伍 莉，陳愛志，陳小寧，張 濤，劉土光，劉 均

（1武漢市第二船舶設計研究所，武漢430064；2華中科技大學交通學院船海系，武漢430074；3海軍駐431廠代表室，遼寧 葫蘆島125004）

1 引 言

耐壓殼體的強度和穩(wěn)定性性能是大深度潛水器研究的關鍵，近年來引起了國內外各學者的關注。

關于大深度潛水器耐壓殼體的研究大多集中在球形和圓柱形結構上。遠藤倫正[1]率先對Ti-4-V-6鈦合金材料球形大深度耐壓殼體模型的穩(wěn)定性進行了試驗研究。陸蓓[2]，李良碧[3]采用有限元法，分析了球形潛水器耐壓殼體的臨界壓力與幾何參數之間的影響曲線。王仁華[4]采用有限元法，研究了幾何缺陷對球殼結構的穩(wěn)定性影響。Liang Cho-Chung[5]研究了材料、重量排水量之比對深球形和橢球形潛器耐壓殼體穩(wěn)定性的影響。劉濤[6]考慮材料非彈性影響，給出了圓柱形潛水器耐壓殼體穩(wěn)定性的簡易公式。對于耐壓殼體的結構形式，從重量—排水量比的角度來看，球形最佳，而圓柱形有較高的空間利用率，綜合兩者的優(yōu)點，新近出現了如圖1所示的藕節(jié)形耐壓殼體這種新的結構形式。Liang Cho-Chung[7]采用EIPF（extended interior penalty）和DFP（Davidon-Fletcher-Powell）方法，研究了多球殼連接的大深度潛水器耐壓殼體的優(yōu)化設計問題。為了改善圖1中球殼直接相連導致的強度和穩(wěn)定性問題，伍莉[8-9]提出了如圖2所示的切弧連接這種新型的藕節(jié)形耐壓殼體結構形式，并研究了考慮該結構形式的強度、穩(wěn)定性以及幾何約束等的優(yōu)化設計。

本文采用有限元方法，研究了一系列幾何參數下，大深度潛水器的三藕節(jié)切弧連接耐壓殼體的強度和穩(wěn)定性性能，提出該結構的材料線性和材料非線性強度經驗公式；并考慮材料非線性的初始缺陷的影響，提出其穩(wěn)定性經驗公式。

2 耐壓殼體的幾何參數

本文研究的三藕節(jié)大深度潛水器耐壓殼體的幾何模型如圖2，假定耐壓殼體均勻等厚。R是球殼半徑，t是耐壓殼體的厚度，L是球殼中心間距，θ是連接角。在對其進行強度和穩(wěn)定性分析時，將幾何參數進行無因次化，記幾何參數為。其中，tR是厚度半徑比t/R，LR是球殼間距半徑比L/R。選定幾何參數范圍：0.05%≤tR≤0.09%，1.9≤LR≤2.7，40°≤θ≤65°。

3 耐壓殼體強度計算式的建立

3.1 線性材料的耐壓殼體強度公式

若材料為線性，三藕節(jié)耐壓殼體的強度只與外壓力P0，以及幾何參數（tR，LR，sin（θ））有關。參考球殼和圓柱殼的強度公式可知，外壓力和幾何參數是相互獨立的參量，可以將耐壓殼體的最大應力用如下公式表示：

式中的兩個函數表達式均采用有限元方法來確定，有限元計算選取商業(yè)軟件ANSYS進行幾何非線性分析。由于耐壓殼體為軸對稱，屬于厚殼范圍，綜合考慮計算精度和計算效率，有限元計算中選用軸對稱實體單元PLAN_42，材料參數選用文獻[1]中Ti-4-V-6鈦合金線性模型：E=1.127e5MPa、ν=0.3，耐壓殼體模型半徑R=2 000mm。通過系列計算以及收斂性檢驗，確定網格大小為t/4×t/4，固定載荷增量步長為0.05。

3.2 F（P0）的確定

確定F（P0）時，假定幾何參數（tR，LR，sin（θ））為定值，單獨考慮σmax與P0之間的函數關系。 選定模型R=2 000mm，t=140mm，L=4 600mm，θ=55°。系列外壓力P0下，耐壓殼體的最大應力值列于表1和圖3。從表1的記錄結果和圖3的曲線擬合可以看出，σmax是關于P0的一次函數，且對應擬合直線經過原點。本文選?。?/p>

表1 系列P0下耐壓殼體的σmaxTab.1 σmaxof pressure hull under a series of P0

3.3 f1（tR）的確定

在確定σmax與（tR，LR，sin（θ））之間的函數關系時，假定P0為定值，選取P0=60MPa。

為了尋求tR與LR、sin（θ）之間的相關性，分別計算了LR、θ取以下五組典型數值時：（LR=2.3，θ=55°），（LR=2.3，θ=40°），（LR=2.3，θ=65°），（LR=1.9，θ=55°），（LR=2.7，θ=55°），系列tR下耐壓殼體的最大應力值 σmax，見表2。圖4給出了五組典型（LR，θ）下隨厚度半徑比tR的變化規(guī)律。其中是對應的耐壓殼體的最大應力值，σ7max是對應的耐壓殼體的最大應力值。

表2 系列厚度下耐壓殼體的最大應力值Tab.2 σmaxof pressure hulls for a series of thick

從圖4可以看出五組典型（LR，θ）數值下，耐壓殼體的σmax隨tR的變化規(guī)律趨于一致，和LR、θ取中間值（LR=2.3，θ=55°）時的耐壓殼體相比，誤差小于3%，近似認為tR是與LR、sin（θ）無關的獨立參量，因此（1）式可以寫為如下形式：

其中，a1=-10.1，a2=16.25，a3=-0.088。大部分離散點的擬合誤差在1%以內，最大誤差不超過2.7%，可將tR視為與LR、sin（θ）無關的獨立參量。f1（tR）的擬合曲線見圖4。

3.4 f2（LR，sin（θ））的確定

假定外壓力P0和耐壓殼體的厚度半徑比tR為定值：P0=60MPa，tR=7%，通過系列有限元計算進一步確定f2（LR，sin（θ））。

將P0和f1（7%）的取值代入（3）式得到：

其中σmax的單位為MPa。

系列球殼間距半徑比LR、連接角θ下耐壓殼體的最大應力值列于表3，聯合表3和（5）式求得函數f2（LR，sin（θ）），并分別間隔選取幾組典型離散點，其結果如圖5、圖6所示。通過反復嘗試和誤差比較，圖5中的各組離散點采用四次多項式進行函數擬合可以獲得較高的精度，圖6則用線性擬合即可滿足精度要求。因此本文假定f2（LR，sin（θ））的函數表達式如下：

表3 系列LR、θ下耐壓殼體的σmax（MPa）Tab.3 σmax（MPa）of pressure hulls for a series of LRand θ

表4 {bk}中各元素數值Tab.4 The value of{bk}

（6）式的擬合誤差列于表5，從誤差表中可以看出，大部分數值擬合誤差都在1%以下，最大誤差僅為-2.63%～1.15%，用（6）式來擬合f2（LR，sin（θ））具有足夠高的精度。

表5 f2（LR，sin（θ））的誤差Tab.5 The error of f2（LR，sin（θ））

因此（3）式即為線性材料的三藕節(jié)切弧連接耐壓殼體強度公式，其中的f1（tR）、f2（LR，sin（θ））分別由（4）式和（6）式求得。

3.5 非線性材料的耐壓殼體強度公式

（3）式是不考慮材料非線性影響的三藕節(jié)切弧連接耐壓殼體的強度公式，本文通過將非線性材料的應力—應變曲線引入（3）式得到非線性材料的耐壓殼體強度公式。如圖7所示，線性材料的應力—應變關系為：

非線性材料的應力—應變關系擬合為函數：

將（7）式中的ε代入（8）式即可得到非線性材料耐壓殼體的強度公式：

其中 σmax由（3）式確定。

以大深度潛水器耐壓殼體常用材料Ti-4-V-6鈦合金為例，圖8為文獻[1]提供的應力—應變曲線，其主要材料參數為：楊氏模量E=1.127e5MPa，泊松比ν=0.3，屈服極限σs=872MPa。本文對其進行曲線擬合，得到應力—應變函數關系如下：

將（7）式代入應力—應變關系式（10）即可得到Ti-4-V-6鈦合金三藕節(jié)切弧連接耐壓殼體的強度公式：

式中，σmax由（3）式計算得到。

4 耐壓殼體的穩(wěn)定性計算式的建立

4.1 Ti-4-V-6鈦合金耐壓殼體的穩(wěn)定性公式

本文考慮初始缺陷和材料非線性的影響，采用有限元法確定Ti-4-V-6鈦合金耐壓殼體的穩(wěn)定性公式。

耐壓殼體的穩(wěn)定性與初始缺陷因子fR（fR=f/R，其中f是最大初始幾何缺陷幅值），材料參數E、ν，以及幾何參數（tR，LR，sin（θ））有關。假定材料與幾何參數是無關參量，初始缺陷以缺陷項乘子引入，參考球殼和圓柱殼的穩(wěn)定性公式，Ti-4-V-6鈦合金三藕節(jié)切弧連接耐壓殼體的臨界失穩(wěn)壓力可以用如下公式來表示：

式中函數表達式F′（fR）和f′（tR，LR，sin（θ））均采用有限元法計算確定。 有限元計算選取商業(yè)軟件ABAQUS進行非線性分析。為了確保計算的精確性，在非線性分析過程中分兩個載荷步進行：第一個載荷步中，固定步長使用一般非線性屈曲分析，直至約為特征值屈曲臨界載荷的80%；第二個載荷步中，固定弧長，使用弧長法使分析通過臨界載荷。

為了反映潛水器耐壓殼體的真實失穩(wěn)過程，本文選用整體模型，模型單元采用適合于厚殼非線性分析的殼單元S8R。材料模型選用文獻[1]提供的Ti-4-V-6鈦合金非線性材料，參見圖8，模型半徑R=2 000mm。通過系列計算以及收斂性檢驗，確定網格大小為300mm×300mm，step1的固定增量步長為0.05，step2的固定增量步長為0.005。

4.2 缺陷項F′（fR）的確定

目前針對球殼初始缺陷的研究主要包含局部缺陷，和整體特征值屈曲模態(tài)缺陷，文獻[4]的研究結果表明整體特征值屈曲模態(tài)缺陷形式對結構最為不利，本文中引入的缺陷項F（fR）主要是考慮這種對結構最為不利的缺陷形式。其中缺陷項表達式采用有限元法確定。

為了合理確定F′（fR），分別計算了七組典型（tR，LR，θ）數值的耐壓殼體模型：（7%,2.3,55°），（5%,2.3,55°），（9%,2.3,55°），（7%,1.9,55°），（7%,2.7,55°），（7%,2.3,40°），（7%,2.3,65°），各fR耐壓殼體的臨界失穩(wěn)壓力值Pcr，見表6。 圖9給出了七組典型（tR，LR，θ）數值下，耐壓殼體的隨厚度半徑比fR的變化規(guī)律。其中是缺陷幅值為fR時的臨界失穩(wěn)壓力是相同厚度下完善球殼的臨界失穩(wěn)壓力。

表6 系列fR下耐壓殼體的Pcr（MPa）Tab.6 Pcr（MPa）of pressure hulls for a series of fR

本文對F′（fR）的擬合考慮最危險的狀態(tài)，如圖9所示，選取所有離散點的外包羅線，其擬合表達式為：

（13）式的擬合結果即為圖8所示的Ti-4-V-6鈦合金三藕節(jié)切弧連接耐壓殼體的缺陷項表達式。

4.3 f1′（tR）的確定

在確定Pcr與（tR，LR，sin（θ））之間的函數關系時，假定fR=0。

確定函數表達式f′（tR，LR，sin（θ））的方法類似于第3部分確定f（tR，LR，sin（θ））的方法，取以下五組典型（LR、θ）數值計算：（2.3，55°），（2.3，40°），（2.3，65°），（1.9，55°），（2.7，55°），系列tR下耐壓殼體的臨界失穩(wěn)壓力Pcr，見表7。圖10給出了五組典型（LR、θ）數值下隨厚度半徑比tR的變化規(guī)律。其中是對應的耐壓殼體的臨界失穩(wěn)壓力是對應的耐壓殼體臨界失穩(wěn)壓力。

表7 系列厚度下耐壓殼體的臨界失穩(wěn)壓力值Tab.7 Pcrof pressure hulls for a series of thick

從圖10可以看出，五組典型（LR、θ）數值下，耐壓殼體的Pcr隨tR的變化規(guī)律區(qū)域一致，對應點的誤差不超過4%，可以近似認為tR是與LR、sin（θ）無關的獨立參量，則（12）式可以寫為如下形式：

式中，a1′=-58.6，a2′=24.63，a3′=-0.437。

f1′（tR）的擬合誤差不超過4%，其擬合曲線如圖10所示。

4.4 f2′（LR，sin（θ））的確定

假定初始缺陷因子fR和耐壓殼體的厚度半徑比tR為定值：fR=0，tR=7%。

將F′（0）=1和f1′（7%）=1的取值代入（3）式得到：

其中Pcr的單位為MPa。

系列球殼間距半徑比LR、連接角θ下耐壓殼體的臨界失穩(wěn)壓力列于表8，聯合表8和（16）式求得函數f2′（LR，sin（θ）），并分別間隔選取幾組典型離散點（LR，f2′（LR，sin（θ）））、（sin（θ），f2′（LR，sin（θ））），將其變化規(guī)律顯示于圖11、圖12。通過反復嘗試和誤差比較，圖11中的各組離散點采用二次多項式進行函數擬合可以獲得較高的精度，圖12需要用三次多項式擬合以滿足精度要求。假定f2′（LR，sin（θ））的函數表達式如下：

表8 系列LR、θ下耐壓殼體的Pcr（MPa）Tab.8 Pcr（MPa）of pressure hulls for a series of LRand θ

將{sini（θ）·Lj}（i=0，1，2，3；j=0，1，2）視為基函數，采用最小二乘法在商業(yè)軟件Matlab中編寫程序R求解{bk′}（k=1，2，…，12），{bk′}中各元素數值列于表9。

表9 {bk′}中各元素數值Tab.9 The value of{bk′}

（17）式的擬合誤差列于表10，從誤差表中可以看出，大部分數值擬合誤差都在1%左右，最大誤差為-3.83%～2.84%，用（17）式來擬合f2′（LR，sin（θ））可以滿足精度要求。

因此（14）式即為線性材料的三藕節(jié)切弧連接耐壓殼體強度公式，其中的f1（tR）、f2′（LR，sin（θ））分別由（15）式和（17）式求得。

表10 f2′（LR，sin（θ））的誤差Tab.10 The error of f2′（LR，sin（θ））

5 結 語

本文采用有限元法，研究了最近提出的新型大深度潛水器耐壓殼體—三藕節(jié)切弧連接耐壓殼體的強度和穩(wěn)定性性能；考慮初始缺陷和非線性的影響，采用最小二乘法進行數據擬合，提出了三藕節(jié)切弧連接耐壓殼體的強度公式和穩(wěn)定性公式。本文提出的理論公式具有一定的精度，可為大深度潛水器耐壓殼體設計提供理論依據，并可進一步用于該新型耐壓殼體的優(yōu)化設計。

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