[摘要] 在信息技術(shù)和知識經(jīng)濟(jì)時代，概率統(tǒng)計學(xué)從隨機(jī)的角度來審視世界，幫助人們在面對各種偶然情況或大量不規(guī)則數(shù)據(jù)時，作出更為正確合理的決策.在教學(xué)中，使學(xué)生掌握好概率統(tǒng)計的基本觀點、思想和方法，更好地解決自然環(huán)境、現(xiàn)實社會中的實際問題.

[關(guān)鍵詞] 概率教學(xué) 隨機(jī)思想 概率原理

一、概率統(tǒng)計的背景與教學(xué)

概率統(tǒng)計是研究大量隨機(jī)現(xiàn)象以揭示其統(tǒng)計規(guī)律性的一門科學(xué)，它體現(xiàn)了確定性數(shù)學(xué)到隨機(jī)性數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。由于概率統(tǒng)計的知識內(nèi)容和研究對象本身有著豐富的實際背景，來源于人們所熟悉的現(xiàn)實社會和自然現(xiàn)象，這為學(xué)生認(rèn)識和了解數(shù)學(xué)的來源與背景、感受數(shù)學(xué)的價值和作用、形成與提高解決實際問題的能力提供了一條有效的途徑。因此，在教學(xué)中，教師可選擇一些現(xiàn)實情景中有代表性的事例，通過相應(yīng)的數(shù)據(jù)分析，解釋相關(guān)概念、原理的實際意義，運用相應(yīng)的概率方法以解決相應(yīng)的實際問題，使學(xué)生認(rèn)識到概率統(tǒng)計思想方法在社會生活及各學(xué)科領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，從而提高其學(xué)習(xí)興趣。

二、概率統(tǒng)計教學(xué)思考

1.關(guān)于教材中的概率概念

概率統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的學(xué)科，因為中學(xué)生理解概率的定義還比較困難，所以應(yīng)從學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗引入概率定義，以描述為主，“對有關(guān)術(shù)語不要求進(jìn)行嚴(yán)格表述”，通過實例豐富學(xué)生對概率統(tǒng)計的認(rèn)識，領(lǐng)會其思想方法。

中學(xué)教材概率的定義大致有以下兩種:

第一個定義:在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率mn總是接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作p(A)。

第二個定義:一次試驗連同可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件，如果一次試驗由n個基本事件組成，并且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1n。如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率p(A)=mn。

2.對概率概念教學(xué)的想法

在歷史上，概率概念的形成有一個漫長的過程，針對高中學(xué)生的思維特點，鑒于學(xué)生在此之前沒有系統(tǒng)學(xué)過這方面的知識，結(jié)合學(xué)生在現(xiàn)實生活中對可能性大小描述的體會，建議在教學(xué)中補充第三種說法:即主觀式定義。

概率概念的教學(xué)，可從以下三個方面加以定義說明，即概率的古典式定義、頻率式定義和主觀式定義。古典定義也稱理論定義，是一種構(gòu)造性的定義方式，它將一個事件的概率定義為利于該事件發(fā)生的所有結(jié)果的數(shù)目與所有等可能發(fā)生的結(jié)果的總數(shù)的比值，無需試驗就可以從理論上計算出的概率。頻率定義也稱經(jīng)驗定義，它將概率定義為某一事件在無限次或接近無限次的重復(fù)試驗中發(fā)生的頻率所接近的常數(shù)，這是一種建立在實際試驗結(jié)果基礎(chǔ)之上的定義。主觀定義也稱直覺定義，它是對隨機(jī)現(xiàn)象可能性大小的一種個人的估計，是對客觀事物的一種主觀描述，隨著新信息的出現(xiàn)(如實際試驗后的結(jié)果)，將調(diào)整最初基于經(jīng)驗或直覺之上的估計。上述三種定義都各有長處，古典定義簡單明了，在樣本空間每一結(jié)果都是等可能發(fā)生的條件下，可以預(yù)測概率;頻率定義不受每一結(jié)果都是等可能發(fā)生這一條件的限制，可用于那些不能從理論上解決的問題;主觀直覺是教學(xué)的一個很好的出發(fā)點，通過教學(xué)能夠?qū)W(xué)生的自我經(jīng)驗與概率理論聯(lián)系起來，培養(yǎng)學(xué)生良好的直覺。這三種方式既符合高中學(xué)生的認(rèn)知特點，學(xué)生易于接受，又具有內(nèi)在的統(tǒng)一性，即可以用大量的重復(fù)試驗加以驗證，并為以后的公理化定義的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

下面從這三種定義的角度分析學(xué)生理解概率產(chǎn)生的錯誤觀念的原因及教學(xué)中應(yīng)采取的措施。

(1)理論定義——產(chǎn)生等可能性偏見

認(rèn)為任何隨機(jī)事件是等可能發(fā)生的，同時拋擲兩骰子，比較拋出一個5一個6和拋出兩個6的可能性的大小，在調(diào)查中，學(xué)生普遍認(rèn)為它們可能性一樣大，而且后來這種錯誤在用古典概型公式計算概率時會經(jīng)常出現(xiàn)，在教學(xué)中要特別注意強(qiáng)調(diào)要求學(xué)生真正找出等可能的基本事件。

(2)經(jīng)驗的定義——產(chǎn)生預(yù)言結(jié)果的錯誤

有學(xué)生在使用“機(jī)會”、“可能性大小”、“概率”這些概念時，并不把它們與重復(fù)試驗聯(lián)系起來，而是將概率很大等同于一定會發(fā)生，概率很小等同于一定不會發(fā)生，50%概率等同于“不知道”或“不能決定”，認(rèn)為概率是用來決定一個隨機(jī)事件是否發(fā)生，而不是用來度量此事發(fā)生的頻繁程度。這就要求老師在進(jìn)入概率的計算之前要注意讓學(xué)生建立隨機(jī)思想。隨機(jī)性是概率中的一個基本觀念，它包括兩個方面:單一事件的不確定性和不可預(yù)見性，事件在經(jīng)歷大數(shù)次重復(fù)試驗中表現(xiàn)出規(guī)律性。學(xué)生在現(xiàn)實生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，比較容易接受事件發(fā)生具有不確定性和不可預(yù)見性，但僅靠平時一些零散的生活經(jīng)驗，學(xué)生往往難以理解不確定性背后會有規(guī)律可循，難以想象為何重復(fù)試驗有利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，且重復(fù)大數(shù)次比重復(fù)小數(shù)次獲得規(guī)律更可靠。在教學(xué)中老師要盡量闡明“必然寓于偶然之中”的道理，即頻率的穩(wěn)定性，頻率趨于概率。而不能僅憑一次事件的結(jié)果判斷準(zhǔn)確與否。

(3)主觀的定義——產(chǎn)生代表性的錯誤

一個人在兩個月內(nèi)找到新工作的機(jī)會是多大?一家公司在項目投標(biāo)時中標(biāo)的可能性是多少?現(xiàn)實生活中有很多類似的機(jī)會問題是既不能用理論概率又不能用經(jīng)驗概率來回答的。在這種情形下，人們往往根據(jù)己有的一些信息先給出一個主觀的或直覺的估計，然后再根據(jù)獲得的新信息進(jìn)行調(diào)整。但是如果受到代表性一類錯誤概念的指引，那么主觀估計出的機(jī)會可能與實際差得很遠(yuǎn)，如在一個有六個孩子的家庭中，學(xué)生絕大多數(shù)認(rèn)為BGGBGB (B代表男孩，G代表女孩)這一出生順序發(fā)生的可能性比BBBBGB和BBBGGG要大，GGGGGG最小，在教學(xué)中要求學(xué)生對問題作理智分析，但只對學(xué)生進(jìn)行概率概念的講解不足以讓他們克服代表性方法的強(qiáng)大影響，實驗的以活動為主的課堂環(huán)境對克服學(xué)生對代表性方法的依賴性更為有效。鼓勵學(xué)生在自己理解的基礎(chǔ)上，大膽想象、提出數(shù)學(xué)問題，讓其置身于現(xiàn)實問題情境之中，充分體驗數(shù)學(xué)就在我們身邊。

3.關(guān)于概率教學(xué)的重點

教學(xué)重點是展現(xiàn)概率統(tǒng)計的思想方法。

有的數(shù)學(xué)教育家指出，大部分?jǐn)?shù)學(xué)書本知識學(xué)生在今后一生中都不會直接用到，要用的是合理的基本數(shù)學(xué)思想方法和分析解決問題的能力(這大概就是數(shù)學(xué)素質(zhì))。因此，我們應(yīng)充分展現(xiàn)概率統(tǒng)計的思想及過程，“中學(xué)的概率統(tǒng)計應(yīng)使學(xué)生真正感受到確定性和隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維方法的本質(zhì)區(qū)別?！?/p>

教材中概率內(nèi)容放在排列、組合、二項式定理這一章的最后，似乎概率內(nèi)容是排列組合內(nèi)容的一個應(yīng)用。概率的古典定義，提供了利用排列組合方法求概率的方法。但是，從思維方式上說，它與排列組合是有很大區(qū)別的。利用等可能情況的定義，利用排列組合求出的有限元素的有關(guān)問題的概率，可以探索一般概率問題的互斥、對立、獨立等公式，但不是概率問題的本質(zhì)。概率內(nèi)容的重點應(yīng)該在三個方面:

1.建立隨機(jī)思想及概率的概念

2.建立互斥、對立、獨立、獨立重復(fù)試驗的概念

3.建立概率的加、乘原理

實際上，數(shù)學(xué)上的討論，排列組合內(nèi)容前的加法原理、乘法原理，應(yīng)用十分廣泛。比如:己知某地“今天下雨明天也下雨”的概率是p，“今天不下雨明天也不下雨”的概率是q，問“今天下雨，后天也下雨”的概率是多少?

這一問題不好用排列組合的方法去做，但可以討論如下:

“今天下雨明天也下雨”與“今天下雨明天不下雨”是兩個對立事件?！懊魈煜掠旰筇炖^續(xù)下雨”與“今天下雨明天也下雨”又是獨立事件，因此，所求概率應(yīng)該是P=p#8226;p+(1一p)(1一q)

這中間用到了對立事件的概率。

又如，課本中用排列、組合的方法說明抽簽先后的概率相同問題，也可以另辟蹊徑。

又比如，5個人抽5張票中的一張獎券，怎樣說明第二個人與第一個人抽到獎券的概率相同?

甲抽的概率當(dāng)然是15

甲抽的結(jié)果有兩種。一種是抽到獎券，概率是15;一種是抽不到獎券，概率是45。

乙抽的時候，有兩種互斥的情況:甲抽到獎券，乙抽不到;甲抽不到，乙抽到或抽不到。

因此，乙抽到獎券的概率P=15×0+45×14=15;

還可以研究丙，他抽到獎券的概率是P=15×0×0+45×14×0+45×34×13=15。

當(dāng)然，也有不少問題用到了排列組合方法。但總的來說，概率問題的研究中常用到排列組合方法，但遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是全部，重要的是隨機(jī)思想的建立。

參考文獻(xiàn):

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