趙永強，李瑰賢 ，常 山，張 祥

（1哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院，哈爾濱 150001；2中船重工集團第703研究所，哈爾濱 150036）

1 引 言

行星齒輪傳動系統(tǒng)應用非常廣泛，它的動力學分析對減振降噪具有重要的指導意義。固有頻率對系統(tǒng)參數的敏感度能夠為系統(tǒng)響應的降低、結構設計的優(yōu)化提供重要的依據。選擇調節(jié)好系統(tǒng)參數可以平衡各設計目標。

有些文獻已經對單級行星齒輪傳動系統(tǒng)的固有頻率參數敏感度進行了研究，Botman[1]和Cunliffe[2]研究了行星輪支撐剛度變化對系統(tǒng)固有頻率的影響，Kahraman[3]使用純扭轉模型研究了嚙合與支撐剛度對系統(tǒng)固有頻率的影響，Saada和Velex[4]研究了自由振動齒圈支撐剛度對系統(tǒng)固有頻率的影響，Lin和Parker[5]系統(tǒng)地研究了嚙合與支撐剛度、齒輪質量與轉動慣量、行星架轉速等參數對系統(tǒng)固有頻率的影響。

本文對大型艦船機械裝置中常用的兩級人字齒行星齒輪系統(tǒng)進行了固有頻率敏感度的分析，文中主要對嚙合剛度的敏感度進行了系統(tǒng)的研究，得出了各振動模態(tài)中固有頻率隨參數變化的情況。

2 系統(tǒng)動力學模型

本文使用自己建立的模型，建模時采用集中參數法。齒輪均為人字齒輪，中心輪浮動，不考慮齒間側隙的影響。整個系統(tǒng)由行星輪系和行星架固定的星形輪系相互聯(lián)接而成。

由于采用人字齒的結構型式，所以只需考慮三個方向的自由度。系統(tǒng)共有3×（M+2+N+3）個自由度（M、N分別為星輪和行星輪個數），系統(tǒng)的自由振動的動力學方程為

式中，M、G、C、kb、km、kω分別為系統(tǒng)的質量矩陣、陀螺矩陣、阻尼矩陣、支撐剛度矩陣、嚙合剛度矩陣和向心剛度矩陣。

3 特征值敏感度的計算方法

特征值敏感度分析主要是計算固有頻率和振動模態(tài)對系統(tǒng)參數的導數，這里只研究對動態(tài)特性影響較大的系統(tǒng)參數，如嚙合剛度?？疾煜率降奶卣髦祮栴}

本文使用模態(tài)法來計算系統(tǒng)的特征值的導數，再根據固有頻率與特征值導數之間的關系,就可以計算出各系統(tǒng)參數對固有頻率的敏感度。

特征值為單根時的敏感度為

特征值為重根時的敏感度為

上述公式中各量的具體描述詳見文獻[5]。

4 嚙合剛度敏感度

所研究的嚙合剛度包括行星輪系與星形輪系中各對互相嚙合的齒輪，其中某些剛度的敏感度與其相應的模態(tài)應變能對應，接下來的分析可以驗證這一現象。

4.1 行星輪系太陽輪與行星輪嚙合剛度敏感度

4.1.1 可調諧系統(tǒng)

對于耦合輪系振動模態(tài)，系統(tǒng)的固有頻率均為單根，將公式（7）代入（3）、（4）式，并利用下式

可以得到單根情況下特征值敏感度的計算公式：

行星輪系統(tǒng)振動模態(tài)中，特征值為重根，只考慮 λ1=λ2的情況，λ1′、λ2′為（5）式中矩陣 D 的特征值，將（7）式代入（5）式，得

在單級行星齒輪傳動系統(tǒng)的平移（直齒）或徑向平移—扭擺（斜齒）振動模態(tài)中但在本文研究的兩級人字齒行星傳動系統(tǒng)中，此種情況不成立。而在N>3時才出現的、重數為N-3的固有頻率振動模態(tài)下，有λ1,2′在 N=4 和 N=5 的情況下才可以寫成（9）式的形式；N>5 時矩陣D的特征值很難求得封閉解，需采用數值方法。

對于星形輪系振動模態(tài)，當星輪個數M≤3時，特征值為單根，M>3時出現重數為M-3的特征值，但無論對于單根特征值還是重根特征值，均有（行星輪系不振動），所以，固有頻率對的敏感度均為零。

本文以大功率艦船用兩級人字齒行星齒輪傳動系統(tǒng)為例（見表1），研究其固有頻率對的敏感度。

表1 系統(tǒng)參數表Tab.1 Model parameters of two stage double tooth planetary gear trains

4.1.2 不可調諧系統(tǒng)

在實際的行星齒輪傳動中，由于行星輪的加工裝配誤差、與太陽輪接觸齒數的變化等因素的影響，使得各行星輪與太陽輪間的嚙合剛度產生差異，從而使整個系統(tǒng)變得不可調諧。所以，有必要研究非調諧情況下，行星輪與太陽輪嚙合剛度變化對系統(tǒng)模態(tài)特性的影響。假定只有第一個行星輪與太陽輪嚙合剛度發(fā)生變化，系統(tǒng)質量矩陣和剛度矩陣對的導數為：

對于耦合輪系振動模態(tài)，固有頻率均為單根，利用（3）、（4）式得特征值敏感度計算公式如下：

對于行星輪系振動模態(tài)，系統(tǒng)固有頻率為重根，先考慮λ1=λ2的情況，選取任意的正交模態(tài)振型為Γ=［γ1,γ2］，符號表示在模態(tài)γi下太陽輪與第一個行星輪嚙合的彈簧變形量，這一定義類似于在模態(tài)φi下的太陽輪與行星輪嚙合的彈簧變形量（5）式中矩陣 D 及其特征值 （λ1′、λ2′）為

對于星形輪系振動模態(tài)，第二級行星輪系無振動，所以系統(tǒng)固有頻率對的敏感度均為零。

4.2 行星輪系行星輪與齒圈嚙合剛度敏感度

4.2.1 可調諧系統(tǒng)

使用4.1.1節(jié)中類似的方法，可以得到各振動模態(tài)下固有頻率敏感度的計算公式，這里只給出耦合振動模態(tài)下的計算公式：

4.2.2 不可調諧系統(tǒng)

特征值敏感度的計算分析方法與4.1.2節(jié)類似，這里不再給出具體的計算公式。

4.3 星形輪系嚙合剛度敏感度

星形輪系固有頻率對嚙合剛度的敏感度計算，類似于行星輪系，這里不再詳述。

系統(tǒng)固有頻率隨星形輪系太陽輪與星輪嚙合剛度的變化如圖9所示，從圖中可以看出的變化對耦合振動模態(tài)固有頻率的影響最大，對行星輪系沒有影響。引入擾動后的變化只對耦合振動模態(tài)的固有頻率有影響，但影響明顯變小（圖10）。引入參數后，系統(tǒng)無星形輪系振動模態(tài)的變化只對耦合振動模態(tài)的固有頻率有影響，但影響很小（圖11）。

5 結 論

（1）利用兩級人字齒行星傳動的振動模態(tài)特性，對敏感度的計算公式進行了簡化，并建立了敏感度與模態(tài)應變能的關系；

（2）通過應變能的變化反映出了固有頻率的變化趨勢，得到了各振動模態(tài)中固有頻率隨系統(tǒng)各嚙合剛度的變化規(guī)律，從而為系統(tǒng)振動的減小和結構的優(yōu)化提供了重要的參考數據。

[1]Botman M.Epicyclic gear vibrations[J].ASME Journal of Engineering for Industry,1976,96:811-815.

[2]Cunliffe F,Smith J D,Welbourn D B.Dynamic tooth loads in epicyclic gears[J].ASME Journal of Engineering for Industry,1974,94:578-584.

[3]Kahraman A.Natural modes of planetary gear trains[J].Journal of Sound and Vibration,1994,173:125-130.

[4]Saada A,Velex P.An extended model for the analysis of the dynamic behavior of planetary trains[J].ASME Journal of Mechanical Design,1995,117:241-247.

[5]Lin J,Parker R G.Sensitivity of planetary gear natural frequencies and vibration modes to model parameters[J].Journal of Sound and Vibration,1999,228:109-128.