xiàn)TEV模型對于協(xié)方差陣的要求比馬科維茨模型要求更高。Hwang和Satchell［4］對于跟蹤誤差的事前和事后測量進行了深入的研究。El-Hassan和Kofman［5］對澳大利亞股票市場數(shù)據(jù)進行了基于C-TEV模型構建積極投資組合的實證分析。另外，隨著計算技術的進步，實證研究通過增加所考慮的資產(chǎn)池的資產(chǎn)數(shù)目和延長所考慮歷史數(shù)據(jù)的時間區(qū)間來獲得更接近實際的結果。
　　國內(nèi)對于C-TEV模型的直接研究較少。馬永開和唐小我［6］介紹了TEV模型的提出和求解，并分析了利用TEV模型構建的投資組合的有效性。屈穎爽等［7］以4只指數(shù)為投資范圍，分別以總樣本協(xié)方差法、單指數(shù)模型法、常量相關模型法（即假設股票之間的相關系數(shù)相等）、單位矩陣法（即假設股票之間相關系數(shù)為0，股票收益率方差相同）和兩參數(shù)法（即假設各股票方差相同，相關系數(shù)相同）估計協(xié)方差陣，對于TEV模型和C-TEV模型的應用做了實證研究。
　　本文將C-TEV模型應用于中國股票市場。本文得益于計算技術的進步，本文所選取的投資范圍比較大，包含50只股票；本文對于禁止賣空時的情況做了研究，這使得C-TEV模型在當前賣空手段匱乏的中國股市更有實際意義；本文使用指數(shù)滑動平均方法（EWMA）估計協(xié)方差陣，相對于兩參數(shù)模型等方法沒有添加過多的假設，對于協(xié)方差陣的估計相對合理。另外，本文在使用EWMA模型時針對具體數(shù)據(jù)計算了最優(yōu)衰減因子。
　　三、模型介紹
　?。ㄒ唬〦WMA模型和協(xié)方差陣
　　在維數(shù)較低時，多維GARCH模型可以對股票之間的波動溢出提供很好的描述，因此常用來估計協(xié)方差陣。但是在維數(shù)較高時，如本文中為50維，GARCH模型幾乎是不能解的。RiskMetrics［8］針對GARCH模型的這一缺陷，提出了指數(shù)加權滑動平均模型EWMA，具體的模型假設為：
　　即假設基于t之前的歷史信息，t+1時刻的收益率向量rt+1的條件分布為n維（n=50）正態(tài)分布。其協(xié)方差陣的每一個元素都滿足(3)式，即歷史方差或協(xié)方差的指數(shù)加權平均。
　　在實際運用中，通常設定一個最大滯后期k，即用下式代替(3)式：
　　容忍因子表示設定最大滯后期k所帶來的相對誤差（相對于最大滯后期為正無窮大）。本文選取rL=1%，故:
　　k=ln0.01lnλ(6)
　　EWMA模型的關鍵是選定合適的衰減因子λ值。RiskMetrics［8］計算了20多個國家和地區(qū)的經(jīng)濟數(shù)據(jù)的最優(yōu)值，并且提出了一個簡化的建議：對于日數(shù)據(jù)，取λ=0.94；而對于月度數(shù)據(jù)，取λ=0.97。這個建議一方面使得EWMA模型應用起來更加方便，但另一方面也倍受非議，因為這種不考慮具體數(shù)據(jù)而強加一個λ值的做法不見得對任何數(shù)據(jù)都適用。實際上，RiskMetrics計算的20多個國家和地區(qū)的λ值也各不相同。因此本文沒有直接使用建議值，而是使用最小化方差預測值hji的誤差RMSEi的方法分別計算每只股票的最優(yōu)衰減因子λi，最后對所有的λi進行加權平均獲得一個總體的最優(yōu)衰減因子λ。RMSEi的定義如下：
　　
　　
　　四、數(shù)據(jù)處理和描述性統(tǒng)計
　?。ㄒ唬?shù)據(jù)選擇
　　本文選取了上證綜合指數(shù)2009年4月1日權重排名前50的股票構建投資范圍集合，排名時剔除了上海電氣等10只2008年1月1日之后上市的股票，將權重排名緊跟其后的股票補充進來。最終選定的50只股票總權重為67.56%。選取這50只股票2008-01-01至2009-12-31的考慮紅利再投資的日收盤價可比價格序列作為交易數(shù)據(jù)樣本。由于所取股票數(shù)目比較大，所以盡管每個單只股票的停牌日都很少，但是全部50只股票的2008-01-01至2009-12-31共同交易日仍然只有254個。從數(shù)量上看，每只股票的停牌日都很少，平均每只股票的停牌日只有6.78個；從分布上看，不論是單只股票還是不同股票之間的停牌日都比較分散，因此本文使用插值法對停牌日的數(shù)據(jù)進行插值，并將數(shù)據(jù)的結束點設為50只股票的最后一個共同交易日2009-12-31，得到487個交易日的數(shù)據(jù)。
　　無風險利率選取的是銀行間7天債券回購利率R007。
　　（二）數(shù)據(jù)處理與描述性統(tǒng)計
　　首先，構建基準指數(shù)。對前50股票2009年4月1日占上證綜合指數(shù)的權重進行標準化，再將這個基準組合指數(shù)化，并設定2009年4月1日的指數(shù)值與上證綜合指數(shù)相等，即得到本文中使用的基準指數(shù)。從圖1可以看出，基準指數(shù)基本能夠反映上證綜合指數(shù)的變動。虛線表示上證綜合指數(shù)走勢，實線表示基準指數(shù)走勢，收益率的計算是通過取自然對數(shù)后差分得到的。
　　其次，對每只股票進行描述性統(tǒng)計（如表1所示）。Ljung-Box檢驗的滯后期設為12，結果表明在5%的置信水平下，只有少數(shù)（4只）股票的收益率序列存在自相關。因此，EWMA模型假定收益率序列只有波動相關性與Ljung-Box檢驗的結果基本一致。
　　
　　五、實證分析
　?。ㄒ唬〦WMA模型最優(yōu)值的確定
　　圖2表示用最小化RMSE的方法獲取最優(yōu)衰減因子的結果。最終選擇的全局最優(yōu)值為0.945，與Risk［8］的建議值0.94接近。圖2中的折線表示每只股票各自的最優(yōu)值，水平線表示對這些單只股票最優(yōu)值進行加權后獲得的全局最優(yōu)值；RMSE圖中的豎線是各自最小RMSE值，折線表示當衰減因子都取為全局最優(yōu)λ值時每只股票的RMSE值。注意到圖2中的第38只股票（即601398工商銀行）的最優(yōu)λ值最小，為0.