王信存

(遼東學(xué)院師范學(xué)院 高等數(shù)學(xué)教研部,吉林 丹東 118003)

2.3.2 關(guān)鍵函數(shù)存在,輔助函數(shù)需要構(gòu)造

解這種類型題的關(guān)鍵是對基本積分公式是否熟悉,是否掌握出題者所考查的知識點 .

2.3.3 需要將原題適當變形,析出關(guān)鍵函數(shù)和復(fù)合函數(shù)

解析:回憶微分運算公式的產(chǎn)生過程,會發(fā)現(xiàn) (sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx,是直接運用定義得出的公式 .后在教材中給出了四則運算的求導(dǎo)法則,其中除法的運算法則為

即三角函數(shù)主要的導(dǎo)數(shù)公式是以正弦、余弦為基礎(chǔ)的 .因為積分運算和微分運算是互逆運算,所以要進行正切的積分運算,可以嘗試化為熟悉的正、余弦公式 .

關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)
——解決積分運算的一種思想

王信存

(遼東學(xué)院師范學(xué)院 高等數(shù)學(xué)教研部,吉林 丹東 118003)

提出關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)的概念,舉例說明它們在不同積分運算方法中所起的作用,并對不同形式的關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)做了分類敘述 .

關(guān)鍵函數(shù);輔助函數(shù);積分運算

0 引言

本文先從教材的第一類換元積分基本定理出發(fā),通過例題對定理進行解釋說明,進而提出關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)的概念 .對出現(xiàn)關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)的不同形式進行詳細研究,通過不同類型題的求解,充分認識到這種理解方式的重要性,指出這種思想在其它積分方法中的應(yīng)用,以望快速準確地解決此類問題 .

1 教材中關(guān)于第一類換元積分法的定理及解釋

先從基本定理來了解一下 .

注意到把被積函數(shù)與基本積分公式對照,確認了正弦函數(shù)的基本積分公式,然后使兩者的積分變量一致 .而為了被積函數(shù)變量和積分變量的一致,將 exdx湊成 dex,故也稱作湊微分法 .

2 關(guān)鍵函數(shù)在第一類換元積分法中的應(yīng)用

為了更好地把握定義,熟練使用該方法,下面提出關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)的概念 .

2.1 關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)的提出

第一類換元積分法所能解決的積分問題中其實都隱含著關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù),所謂的關(guān)鍵函數(shù)就是指要考察的基本積分公式所對應(yīng)的被積函數(shù),因為被積函數(shù)的出現(xiàn)形式都是復(fù)合函數(shù),所以為了將被積函數(shù)積出,必須將變量保持一致,為此應(yīng)該存在輔助函數(shù),即輔助函數(shù)存在的目的是為了關(guān)鍵函數(shù)的積出[3].下面舉例說明:

2.2 關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)的確定原則

(1)關(guān)鍵函數(shù)一般都是復(fù)合函數(shù) .

(2)同類型的函數(shù),相對復(fù)雜的作為關(guān)鍵函數(shù) .

(3)不同類型的函數(shù)乘積作被積函數(shù)時,對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)容易成為關(guān)鍵函數(shù),指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)容易成為輔助部分 .

(4)冪函數(shù)與其他函數(shù)乘積作被積函數(shù)時,冪函數(shù)遇到對數(shù)和反三角函數(shù)時容易成為輔助函數(shù),而當它遇到三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)時則很可能成為關(guān)鍵函數(shù) .

(5)根式一般都是關(guān)鍵函數(shù)[2].

下面舉出相應(yīng)的例子 .

2.3 關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)出現(xiàn)的不同形式

對于換元積分的運算而言,關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)的提出是一種分析問題的創(chuàng)新思維方式,對于不同的習(xí)題,它們的存在方式也不盡相同 .

2.3.2 關(guān)鍵函數(shù)存在,輔助函數(shù)需要構(gòu)造

解這種類型題的關(guān)鍵是對基本積分公式是否熟悉,是否掌握出題者所考查的知識點 .

2.3.3 需要將原題適當變形,析出關(guān)鍵函數(shù)和復(fù)合函數(shù)

解析:回憶微分運算公式的產(chǎn)生過程,會發(fā)現(xiàn)(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx,是直接運用定義得出的公式 .后在教材中給出了四則運算的求導(dǎo)法則,其中除法的運算法則為

即三角函數(shù)主要的導(dǎo)數(shù)公式是以正弦、余弦為基礎(chǔ)的 .因為積分運算和微分運算是互逆運算,所以要進行正切的積分運算,可以嘗試化為熟悉的正、余弦公式 .

即先將原式轉(zhuǎn)化

2.3.4 關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)都不完整,巧妙構(gòu)造將它們補全

此題的關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)都是構(gòu)造因式補充完整的,算是一類特殊的習(xí)題,很考驗我們的數(shù)學(xué)思維 .

3 關(guān)鍵函數(shù)在第二類換元積分法中的應(yīng)用

4 在分部積分法中的關(guān)鍵函數(shù)

可以看出,分部積分法的關(guān)鍵是確定哪個函數(shù)為u,哪個部分為 dv,選擇恰當,可以使函數(shù)的求解事半功倍,但如果選擇不恰當,可能反而會使函數(shù)變得更為復(fù)雜 .其實這里的u可以理解為本文提出的關(guān)鍵函數(shù),而 dv一般是由輔助函數(shù)和湊微分得到 .

這樣右端的不定積分顯然比左端更難求 .

5 結(jié)論

關(guān)鍵函數(shù)和輔助函數(shù)并不是一種嚴格定義,而是解決積分運算的一種新的思想,這種思想的有效運用確實對積分運算產(chǎn)生了重要作用,在高等數(shù)學(xué)這樣的高度抽象的學(xué)科中,創(chuàng)造性的運用一些新的思維方式理解問題、分析問題,或許是大學(xué)生,尤其是高職學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)課的一個新途徑 .

[1]新世紀高職高專教材編審委員會.新編高等數(shù)學(xué)[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2004.

[2]王信存.復(fù)合函數(shù)的整體化思維[J].大慶師范學(xué)院學(xué)報,2008,(2):86-88.

[3]王信存.一種新的函數(shù)分類方法—分部積分法中關(guān)鍵函數(shù)的確定[J].宜賓學(xué)院學(xué)報,2008,(6).

Key Function and Assistance Function——A Tra in of Thought of Solving Integration Calculation

WANG X in-cun

(Eastern L iaon ing Un iversity Normal College,Dandong,Jil in 118003,China)

This paper defines the conceptsof key function and assistance function and uses examples to explain their functions in integration calculation and classifies the different fcr ms of key function and assistance function.

key function;assistance function;integration calculation

O174

A

1672-9021(2010)02-0004-05

王信存 (1973-),男,遼東丹東人,遼東學(xué)院師范學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研部講師,碩士,主要研究方向:數(shù)值逼近與數(shù)字圖像處理 .

遼寧省十一五教育科學(xué)規(guī)劃課題 (職教 32—14)

2009-12-10

[責(zé)任編輯普梅笑 ]