潘繼環(huán)

(河池學院 物理與電子工程系,廣西 宜州 546300)

質點在中心勢場V(r)中的運動

潘繼環(huán)

(河池學院 物理與電子工程系,廣西 宜州 546300)

討論中心勢場中有心力為引力的情況下質點的運動,對中心勢場中質點的運動狀況作了一般分析,給出了質點在有心力場中運動的守恒量、運動方程、軌道方程及其運動的經典特征.

有心力;中心勢場;有心力場;質點運動

0 引言

天體、人造衛(wèi)星、電子的運動等,是一類廣泛存在于自然界中的質點在中心勢場V(r)中運動的束縛態(tài)的問題.研究質點在中心勢場中的運動情況,除了促進太空安全外,也是促進先進通訊、地球資源探測和軍事偵探等方面發(fā)展的一種不可或缺的工具.質點在中心勢場中受到有心力的作用,所以研究質點在中心勢場中的運動情況時,將用有心力場的規(guī)律分析質點的運動狀況.

1 歷史回顧

在歷史上,對有心力的研究是由天文學的行星運動問題和玻爾原子中的軌道問題引起的 .從希臘著名學者拖勒密提出的“地心說”,到波蘭天文學家哥白尼提出的“日心說”,都沒有非常準確地描述行星的運動問題.直到 17世紀德國天文學家開普勒利用第谷多年積累的觀測資料,經過仔細分析研究,發(fā)現(xiàn)了行星沿橢圓軌道運行,并且提出行星運動三定律 (即開普勒定律),為牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律打下了基礎.1687年,牛頓根據(jù)開普勒定律及分析大量實驗 (包括天文學方面的實驗)結果的基礎上,總結出一條規(guī)律:

自然界中任何兩個物體之間都存在著相互吸引的力,如果物體可視為質點,那么這兩質點的相互吸引力F沿兩質點連線的方向,與兩質點的質量和的乘積成正比,同它們之間距離r的平方成反比,即

其中G為引力常量[2].

萬有引力定律成功地解釋了太陽系中,各行星在太陽的強大引力作用下,都是按各自的軌道和方向圍繞太陽運轉.將萬有引力定律推廣到整個宇宙,同樣可以解釋宇宙星系之間的相互作用及相互制約的關系.

2 質點在中心勢場中運動的一般分析

2.1 有心力

對相互作用的兩個質點,如圖 1所示,以一個質點的位置為原點,從原點

到另一點的位置矢量為 r,沿著 r作用有力 F,F的大小是兩點間距離r的函數(shù).把K(r)作為位置的標量函數(shù),有

這里r=|r|.作曲線運動的質點,所受的力指向某一點,如果是作圓周運動,則指向圓心.例如作用于天體間的萬有引力,點電荷上的靜電力如圖 2等等,都由(1)式表示.這樣的力被稱為有心力,K(r)>0時是斥力,K(r)<0時是引力.例如萬有引力

就是有心力.

我們知道,各大行星都是繞太陽作橢圓運動的,這是因為它們之間存在著萬有引力的作用.對任一行星例如 (地球)而言,它所受到的力主要是太陽對它的引力,即有心力.人造地球衛(wèi)星也是這樣,它所受到的力幾乎僅僅是地球對它的引力,也就是受到有心力的作用.在有心力的作用下,質點始終在一平面內運動.有心力構成的力場即為有心力場.有心力場是自然界中最普遍、最重要的力場之一.

2.2 質點在中心勢場中運動的守恒量

2.2.1 角動量守恒

取力心為極坐標的極點,則由

式中h是常數(shù).(9)式為角動量守恒的數(shù)學表達式,它與開普勒第二定律存在一定的聯(lián)系 .[3]

如圖 2所示,在曲線軌道上的質點,在微小時間 dt內從點P移到點Q,r增加了 dr成為 r+dr,角度變化為 dθ;設從P向OQ所作垂線的垂足為P′,可以認為PP′=rdθ.把dt時間內動徑OP掃過的面積 ds看成ΔOPQ的面積,略去高階小量,得

2.2.2 機械能守恒

既然有心力是保守力,那么它所做的功與其路徑無關,因而它一定存在勢能V,且 F=-▽V[4].因為勢能差與原點選取無關,故可寫出

這時勢能函數(shù)V當然也是矢徑r的函數(shù),即V=V(r).所以機械能是恒定的具體表達式是

其中E是質點的總能,它是一個常數(shù).

2.3 兩體問題

實際碰到的中心力場問題,常常是兩體問題.由兩個物體組成的孤立系統(tǒng),若內力是有心力,則它們的質心將作勻速運動[5].為了簡單起見,把質心取作坐標系原點如圖 3所示,并設 r1和r2相應的表示質點m1和m2相對于質心的位置矢量,用 R表示質點 1相對于質點 2的位置矢量.

由在質點組中,質心C對同一原點O的位矢 rc滿足的關系:

又因為我們把質心取作坐標系原點,則rc=0.所以根據(jù)(14)式,得

質點 1相對于質心運動的微分方程為

(19)式表示質點 1相對于質點 2的運動,這個方程與一個質量為μ的質點在有心力場中的運動方程完全相同.所以,兩個物體相對于他們質心的有心力運動總是能夠歸結為一個等效的一體問題.

對于兩個彼此受到萬有引力作用的物體來說,有

這與一個質點在平方反比的有心力場下的運動方程是一樣的.若把地球和月亮看作一個孤立系統(tǒng),則月球的軌跡是一個橢圓,以地心為焦點;地球的軌跡也是一個橢圓,但它以月心為焦點.

2.4 軌道方程

2.4.1 由運動方程消去參數(shù)t導出軌道微分方程

中心勢場中質點的運動的基本方程為

這就是所要求的軌道微分方程,即比耐公式.當質點所受的是引力時,F為負號;當為斥力時,F為正號.該公式對質點在有心力場中運動的描述有著重要地位.

2.4.2 由能量守恒和角動量守恒導出軌道方程

這就是利用能量守恒和角動量守恒結合起來,作為解決有心力問題的基本方程,從而求出的含有能量E的軌道方程.

2.5 行星運動的經典特征

若考慮一個質點在中心勢場中的經典運動.行星圍繞太陽的運動就是這種運動的典型例子.

2.5.1 按偏心率e對軌道分類

現(xiàn)在讓我們利用比耐公式來求質點在與距離平方成反比的引力作用下的軌道方程.

同樣令太陽的質量為M,行星的質量為m,則由萬有引力定律,我們可以知道它們之間的作用力為

式中k2=GM是一個與行星無關而只與太陽質量有關的量,叫做太陽的高斯常量,r為太陽和行星的距離.把 (27)式代入 (23)式即比耐公式中,得

這個微分方程的形式與諧振動方程完全一樣,所以它的解是

式(32)就是我們要求的軌道方程.把它和在極坐標的標準圓錐曲線方程

(33)式軌道方程表示的是:軌道的原點在焦點上的圓錐曲線,力心位于焦點上,p為圓錐曲線正焦弦長度的一半,e為偏心率,此時θ應從是從焦點至準線所作的垂線量起.(32)、(33)兩式相比較,得

根據(jù)e的數(shù)值可畫出三種類型的曲線,分別如圖 4、圖 5和圖 6所示.

可見,只要知道偏心率e的數(shù)值就能決定軌道是什么形狀,而偏心率e的數(shù)值需要根據(jù)起始條件來確定.

2.5.2 按能量E對軌道分類

我們已經由能量守恒和角動量守恒推導出包含有能量E的軌道方程

以此與標準式(33)式比較,即可得出軌道的偏心率由下式給出

那么,我們就得出用能量E作為軌道類別的判據(jù):

E<0,則e<1,軌道是閉合的(橢圓或圓);

E=0,則e=1,軌道為拋物線;

E>0,則e>1,軌道為雙曲線.

3 結語

中心勢場的問題,實際上都遵從了共同的規(guī)律——質點在有心力場中運動的規(guī)律,這體現(xiàn)出理論物理思維的一個特點:用幾個最基本的原理、定律去解釋豐富多彩的物質運動.質點在中心勢場中運動,角動量和機械能都是守恒的,其運動的軌道會因為起始條件的不同而分為三類即閉合軌道 (橢圓或圓)、拋物線軌道、雙曲線軌道.中心勢場中兩個物體相對于他們質心的有心力運動總是能夠歸結為一個等效的一體問題.我們用有心力場的規(guī)律分析質點的運動狀況 (如研究質點的守恒量、軌道方程以及其經典的運動特征)時,作了如下近似處理:假設太陽不動,忽略了行星之間的相互作用.這些近似處理是必要的,因為考慮了太多因素,那么問題求解很困難,有時甚至不能,作近似處理實際上抓住了主要因素忽略了次要因素.另外,近似處理所得結果必須與實驗觀測結果相符合,如果不符合,則要作進一步修正.

[1]戈德斯坦.經典力學[M].湯家鏞,陳為詢,譯.上海:科學出版社,1985:101.

[2]王志剛,王耀華,王莉,等.開普勒定律的功績[J].河北能源職業(yè)技術學院學報,2002,(1).

[3]江尻有鄉(xiāng).力學 15講[M].朱為群,譯.廣州:中山大學出版社,1993:58.

[4]周衍柏.理論力學教程 [M].北京:高等教育出版社,1986:67.

[5]陳家森,譚樹杰,汪宗禹,等.力學[M].上海:華東師范大學出版社,1985:170.

An Analyse theW ork of Lorentz Force by the Law of Conservation of Energy

L IANG Yu-Juan

(Department of Physics and Electron ics Engineering,Hechi Un iversity,Y izhou,Guangxi546300,Ch ina)

The Lorents force ofmoving charge in a magnetic field isf=qv×B,whose direction is always perpendicular to the direction of velocity and which does not do work;While the non-electrostatic force for the motional electromotive force is lorentz force,which doeswork on the charge.Do these two arguments conflict?How do we understand the two phenomena?How the Lorents force does work is analyzed and explained by the law of conservation of energy and transformation.

moving charge;Lorentz force;law of conservation of energy and transformation;work

G427

A

1672-9021(2010)02-0046-08

潘繼環(huán) (1972-),男 (壯族),廣西都安人,河池學院物理與電子工程系講師,主要研究方向:粒子物理和原子核物理理論.

2009-11-01

[責任編輯普梅笑 ]