摘要:帶電體的靜電場應用領(lǐng)域十分廣泛，全面了解靜電場是學習的最佳途徑，尤其是從探究靜電場的各種方法入手，更容易接受這門難度較大的理論體系，對學習普通物理學的學生是十分有益的。這篇文章就是從方法上探討靜電場的強度，為學習這部分知識指明方向，規(guī)劃一個大藍圖，正好符合登高望遠的自然規(guī)律。

關(guān)鍵詞:庫侖定律 電場疊加原理 高斯定理 場強儀 頻譜儀

靜電場是大學物理學中一個重要部分，而帶電體產(chǎn)生的靜電場種類繁多，在求解電場強度的過程中應用數(shù)學分析，會遇到許多困難，因此綜合分析、比較各類帶電體的電場，能形成一整套方法，使學習者能夠系統(tǒng)掌握。

1 用電場強度的疊加原理解帶電體的電場

均勻帶電細導線，其形狀是典型函數(shù)曲線或者是簡單曲線的組合體，使用電場強度的疊加原理解其電場是簡單可行的。而不規(guī)則的帶電曲線，尤其是不能分解為多個簡單曲線的組合體，這樣的帶電導線的電場用此法就不可行。

下面用實例加以說明:

1.1 均勻帶電圓環(huán)，中軸線上一點的電場強度帶電量是Q庫侖，半徑是R，場點P到圓心O的間距是a。

用庫侖定律的微分形式，將帶電環(huán)分割為無限多份，進行積分，可得帶電圓環(huán)中軸線上任一點的電場強度，與電量成正比，與距離與正比，與半徑、距離平方和的二分之三次方成反比。

解:將圓環(huán)分割成無限多份，每一份的帶電量為dq，圓周長l=2πR，單位長度的電量λ=Q/l，dq=λdl，該點電荷到P點的距離是(R2+a2)1/2，在P點產(chǎn)生的電場強度為dE=，由于電荷分布的對稱性，除了沿軸線方向的電場強度分量外，其它方向的分量均相互抵消;在軸線方向的分量是dEx=dE。

則圓環(huán)在P點產(chǎn)生的合電場強度為

∴ Ex=

1.2 均勻帶電球殼的電場分布

將球殼分解為無限多個圓環(huán)，每個圓環(huán)在中軸線上產(chǎn)生電場強度可用上例的結(jié)論，球殼產(chǎn)生的電場求法是:用庫侖定律的微分形式，將帶電球殼分割為無限多份，利用帶電圓環(huán)的中軸線上一點的電場強度表達式進行積分，可得帶電球殼中軸線上任一點的電場強度，與電量成正比，與距離平方反比;球殼內(nèi)的電場強度為零。

解:

上式是球殼外面的情況，即x≥R

如果在球殼的內(nèi)部，即x

2 用電場強度的疊加原理解帶電體電場的局限性

2.1 不能用初等函數(shù)表示的曲線形狀帶電導線

如果帶電導線的形狀是不能用初等函數(shù)表示，則將導線分割成無限多段后，每一小段電荷元不能用同一函數(shù)式表示，用積分式求解合電場就不能實現(xiàn)。

2.2 形狀不能用幾個規(guī)則形狀組合的導體

如果帶電導體的形狀是一個不規(guī)則的形體，也不能分割成幾個規(guī)則形體的組合體，則就不能用幾個規(guī)則帶電體的電場進行求合電場。

這類問題雖然不能用為為庫侖定律、電場強度的疊加原理求出電場強度的準確分布，但是用理論計算的方法求解還是有辦法的。辦法是:近似計算的方法。根據(jù)帶電體的形狀，可以分解為幾段，把每一段看成一個點，應用庫侖定律分別求解每一段產(chǎn)生的電場強度，再進行求所有點的矢量和。為了逼近準確值，可以進一步將分解的段數(shù)增加，進一步計算，再次求所有點的矢量和。依次進行下去，分得份數(shù)越多，求出的結(jié)果與真實值越接近，直到滿足生產(chǎn)要求為止。

這種方法的運算量可想而知，應該是十分巨大的。降低工作量的方法是運用運算速度最快的計算機，方法是:將帶電體的形狀用繪圖設(shè)備，制作成按一定比例大小的圖形，輸入到計算機中。用屏幕定位工具，將圖形分解成多段，并將每段的位置轉(zhuǎn)換成坐標值，作為己知數(shù)據(jù)。再用可用于計算的編程軟件編制計算公式，并將結(jié)果分解成分量式，用循環(huán)函數(shù)命令將多段數(shù)據(jù)分別代入到公式中運算，再分別求分量和，最后求總和。只要在將圖形分解時，份數(shù)越多，計算結(jié)果越逼近真實值，運算量越大。但是，對于計算機而言，這不是一個問題，因為計算機的優(yōu)勢就是具有高速的計算能力。所以，如果想得到符合工作要求的結(jié)果，利用計算機幫助求解，將是十分容易實現(xiàn)的事情。這種方法的難點是必須會用以上有關(guān)應用軟件，用好軟件就象用好計算器一樣，使工作變得更加輕松。

3 用高斯定理解帶電體的電場

3.1 無限長均勻帶電導線產(chǎn)生的電場

由于無限長均勻帶電導線的電荷是軸對稱分布，因此電場的分布也是軸對稱分布的，選擇一個軸線與導線重合的圓筒閉合面，將導線包圍起來，則圓筒側(cè)面上各點的電場強度是相等的，而且方向號圓筒面處處垂直;圓筒底面上各點的電場強度的方向處處與底面垂直。用高斯定理求解導線周圍任一點的電場強度的積分容易實現(xiàn)，從而電場強度可求。

3.2 無限長均勻帶電圓柱筒

由于無限長均勻帶電圓柱筒的電荷是軸對稱分布，因此電場的分布也是軸對稱分布的，選擇一個軸線與圓柱筒軸線重合的圓筒閉合面，將導線包圍起來，則圓筒側(cè)面上各點的電場強度是相等的，而且方向號圓筒面處處垂直;圓筒底面上各點的電場強度的方向處處與底面垂直。用高斯定理求解圓柱筒內(nèi)外任一點的電場強度的積分容易實現(xiàn)，從而電場強度可求。

3.3 均勻帶電介質(zhì)球體

均勻帶電介質(zhì)球體的電荷是球?qū)ΨQ分布，因此電場的分布也是球?qū)ΨQ分布的，選擇一個與介質(zhì)球同心的球面，則球面上各點的電場強度大小相等，電場強度的方向處處與球面垂直。因為從距球心相同距離上的各點上看，周圍電荷是完全相同的，所以電場強度的大小是相等的，而方向是以球心為起點的射線，選高斯面為球殼，球心為該面的中心，應用高斯定理的積分，可變?yōu)榉欠e分形式，可求得:此時電場分布與電荷集中在球心里一樣的。

解:用求解的具體步驟如下:

因為從距球心為γ的各點上看，周圍電荷是完全相同的，所以電場強度的大小是相等的，而方向是以球心為起點的射線，選高斯面s=4πr2，球心為該面的中心，當γ>R，R為球的半徑，則S包圍的電荷為Q球面上總電量。

由于， 與 同向，設(shè)Q>0，則:

又在s=4πr2上各點的E相同。上式=E

r≥R

此時電場分布與電荷集中在球心里一樣的。

3.4 無限大平面導體

無限大均勻帶電平面導體，電荷是面對稱分布的，因此電場的分布也是面對稱分布的，選擇一個與平面垂直的圓柱體，圓柱體的上下底面與平面平行;兩底面上各點的電場強度大小相等，方向與底面垂直，側(cè)面各點的電場強度方向處處與側(cè)面垂直。用高斯定理求解平面附近任一點的電場強度的積分容易實現(xiàn)，從而電場強度可求。

3.5 無限大帶等量異種電荷的平行導體板

這種帶電體產(chǎn)生的電場是勻強電場，所以用高斯定理求解電場強度更容易實現(xiàn)，方法與無限大平面的電場方法相同。

4 高斯定理的局限性

4.1 一段帶電導線

由于帶電導線是一段，電荷分布不具有對稱性，自然電場強度的分布也不具有空間對稱性，因此電場強度的面積分就比較困難，由高斯定理求解電場強度就不能實現(xiàn)。

4.2 半圓環(huán)帶電導體

帶電半圓環(huán)導線上電荷分布不具有對稱性，電場強度的分布也不具有對稱性，電場強度的面積分就比較難求，由高斯定理求解電場強度就不能實現(xiàn)。

4.3 半球形帶電導體

帶電半球形導體上電荷分布不具有對稱性，電場強度的分布也不具有對稱性，電場強度的面積分就比較困難，由高斯定理求解電場強度就不能實現(xiàn)。

5 用電勢的梯度解帶電體的電場

5.1 一段帶電導線

由于帶電導線的電勢是電荷空間分布的線積分，較容易求解，所以再求電場強度時，用電勢梯度的負值也就是求電勢函數(shù)的導數(shù)就能夠求解。

5.2 均勻帶電圓盤

由于帶電圓盤的電勢是電荷空間分布的線積分，較容易求解，所以再求電場強度時，用電勢梯度的負值也就是求電勢函數(shù)的導數(shù)就能夠求解。

5.3 均勻帶電半球體

由于帶電半球體的電勢是電荷空間分布的線積分，較容易求解，所以再求電場強度時，用電勢梯度的負值也就是求電勢函數(shù)的導數(shù)就能夠求解。

6 電勢梯度的局限性

6.1 非初等函數(shù)形狀的帶電導線

如果帶電導體的電勢分布不能用初等函數(shù)表示出來，那自然也無法用電勢梯度的負值來求解電場強度。

6.2 不能用多個規(guī)則形狀組合為一體的帶電導體

如果帶電導體的形狀不能用幾個規(guī)則體組合而成，那么導體的外形就不能用初等函數(shù)表示，因此求解導體的電勢分布自然就難以作到，求解電場強度也就不能實現(xiàn)了。

7 用場強儀測量帶電體的電場

不論是什么形狀的帶電導體，也不論其形狀的大小，用靜電測試儀均可以測量。

目前業(yè)界主要在使用的是靜電電場計，DC-feedback靜電電壓表、AC-feedback靜電電壓表這三種。

為了方便理解測量儀器的工作原理和性能，我們先從取樣原理(即對被測物表面靜電壓的感應原理)來分析，取樣原理是應用了Kelvin振動電容感應探頭。假設(shè)探頭與被測表面如同一平板電容，在這種結(jié)構(gòu)中由于探頭的正弦振動就感應產(chǎn)生一個電子流I，這種電流會與被測表面的電壓值成一定比例，這個電流I會通過相位感應解調(diào)電路被放大和解調(diào)而處理成為一個電壓信號Vp，這個電壓信號直接與電流I的值成一定比例。靜電電壓表與靜電電場計就是利用這種方式來取樣到被測表面的靜電壓信號，但它們區(qū)別就在于如何去處理那個Vp信號。用這個VP信號在電壓表中反映出來，就是物體表面附近的電場強度值。

如果物體表面的電荷量隨時間變化迅速，那就需要測量瞬間電場的儀器，并且能記錄瞬間值，并進行存儲.因此測量頻率或響應速率問題也是十分重要的。因為物體表面帶的靜電是隨時間變化而變化的。若儀器本身的測量頻率不夠，就不能實時或正確反映物體表面帶靜電量。特別是像分離式產(chǎn)生靜電，這種靜電產(chǎn)生和變化的速度是很快的，若沒有高頻的靜電電壓表是無法抓取到分離時的尖峰帶電量的。

8 場強儀的使用范圍

如果某一空間的電場是變化的，并非是帶電體附近的電場，那么使用靜電場測量儀就不能測量出來。

在電平表的輸入端，連接一個天線，用來接收空間的變化電場，在天線上感應出電壓，就可以測量變化的電場了.這就是變化電場的測量儀器(場強儀和頻譜儀)的工作原理。

電平表(或電壓表)它量度的電壓值是在儀表的輸入端口，而場強儀所量度的電壓(或叫電勢)是天線在空中某一點感應的電壓。嚴格來說，場強儀是由電平表和天線組成。

從原理上來說頻譜儀、電平表、場強儀(主機)基本原理方框是一樣的。頻譜儀本身就是測量頻譜范圍內(nèi)的信號電平，如果用“零跨導”則就是一個選頻電平表。如果加上標準測試天線在頻譜儀上不就是可測量場強了嗎!比較好的頻譜儀，它可以將天線系數(shù)存在機內(nèi)，使用時直接顯示場強數(shù)值μV/m。

用頻譜儀加上測試天線可以測量場強，當頻譜儀可以存天線系數(shù)的，那么可以直接顯示μV/m單位場強。如果不可存天線系數(shù)頻譜儀，則需要用理論公式，代入天線系數(shù)進行計算。如果用沒有天線系數(shù)的一般接收信號用的天線，那么只能在空間測量場強的強弱，而不能得出場強μV/m量值，即只能作定性測試分析，不可作定量測試分析。

綜上所述，對于帶電體周圍的電場能夠全面了解，則可以使學生從大處著手，小處著眼，不至于無從下手，心理盲然，在學習過程中始終清楚學習的脈絡(luò)，更加明白目的地，學習興趣會更濃，也會更輕松.這就是我寫此文章的目的，給學生一個全方位的描述，不是片面的知識.在學習之初就給出一個大方向，并逐漸展開，引導學生對靜電場的全面了解，從而系統(tǒng)對普通物理學理論指導意義有一個清醒的認識，從而堅定學習的信念和勁頭。