函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的廣泛的應(yīng)用性和人文價值，函數(shù)部分的內(nèi)容包含函數(shù)的概念與性質(zhì)、初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用三大塊，根據(jù)所涉及的函數(shù)類型，除了對初等函數(shù)(一次、二次、三次函數(shù)、一、二次分式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù))進(jìn)行研究外，還拓展到對抽象函數(shù)、分段函數(shù)、初等函數(shù)的四則運算函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的研究，函數(shù)部分的核心問題是函數(shù)的圖像和性質(zhì)，函數(shù)的一般概念和性質(zhì)則提供基本定義和基本研究工具，導(dǎo)數(shù)也是作為函數(shù)的研究工具存在，研究函數(shù)的一般思路是根據(jù)不同的函數(shù)采用不同的具體方法，大體可分成抽象函數(shù)、初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的四則運算函數(shù)等四大類的研究方法。

近年來隨著課標(biāo)課程對學(xué)生學(xué)習(xí)主動性、探究性要求的提高，在高考命題上，相應(yīng)地對數(shù)學(xué)的綜合性、探究性的考查也有所加強，除了隨機性地考察單一的函數(shù)知識點外，把各函數(shù)知識點與其它知識點進(jìn)行綜合考察已成為高考考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一個主要方式，因此下面將主要考察與函數(shù)相關(guān)的知識點之間有哪些類型的結(jié)合方式及其考查目標(biāo)。

1、函數(shù)試題分類、整理、分析

1.1 選擇題、填空題

去年(理1)兩個三角函數(shù)積的最小值、(理4)余弦函數(shù)的定積分、(理5)四種函數(shù)(反比例、二次、指數(shù)、對數(shù)函數(shù))的單調(diào)性(單調(diào)性新定義)、(理10)二次函數(shù)的零點分布、(理14)三次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的和函數(shù)的切線性質(zhì)及函數(shù)零點存在性。

今年(理4)分段函數(shù)(二次、對數(shù)函數(shù))的零點存在、(理10)多種函數(shù)(二次、冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及其四則運算函數(shù))的“分漸近線性質(zhì)”(性質(zhì)新定義)、(理14)兩個三角函數(shù)的對稱軸與值域的比較，(理15)新函數(shù)(一次函數(shù)按指數(shù)型規(guī)律定義生成)的函數(shù)性質(zhì)研究。

通過試題表述比較可發(fā)現(xiàn)：

(1)把兩個甚至多個初等函數(shù)通過四則運算、分段、生成的方式，或形成新函數(shù)，或引入新性質(zhì)等進(jìn)行綜合研究，其中去年(理10)、今年(理15)兩試題中的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)的一種新的變化形式。

(2)新函數(shù)或新性質(zhì)的引入定義，主要是或以比教材更加數(shù)學(xué)化、抽象化、一般化的形式表述，如用邏輯語言“任意”“存在”、文字語言用數(shù)學(xué)符號代替等，或是把教材中直觀描述的一些“邊緣”函數(shù)性質(zhì)(如漸近線、夾值、凹凸性、拐點等)給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)形式表述，大大增強了試題的高數(shù)含量。

(3)函數(shù)性質(zhì)考查在去年試題中一般為每題為1至2個，在今年試題中則變?yōu)槎鄠€性質(zhì)同時考查。

(4)為了控制選擇、填空試題的難度，采用一個函數(shù)多個性質(zhì)、或多個函數(shù)一個性質(zhì)，較少多個函數(shù)多個性質(zhì)綜合，最多2個函數(shù)2個性質(zhì)。

通過試題解題過程比較可發(fā)現(xiàn)：

(1)新函數(shù)或創(chuàng)新函數(shù)性質(zhì)問題的解決，首要的任務(wù)是數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)用語的理解，用以考查學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在此基礎(chǔ)上或采用特殊值法，或采用歸納法，或采用轉(zhuǎn)化法、或采用類比法，用以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基本知識、基本方法的掌握程度和數(shù)學(xué)能力，也就是把對基本函數(shù)掌握程度的考查置于新環(huán)境且有一定綜合的復(fù)雜的情境中進(jìn)行，考查學(xué)生利用已有知識理解新問題，并轉(zhuǎn)化成常規(guī)問題，達(dá)到解決新問題的能力。

(2)一個函數(shù)多個性質(zhì)的試題一般考查學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解程度，考查學(xué)生對基本函數(shù)研究方法的掌握程度，特別地，表面上是考查1個函數(shù)1個性質(zhì)的試題，比如去年(理10)，并不是簡單地考查學(xué)生對函數(shù)基本性質(zhì)的理解，而是會隱含多個函數(shù)性質(zhì)之間的綜合應(yīng)用，如函數(shù)的奇偶性與對稱性，函數(shù)對稱性與零點分布、函數(shù)對稱性與單調(diào)性、函數(shù)單調(diào)性與極值等，當(dāng)然為了控制試題難度，往往用到的性質(zhì)為2-3個。

(3)多個函數(shù)1個性質(zhì)的試題一般考查學(xué)生對各個函數(shù)的圖像性質(zhì)，特別是對稱性、周期性、極限位置等的掌握程度。

(4)相比于課標(biāo)課程之前以及其他省市的試題，函數(shù)圖像的直接考查較少。

1.2 解答題

去年(理20)以3次函數(shù)為背景，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、切線，考查對直線與線段的相交情況的探究。

今年(理20)以3次函數(shù)為背景，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查利用積分求解曲邊多邊形面積。

通過試題表述比較可發(fā)現(xiàn)：

(1)課標(biāo)課程的2年涉及的函數(shù)解答題都是以簡單的3次函數(shù)為背景，綜合考查學(xué)生對導(dǎo)數(shù)、積分在研究函數(shù)性質(zhì)中應(yīng)用。

(2)為了提高得分率或降低難度而增加了第1小問求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這也體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)區(qū)間中的工具性，以及函數(shù)單調(diào)性在研究函數(shù)性質(zhì)中的關(guān)鍵性。

(3)試題都是以3問形式出現(xiàn)，第(2)、(3)問以函數(shù)圖象性質(zhì)的存在性、唯一性等探究性問題為主，考查學(xué)生運用類比法和歸納法提出數(shù)學(xué)結(jié)論的能力，考查學(xué)生運用導(dǎo)數(shù)、積分工具對結(jié)論進(jìn)行論證的能力，去年(理20)題導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要是利用函數(shù)單調(diào)性、極值研究函數(shù)零點存在性的綜合應(yīng)用，提高要求層次到運用二階導(dǎo)數(shù)對切線函數(shù)及原函數(shù)性質(zhì)的研究，今年(理20)題則考查了積分的應(yīng)用(求封閉圖形的面積)，(2)(3)兩問的兩個層次的考查區(qū)別在于對不同復(fù)雜程度的函數(shù)利用相同的積分方法求面積。

通過試題解題過程比較可發(fā)現(xiàn)：

(1)2年的函數(shù)解答題都是整卷的壓軸題，難度體現(xiàn)在從或復(fù)雜、或深刻的問題中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，凡是能夠在有限的時間里能夠完整解答的，對于函數(shù)解答題的解題思路除了要求清晰外，還要根據(jù)解題過程中的類似的、相同的求解求證方法，能采用同理可得、同理可證的數(shù)學(xué)類比的思維方式，達(dá)到簡化解題過程、降低復(fù)雜程度的效果，這是建立在學(xué)生對數(shù)學(xué)深刻認(rèn)識基礎(chǔ)上，有較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種顯著表現(xiàn)，體現(xiàn)了壓軸題對于數(shù)學(xué)區(qū)分度的重要作用。

(2)導(dǎo)數(shù)、積分成為壓軸題的主要組成部分，要求學(xué)生能夠深刻理解導(dǎo)數(shù)、積分的幾何意義，并能進(jìn)行準(zhǔn)確、快速的計算，在較高層次上考查學(xué)生對數(shù)學(xué)中幾何代數(shù)相互轉(zhuǎn)化的掌握程度，考查學(xué)生對數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的理解程度。

1.3 與函數(shù)知識點有關(guān)聯(lián)的試題

去年(理18)第二問以應(yīng)用題為背景，求兩折線段長之和的最大值；(文22)以橢圓為背景的線段長最小值問題；

今年(理3)求數(shù)列前n項和的最小值；(理7)求兩向量數(shù)量積的取值范圍；(理8)求線段長的最小值；(理18、文20)以幾何體體積為背景的幾何概率最大值問題；(理19、文21)以應(yīng)用題為背景，兩點間距離最小值問題；(理21-(3)不等式選做)絕對值函數(shù)不等式問題；

通過試題表述比較可發(fā)現(xiàn)：

(1)與函數(shù)有關(guān)聯(lián)的試題，從簡單的基礎(chǔ)題到綜合程度較高的難題均有分布。

(2)與函數(shù)有交叉知識點的試題，一般以其他知識點為問題背景，以求最值和取值范圍這兩個函數(shù)知識點設(shè)問的題型結(jié)構(gòu)出現(xiàn)。

通過試題解題過程比較可發(fā)現(xiàn)：

(1)求最值或取值范圍的問題，這兩年的考查，主要從代數(shù)法的角度上思考，通常要先把問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式、方程，再利用不等式性質(zhì)或函數(shù)性質(zhì)求出相應(yīng)量的最值或取值范圍；而從幾何角度上直接思考最值或取值范圍的情況較少涉及；

(2)這類與函數(shù)有關(guān)的問題，主要考查學(xué)生對于運動變化關(guān)系的理解和轉(zhuǎn)化，變量選擇的不同，導(dǎo)致了問題是否能得到解決，以及解決的難易復(fù)雜程度，因此這類題型考查了學(xué)生對于其他知識點與函數(shù)知識(特別是最值)之間交叉關(guān)系的觀察、判斷、轉(zhuǎn)換的熟悉程度。

(3)這類題型一般所涉及的轉(zhuǎn)換只有一層轉(zhuǎn)換，很少涉及兩層及多層轉(zhuǎn)換。

2、結(jié)論與建議

2.1 基本結(jié)論

(1)基本初等函數(shù)的考查幾乎不再進(jìn)行單一考查，而是通過分段函數(shù)、新定義概念等題型對基本函數(shù)進(jìn)行考查，解決函數(shù)類型覆蓋問題，這類問題的考查可以說是在橫向上對函數(shù)的基本知識進(jìn)行全面考查。

(2)最值問題是高考試卷中多次出現(xiàn)的問題，取值范圍問題實際上也可轉(zhuǎn)化成最值問題，除了函數(shù)的最值在應(yīng)用題中得到考查外，更多的是把最值的意義推廣到數(shù)列、立體幾何、概率、解析幾何等問題中，解題方法除了用圖象法和求導(dǎo)法外，還應(yīng)用了比較法、基本不等式法等方法，這類考查可以說是在縱向上對函數(shù)知識的應(yīng)用、函數(shù)的思想方法進(jìn)行深入考查。

(3)函數(shù)性質(zhì)的研究方法，如果把它大約分成基本概念法和導(dǎo)數(shù)積分法，那么把兩者結(jié)合起來，靈活應(yīng)用于函數(shù)研究，就是函數(shù)的最高要求了。

(4)函數(shù)的圖象在這兩年的試卷中減少了直接考查，函數(shù)的圖象存在于對函數(shù)性質(zhì)的描述中。

2.2 教學(xué)建議

(1)初等函數(shù)的定義要引起高度重視，對于一般化的線性函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、周期型函數(shù)等概念，首先要從形式上掌握初等函數(shù)的定義，并在熟練掌握函數(shù)的圖象、性質(zhì)后，通過比較、歸納，抽象出一般化的概念，然后再對抽象函數(shù)進(jìn)行深入研究。

(2)以絕對值函數(shù)為例，形成分段函數(shù)性質(zhì)的一般研究方法，分段函數(shù)可以看成各段函數(shù)的“并集”，而每一段函數(shù)實際上就是一個帶有限制定義域的函數(shù)，因此要掌握好分段函數(shù)，需要掌握帶限制定義域的函數(shù)的研究，會懂得把分段函數(shù)“分”成幾個帶限制定義域的函數(shù)，進(jìn)一步在此基礎(chǔ)上，理解函數(shù)的“并”所帶來的函數(shù)性質(zhì)的變化，能把得到的分段函數(shù)的性質(zhì)用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，從這個角度看，分段函數(shù)對于學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度和數(shù)學(xué)思維能力的要求是比較高的。

(3)以初等函數(shù)的研究為例，形成研究函數(shù)的一般方式和方法，熟練掌握特殊值、特殊點、特殊函數(shù)法，熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的幾何圖形特點和代數(shù)語言特點，并能進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，以此不斷提高學(xué)生對于函數(shù)思想方法的理解和應(yīng)用能力，不斷提高學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的理解。

3、思 考

3.1 如果把函數(shù)概念作為考察的中心，函數(shù)概念的生成過程就是一個數(shù)學(xué)建模過程，從實際問題抽象形成數(shù)學(xué)符號的過程，而函數(shù)性質(zhì)以及與其他知識的交匯就是形式化的數(shù)學(xué)推演，從近幾年的高考函數(shù)試題特別是理科試題看，大有弱化前者深化后者的趨勢，雖然從選拔的角度看，這樣的試題所篩選出的學(xué)生數(shù)學(xué)能力特別是“純”數(shù)學(xué)能力更強，但是畢竟絕大部分學(xué)生以后所要從事的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，而非純數(shù)學(xué)研究，這樣的命題導(dǎo)向會導(dǎo)致弱化數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、學(xué)生生活實際的聯(lián)系，弱化數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活這一數(shù)學(xué)本源，這種趨勢是否與課標(biāo)課程理念相背離?

3.2 從兩年的高考應(yīng)用題實測情況看，應(yīng)用題確實是中國學(xué)生的弱點，屬于一考就倒的情況，但高考試題是否能因為函數(shù)應(yīng)用題的實測難度大而放棄?能否通過一題多問來降低應(yīng)用題難度，從而達(dá)到考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力?

3.3 作為考察學(xué)生數(shù)學(xué)能力的方式之一知識交匯點命題，是否只在各數(shù)學(xué)知識塊之間進(jìn)行?能否以生活實際情境為背景，進(jìn)行函數(shù)與其他知識塊的交匯，進(jìn)而全面提高對函數(shù)意義的考查?

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