趙永強,李瑰賢 ,常 山,張 祥
(1哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院,哈爾濱 150001;2中船重工集團第703研究所,哈爾濱 150036)
行星齒輪傳動系統(tǒng)應用非常廣泛,它的動力學分析對減振降噪具有重要的指導意義。固有頻率對系統(tǒng)參數的敏感度能夠為系統(tǒng)響應的降低、結構設計的優(yōu)化提供重要的依據。選擇調節(jié)好系統(tǒng)參數可以平衡各設計目標。
有些文獻已經對單級行星齒輪傳動系統(tǒng)的固有頻率參數敏感度進行了研究,Botman[1]和Cunliffe[2]研究了行星輪支撐剛度變化對系統(tǒng)固有頻率的影響,Kahraman[3]使用純扭轉模型研究了嚙合與支撐剛度對系統(tǒng)固有頻率的影響,Saada和Velex[4]研究了自由振動齒圈支撐剛度對系統(tǒng)固有頻率的影響,Lin和Parker[5]系統(tǒng)地研究了嚙合與支撐剛度、齒輪質量與轉動慣量、行星架轉速等參數對系統(tǒng)固有頻率的影響。
本文對大型艦船機械裝置中常用的兩級人字齒行星齒輪系統(tǒng)進行了固有頻率敏感度的分析,文中主要對嚙合剛度的敏感度進行了系統(tǒng)的研究,得出了各振動模態(tài)中固有頻率隨參數變化的情況。
本文使用自己建立的模型,建模時采用集中參數法。齒輪均為人字齒輪,中心輪浮動,不考慮齒間側隙的影響。整個系統(tǒng)由行星輪系和行星架固定的星形輪系相互聯(lián)接而成。
由于采用人字齒的結構型式,所以只需考慮三個方向的自由度。系統(tǒng)共有3×(M+2+N+3)個自由度(M、N分別為星輪和行星輪個數),系統(tǒng)的自由振動的動力學方程為
式中,M、G、C、kb、km、kω分別為系統(tǒng)的質量矩陣、陀螺矩陣、阻尼矩陣、支撐剛度矩陣、嚙合剛度矩陣和向心剛度矩陣。
特征值敏感度分析主要是計算固有頻率和振動模態(tài)對系統(tǒng)參數的導數,這里只研究對動態(tài)特性影響較大的系統(tǒng)參數,如嚙合剛度??疾煜率降奶卣髦祮栴}
本文使用模態(tài)法來計算系統(tǒng)的特征值的導數,再根據固有頻率與特征值導數之間的關系,就可以計算出各系統(tǒng)參數對固有頻率的敏感度。
特征值為單根時的敏感度為
特征值為重根時的敏感度為
上述公式中各量的具體描述詳見文獻[5]。
所研究的嚙合剛度包括行星輪系與星形輪系中各對互相嚙合的齒輪,其中某些剛度的敏感度與其相應的模態(tài)應變能對應,接下來的分析可以驗證這一現象。
4.1.1 可調諧系統(tǒng)
對于耦合輪系振動模態(tài),系統(tǒng)的固有頻率均為單根,將公式(7)代入(3)、(4)式,并利用下式
可以得到單根情況下特征值敏感度的計算公式:
行星輪系統(tǒng)振動模態(tài)中,特征值為重根,只考慮 λ1=λ2的情況,λ1′、λ2′為(5)式中矩陣 D 的特征值,將(7)式代入(5)式,得
在單級行星齒輪傳動系統(tǒng)的平移(直齒)或徑向平移—扭擺(斜齒)振動模態(tài)中但在本文研究的兩級人字齒行星傳動系統(tǒng)中,此種情況不成立。而在N>3時才出現的、重數為N-3的固有頻率振動模態(tài)下,有λ1,2′在 N=4 和 N=5 的情況下才可以寫成(9)式的形式;N>5 時矩陣D的特征值很難求得封閉解,需采用數值方法。
對于星形輪系振動模態(tài),當星輪個數M≤3時,特征值為單根,M>3時出現重數為M-3的特征值,但無論對于單根特征值還是重根特征值,均有(行星輪系不振動),所以,固有頻率對的敏感度均為零。
本文以大功率艦船用兩級人字齒行星齒輪傳動系統(tǒng)為例(見表1),研究其固有頻率對的敏感度。
表1 系統(tǒng)參數表Tab.1 Model parameters of two stage double tooth planetary gear trains
4.1.2 不可調諧系統(tǒng)
在實際的行星齒輪傳動中,由于行星輪的加工裝配誤差、與太陽輪接觸齒數的變化等因素的影響,使得各行星輪與太陽輪間的嚙合剛度產生差異,從而使整個系統(tǒng)變得不可調諧。所以,有必要研究非調諧情況下,行星輪與太陽輪嚙合剛度變化對系統(tǒng)模態(tài)特性的影響。假定只有第一個行星輪與太陽輪嚙合剛度發(fā)生變化,系統(tǒng)質量矩陣和剛度矩陣對的導數為:
對于耦合輪系振動模態(tài),固有頻率均為單根,利用(3)、(4)式得特征值敏感度計算公式如下:
對于行星輪系振動模態(tài),系統(tǒng)固有頻率為重根,先考慮λ1=λ2的情況,選取任意的正交模態(tài)振型為Γ=[γ1,γ2],符號表示在模態(tài)γi下太陽輪與第一個行星輪嚙合的彈簧變形量,這一定義類似于在模態(tài)φi下的太陽輪與行星輪嚙合的彈簧變形量(5)式中矩陣 D 及其特征值 (λ1′、λ2′)為
對于星形輪系振動模態(tài),第二級行星輪系無振動,所以系統(tǒng)固有頻率對的敏感度均為零。
4.2.1 可調諧系統(tǒng)
使用4.1.1節(jié)中類似的方法,可以得到各振動模態(tài)下固有頻率敏感度的計算公式,這里只給出耦合振動模態(tài)下的計算公式:
4.2.2 不可調諧系統(tǒng)
特征值敏感度的計算分析方法與4.1.2節(jié)類似,這里不再給出具體的計算公式。
星形輪系固有頻率對嚙合剛度的敏感度計算,類似于行星輪系,這里不再詳述。
系統(tǒng)固有頻率隨星形輪系太陽輪與星輪嚙合剛度的變化如圖9所示,從圖中可以看出的變化對耦合振動模態(tài)固有頻率的影響最大,對行星輪系沒有影響。引入擾動后的變化只對耦合振動模態(tài)的固有頻率有影響,但影響明顯變小(圖10)。引入參數后,系統(tǒng)無星形輪系振動模態(tài)的變化只對耦合振動模態(tài)的固有頻率有影響,但影響很小(圖11)。
(1)利用兩級人字齒行星傳動的振動模態(tài)特性,對敏感度的計算公式進行了簡化,并建立了敏感度與模態(tài)應變能的關系;
(2)通過應變能的變化反映出了固有頻率的變化趨勢,得到了各振動模態(tài)中固有頻率隨系統(tǒng)各嚙合剛度的變化規(guī)律,從而為系統(tǒng)振動的減小和結構的優(yōu)化提供了重要的參考數據。
[1]Botman M.Epicyclic gear vibrations[J].ASME Journal of Engineering for Industry,1976,96:811-815.
[2]Cunliffe F,Smith J D,Welbourn D B.Dynamic tooth loads in epicyclic gears[J].ASME Journal of Engineering for Industry,1974,94:578-584.
[3]Kahraman A.Natural modes of planetary gear trains[J].Journal of Sound and Vibration,1994,173:125-130.
[4]Saada A,Velex P.An extended model for the analysis of the dynamic behavior of planetary trains[J].ASME Journal of Mechanical Design,1995,117:241-247.
[5]Lin J,Parker R G.Sensitivity of planetary gear natural frequencies and vibration modes to model parameters[J].Journal of Sound and Vibration,1999,228:109-128.