歐式看跌期權(quán)價(jià)格的計(jì)算方法:計(jì)算機(jī)模擬與比較
2010-12-31 00:00:00代維
金融經(jīng)濟(jì) 2010年9期
摘要:根據(jù)在實(shí)際金融市場(chǎng)中的例子，本文計(jì)算了其在Black-choles方程下的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格，給出了Monte Carlo隨機(jī)模擬方法計(jì)算該期權(quán)的價(jià)格，通過計(jì)算機(jī)模擬程序給出結(jié)果。隨后，又給出有限差分定價(jià)法顯示法計(jì)算了該期權(quán)價(jià)格。最終，對(duì)幾種計(jì)算方法進(jìn)行了優(yōu)劣比較與改進(jìn)。
關(guān)鍵詞:歐式看跌期權(quán);Black-choles公式;Monte Carlo隨機(jī)模擬;有限差分定價(jià)法;計(jì)算方法比較
一、Black-choles計(jì)算公式下的歐式看跌期權(quán)
通過假設(shè)股票價(jià)格的對(duì)數(shù)隨機(jī)過程并構(gòu)造出包含期權(quán)和標(biāo)的資產(chǎn)的對(duì)沖組合，我們得到歐式看跌期權(quán)定價(jià)公式:
P=PV*N-d2-*N-d);[Y])
其中d=[X]In/PV)σ[)][X]+
[X]σ[)]2[X]，
d2=d-σ[)]，[Y]2)
PV=e-r，[Y]3)
P為看跌期權(quán)的價(jià)格，r為 時(shí)期的無風(fēng)險(xiǎn)利率連續(xù)復(fù)利，為股票的現(xiàn)在價(jià)格，為到期的時(shí)間單位:年，為執(zhí)行價(jià)， PV為執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值，δ為股票收益的年標(biāo)準(zhǔn)方差。 N*為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的概率分布函數(shù)。
2具體實(shí)例:
已知股票價(jià)格為=00元，股票收益的年標(biāo)準(zhǔn)方差σ=0.5， 無風(fēng)險(xiǎn)利率連續(xù)復(fù)利r為4%，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為95元，到期的時(shí)間單位:年為0.5年，試計(jì)算該股票的歐式看跌期權(quán)價(jià)格。
由上面的B-公式立即可得該期權(quán)價(jià)格為0.3798元。
二、MONE-CARO方法模擬期權(quán)定價(jià)
如果標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)
ds=udt+σdw[Y]4)
那么風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的關(guān)鍵在于尋找風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度，對(duì)于幾何布朗運(yùn)動(dòng)，可以證明風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，標(biāo)的資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)過程如下:
=0exp[r-σ∧2/2)*+σ[)]ε][Y]5)
對(duì)于歐式看跌期權(quán)，到期日看跌期權(quán)現(xiàn)金流如下:
max{0，-0)er-σ∧2/2)*+σt[)]ε}[Y]6)
其中，是執(zhí)行價(jià)，r是無風(fēng)險(xiǎn)利率，σ是標(biāo)準(zhǔn)差，ε是正態(tài)分布的隨機(jī)變量。
對(duì)到期日的現(xiàn)金流進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，就可以知道期權(quán)的價(jià)格。
2期權(quán)定價(jià)的計(jì)算機(jī)模擬程序
我們使用MAAB2009A進(jìn)行模擬，有如下模擬程序:
functionPut=Monte Carlo ，，r，，sigma，Nu)
randn‘seed’，0);
nu=r-0.5*sigma^2)*;
sit=sigma*sqrt);
discpayoff=exp-r*)*max0，-*expnu+sit*randnNu，))-;
[eucall，var，ci]=normfitdiscpayoff)
這里，是股票價(jià)格，是執(zhí)行價(jià)，r是無風(fēng)險(xiǎn)利率，sigma是股票波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差，是到期時(shí)間，Nu是模擬的次數(shù)，eucall是歐式看跌期權(quán)的價(jià)格，var是模擬期權(quán)價(jià)格的方差，ci是95%的置信區(qū)間。
3該具體例子的應(yīng)用。
我們調(diào)用子程序可得歐式看跌期權(quán)的價(jià)格。
Monte Carlo00，95，0.04，0.5，0.5，000)
我們得到:eucall=.483
var=4.583
ci=0.2435
2.053
從上面的結(jié)果可看到，MONE CARO 模擬得到的期權(quán)價(jià)格為.483元 ，樣本正態(tài)擬合的方差為4.583元 ，95%的置信區(qū)間為[0.2435，2.053]，模擬波動(dòng)區(qū)間是很大的。
三、有限差分法顯示差分法的歐式看跌期權(quán)定價(jià)
假設(shè)fi，j表示在i時(shí)刻股票價(jià)格為第j價(jià)位的期權(quán)價(jià)格，對(duì)f 一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行如下差分:
[X]f[X]=[X]fi，j+-fi，jδ[X][Y]7)
[X]ft[X]=[X]fi+，j-fi，jδt[X][Y]8)
對(duì)二階微分方程，用如下方法進(jìn)行差分:
[X]2f2[X]=[X]fi，j+-fi，jδ[X]-[X]fi，j-fi，j-δ[X])/δ[Y]9)
整理得:
[X]2f2[X]=[X]fi，j+-fi，j--2fi，jδ2[X][Y]0)
代入B-公式
[X]ft[X]t，s)+[X]2[X]σ2s2[X]2fs2[X]t，s)-rft，s)+rsft，s)=0，0≤t≤并整理得
fi，j=aj*fi，j-+bj*fi，j+cj*fi，j+
i=0，，2…N-;j=，2，3…m-;[Y]3)
其中
a*j=[X]2[X]δtσ2j2-rj)[Y]4)
b*j=-δtσ2j2+rj)[Y]5)
c*j=[X]2[X]δtσ2j2+rj)[Y]6)
將3式寫成矩陣形式
fN-，m-
fN-，m-2
fN-，m-3
…
fN-，2
fN-，
c*M-b*M-a*M-0…0
0c*M-2b*M-2a*M-2…0
00cM-3b*M-3a*M-30
000c*M-4b*M-4a*M-4
………………
000c*
fN，M-
fN，M-2
fN，M-3
…
fN，
fN，0
對(duì)于歐式看跌期權(quán)，其終值條件如下:
f，)=max{-，0}，對(duì)任意>0;
考慮歐式看跌期權(quán)的邊界條件，當(dāng)股票價(jià)格非常大時(shí)，看跌期權(quán)到期日價(jià)值為0，
ft，max)=0;當(dāng)t=0時(shí)，那么到期日支付價(jià)值為，貼現(xiàn)到t期有ft，0)=e-r-t)，
邊界條件可以寫成如下形式:
fi，M=0i=，2…N;[Y]7
fi，0=e-r-t)i=0，，2…N;[Y]8
fN，j=max-jδ，0)， j=0，，2…M;[Y]9
仍用上面的例子，根據(jù)以上算法通過MAAB編程模擬得到該股票的歐式看跌期權(quán)價(jià)格為0.4元。
四、兩種計(jì)算機(jī)模擬方法與B-公式的比較
通過計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果，發(fā)現(xiàn)誤差分別為E有限=0.4-0.38=0.03元，誤差較小，有限差分法較為精確;
EMONE CARO=.5-0.38=0.77元，相對(duì)有限差分定價(jià)法，誤差較大，MONE CARO法在次數(shù)模擬少的情況下不太精確;
2我們對(duì)MONE CARO方法進(jìn)行改進(jìn)，增加模擬次數(shù)至0000次，得結(jié)果如下:
Monte Carlo00，95，0.04，0.5，0.5，0000)
eucall =0.4274
var =4.3747
ci =0.3383
0.565
此時(shí)，EMONE CARO=0.42-0.38=0.04元可以發(fā)現(xiàn)隨著模擬次數(shù)增多，模擬值與公式值越接近，越來越準(zhǔn)確。
參考文獻(xiàn):
[1] 數(shù)理金融分析-基礎(chǔ)原理方法[M]，張永林，經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，2007年2月
[2] 金融數(shù)學(xué)教程[M]，英)Alison Etheridge 著，張寄洲等 譯，人民郵電出版社，2006年8月
作者單位:南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院
