金全洲，李天勻，趙 耀，劉敬喜

（華中科技大學(xué)交通學(xué)院，武漢 430074）

1 引 言

圓柱殼是許多工業(yè)和國(guó)防領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的結(jié)構(gòu)形式，受到激勵(lì)時(shí)會(huì)產(chǎn)生結(jié)構(gòu)振動(dòng)并輻射噪聲。結(jié)構(gòu)振動(dòng)功率流是研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)，進(jìn)行減振降噪的有效方法。對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)功率流的主動(dòng)控制方法進(jìn)行研究分析，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

壓電驅(qū)動(dòng)器在汽車、船舶、飛機(jī)和土木工程結(jié)構(gòu)的減振、降噪和超精密微位移控制等領(lǐng)域展現(xiàn)出良好的應(yīng)用前景。其頻響范圍寬、響應(yīng)速度快、承載能力高、能耗底、組合靈活，是一種比較理想的智能驅(qū)動(dòng)材料，受到國(guó)內(nèi)外研究者的普遍重視。Wang和Vaicaitis[1]對(duì)粘貼壓電片的雙層圓柱殼振動(dòng)及聲輻射進(jìn)行了研究，采用速度反饋及聲壓反饋兩種方式對(duì)殼體振動(dòng)進(jìn)行控制，控制目標(biāo)函數(shù)為殼體位移。Jha和Inman[2]對(duì)環(huán)形殼表面粘貼壓電片的模型進(jìn)行了詳細(xì)的論述，并給出了兩種不同的壓電片粘貼形式（單面壓電片粘貼及雙壓電片對(duì)貼）下殼體振動(dòng)方程，建模過(guò)程考慮了壓電片質(zhì)量及剛度影響，計(jì)算得出了模態(tài)力和模態(tài)感應(yīng)電壓。Wang和Liew[3]用波傳播的方法研究了附著壓電層圓柱殼的振動(dòng)情況，得出殼體散射特性曲線并討論了壓電層對(duì)散射特性的影響。Sun和Tong[4]討論了任意殼體附著分布式壓電激振及感應(yīng)片時(shí)的殼體振動(dòng)情況，使用準(zhǔn)模態(tài)感應(yīng)器估測(cè)殼體模態(tài)坐標(biāo)，利用使估測(cè)誤差最小的原則得到壓電感應(yīng)片的最佳尺寸及粘貼位置。同樣使用準(zhǔn)模態(tài)激振器，將估測(cè)得到的模態(tài)坐標(biāo)經(jīng)補(bǔ)償后作為反饋信號(hào)進(jìn)行控制。Lam和Ng[5]討論了復(fù)合壓電感應(yīng)層及激振層平板的主動(dòng)控制方法，以感應(yīng)層的感應(yīng)電壓作為反饋信號(hào)對(duì)平板中點(diǎn)的位移進(jìn)行主動(dòng)控制。

在圓柱殼結(jié)構(gòu)的功率流研究及其控制方面，張小銘[6]分別研究了無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼、周期加肋殼、周期粘彈性復(fù)合殼的輸入與傳播功率流。徐慕冰[7]研究了充液圓柱殼功率流的輸入和傳播特性。Pan等[8]分別以殼體徑向位移和結(jié)構(gòu)在傳感器處的傳播功率流為控制目標(biāo)求取最優(yōu)控制力。朱宏平[9]提出了三種基于功率流的結(jié)構(gòu)控制策略，并在簡(jiǎn)化的單自由度建筑結(jié)構(gòu)模型上加以運(yùn)用。Brennan[10]對(duì)于梁中的彎曲振動(dòng)提出了不同的控制策略，其算法相對(duì)較為簡(jiǎn)單，利用導(dǎo)納函數(shù)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)為哈密爾頓二次型并求取最優(yōu)控制力。Brévart等[11]研究了充液圓柱殼的頻散特性，取其徑向模態(tài)響應(yīng)的平方作為控制目標(biāo)函數(shù)，同樣使用文獻(xiàn)[10]中的方法進(jìn)行傳播波的全局最優(yōu)控制，并通過(guò)能量傳輸損失對(duì)控制效果進(jìn)行了描述。

本文以附著壓電片的無(wú)限長(zhǎng)真空光殼為結(jié)構(gòu)模型，對(duì)殼體輸入功率流主動(dòng)控制方法進(jìn)行了研究。以輸入殼體的總功率流為控制目標(biāo)函數(shù)，利用位移導(dǎo)納函數(shù)將其表示成外加電壓的二次型函數(shù)形式求解最優(yōu)控制電壓。討論壓電片與原始激勵(lì)的軸向間距及周向粘貼位置的變化對(duì)殼體結(jié)構(gòu)振動(dòng)功率流主動(dòng)控制效果的影響。

2 壓電片激勵(lì)下的殼體響應(yīng)

以圖1所示粘貼壓電片的無(wú)限長(zhǎng)殼體為研究對(duì)象，殼體壁厚為h，中面半徑R，材料密度ρ，泊松比μ，彈性模量E，殼體軸向、周向和徑向分別用x，θ，r表示，u，v，w分別表示殼體中面軸向、周向和徑向位移。壓電片軸向長(zhǎng)度L，周向?qū)挾?φR。本文壓電片長(zhǎng)寬尺寸及厚度相對(duì)圓柱殼半徑假設(shè)為小量。對(duì)于多片壓電片鋪設(shè)情況，可以利用本文所述方法計(jì)算單片小面積壓電片作用下的響應(yīng)，并通過(guò)疊加原理得出最終的等效結(jié)果。設(shè)壓電片粘貼中心處的殼體坐標(biāo)為：x=0，θ=0。

壓電片施加電壓后將產(chǎn)生如圖1所示等效軸向和周向面內(nèi)分布力qs、qθ及力矩ms、mθ，可用單位階躍函數(shù)表示為[4]：

其中 qs0、qθ0、ms0、mθ0為壓電片產(chǎn)生的激勵(lì)力幅值，s=x/R 為無(wú)量綱軸向坐標(biāo)，ω 為圓頻率，Ls=L/（2R）為壓電片軸向的無(wú)量綱半長(zhǎng)，n為周向波數(shù)，kn為周向模態(tài)n下的軸向波數(shù)。H（·）為單位階躍函數(shù)，可表示成delta函數(shù)的積分：

根據(jù)殼體單元的平衡方程（附錄A）并將內(nèi)力、內(nèi)矩用中面變形分量表示[12]，可得到殼體表面粘貼壓電片時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程：

將（1）、（2）、（4）式代入（3）式得：

式中［I3×3］為［L3×3］的逆矩陣，qs0、qθ0、ms0、mθ0同（1）所述。

將（6）式所得波數(shù)域幅值解代入（4）式，省去時(shí)間項(xiàng)eiωt，則可得到某一周向模態(tài)n下，軸向、周向和徑向的響應(yīng)幅值 Un、Vn、Wn：

（7）式所示結(jié)果為壓電片粘貼在周向位置θ=0時(shí)的情況，當(dāng)壓電片粘貼在周向位置θ=θpzt時(shí)，只需將（7）式中的 θ替換成（θ-θpzt）即可。

設(shè)在壓電片厚度方向上施加電壓Ve，依照文獻(xiàn)[2]，則有：

將（8）式代入（7）式即得到當(dāng)外加電壓為Ve時(shí)，圖1所示殼體模型n階周向模態(tài)響應(yīng)幅值。

3 殼體輸入功率流主動(dòng)控制算法

設(shè)殼體所受的原始激勵(lì)載荷為周向余弦分布簡(jiǎn)諧載荷F，作用在x=xp處：

Fst為原始激勵(lì)力幅值。

當(dāng)殼體結(jié)構(gòu)受到（9）式形式的外力激勵(lì)時(shí)，其任意位置的響應(yīng)幅值可用與上節(jié)類似的方法得到，具體求解方法及響應(yīng)表達(dá)式可參閱文獻(xiàn)[13]。

下面考慮外載荷輸入殼體的功率流。由參考文獻(xiàn)[6]可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)承受簡(jiǎn)諧力Feiωt作用，而在該點(diǎn)產(chǎn)生速度響應(yīng)Veiωt時(shí)，可按時(shí)間平均求得該點(diǎn)的輸入功率流：

對(duì)壓電片施加電壓后，將產(chǎn)生圖1所示的面內(nèi)力及力矩qs、qθ、ms、mθ。由板殼理論可知，與上述四個(gè)分布力、力矩對(duì)應(yīng)的位移及轉(zhuǎn)角變化率為：

當(dāng)激勵(lì)力（周向線力）與控制力（面力）同時(shí)作用于殼體時(shí)，各力的輸入功率流為相應(yīng)位置輸入功率流的線積分和面積分：

其中，Pst為激勵(lì)力輸入功率流，Pqs、Pqθ、Pms、Pmθ分別為 qs、qθ、ms、mθ的輸入功率流。 面積分區(qū)域 S 為壓電片所覆蓋的殼體表面。

為實(shí)現(xiàn)基于輸入功率流的能量控制，將控制目標(biāo)函數(shù)選取為原始激勵(lì)力與壓電片輸入殼體的總功率流Pt：

將（10）、（13）式代入（14）式，可以將（14）式表示成為如下形式：

式中App、Aps、Ass由前述導(dǎo)納矩陣及矩陣B中元素構(gòu)成，雖然形式較為復(fù)雜，但當(dāng)殼體及壓電片參數(shù)不變、壓電片與激勵(lì)力相對(duì)位置確定的情況下為定值，具體表達(dá)式在附錄C中給出。至此，便將Pt表示成為外加電壓Ve的二次型函數(shù)形式。

以Pt為目標(biāo)函數(shù)，利用二次型函數(shù)極值理論，則可得到當(dāng)輸入結(jié)構(gòu)總功率流取極值時(shí)所需施加的最優(yōu)控制電壓表達(dá)式：

由于三角函數(shù)的正交性，壓電片激勵(lì)產(chǎn)生的第n階模態(tài)將對(duì)原始激勵(lì)力輸入功率流產(chǎn)生影響，其它模態(tài)振動(dòng)在原始激勵(lì)作用處不輸入功率流，而通過(guò)大量的數(shù)值計(jì)算表明，在本算法下壓電片粘貼處的輸入功率流相對(duì)原始激勵(lì)處為小量，故下文重點(diǎn)考慮圖1所示模型在某一周向模態(tài)n下輸入功率流的變化情況。

利用（16）式便可根據(jù)原始激勵(lì)力的大小設(shè)計(jì)一個(gè)開環(huán)前饋控制系統(tǒng)，通過(guò)改變施加在壓電片上的電壓對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)的輸入功率流進(jìn)行有效控制。

4 數(shù)值計(jì)算與討論

參數(shù)選取：殼體彈性模量E=2.0×1011N/m2，泊松比μ=0.3，殼體密度ρ=7800kg/m3，殼體半徑R=1m，周向模態(tài)n=1，殼厚比h/R=0.05；壓電片彈性模量Ep=0.63×1011N/m2，泊松比μp=0.3，壓電片密度ρp=7600kg/m3，壓電片厚度比 hp/R=0.0004，壓電應(yīng)變常數(shù) d31=2.74×10-10m/V,Ls=0.02，φ＝π/96。

為便于比較，將圓頻率ω和總的輸入功率流Pt分別無(wú)量綱化為Ω，Pt′：

4.1 壓電片與原始激勵(lì)力軸向間距對(duì)控制效果的影響

圖2以無(wú)量綱頻率為橫坐標(biāo)，輸入殼體總的無(wú)量綱功率流為縱坐標(biāo)，給出了周向模態(tài) n=1，壓電片與原始激勵(lì)力軸向間距不同時(shí)，控制效果隨頻率變化的曲線。圖中壓電片與原始激勵(lì)力軸向間距用無(wú)量綱量xp′=xp/R表示（以下稱其為軸向控制距離），周向粘貼位置θpzt=0。通過(guò)計(jì)算分析發(fā)現(xiàn)，原始激勵(lì)力與壓電片軸向距離越近，總的輸入功率流在較寬頻段上就相對(duì)越小。隨著軸向控制距離的增加，控制效果會(huì)產(chǎn)生波動(dòng)現(xiàn)象。圖中所示無(wú)量綱頻率Ω=0，Ω=1，Ω=1.5附近出現(xiàn)的波動(dòng)現(xiàn)象，可由圓柱殼輸入功率流特性解釋[6]：Ω=1是殼體環(huán)頻率，波動(dòng)頻率大于此頻率時(shí)，由于殼體曲率而產(chǎn)生的鋼化效應(yīng)凸顯，未加控制時(shí)在此頻率附近會(huì)存在輸入功率流峰值，施加控制后的輸入功率流有所減小，但相對(duì)其它頻率仍然較大；對(duì)每一周向模態(tài)n，都存在一截至頻率，在這個(gè)頻率以下，外載荷不向殼體輸入功率流，而剛剛超過(guò)截至頻率時(shí)，殼體彎曲振動(dòng)占主要成分，輸入功率流會(huì)在截至頻率附近取得一個(gè)峰值，當(dāng)n=1時(shí)，截至頻率趨近于零；Ω=1.5對(duì)應(yīng)殼環(huán)的伸縮振動(dòng)占主要成分，此頻率附近也會(huì)出現(xiàn)輸入功率流的一個(gè)波動(dòng)。對(duì)于Ω=0附近的波動(dòng)，本文所用方法控制效果相對(duì)較好，施控后輸入功率流很小，說(shuō)明表面粘貼壓電片對(duì)殼體的彎曲振動(dòng)抑制作用相對(duì)較強(qiáng)。隨著控制距離的增大，另外兩頻率處的波動(dòng)現(xiàn)象越為明顯，這說(shuō)明當(dāng)軸向控制距離較遠(yuǎn)時(shí)，控制效果在一些頻段上不會(huì)很好。由此可見，對(duì)于殼體輸入功率流的前饋?zhàn)顑?yōu)控制，軸向控制距離會(huì)對(duì)控制效果產(chǎn)生極大的影響，在實(shí)際工程應(yīng)用中應(yīng)慎重選擇。

為進(jìn)一步深入了解軸向控制距離對(duì)控制效果的影響，圖3以xp′為橫坐標(biāo)，給出了某些頻率下控制后總的輸入功率流隨軸向控制距離變化的曲線。

通過(guò)計(jì)算分析發(fā)現(xiàn)，施控后輸入殼體的總功率流呈周期性變化。當(dāng)Ω=0.3時(shí)，控制效果曲線的波動(dòng)幅值小、周期長(zhǎng)，且此頻率下輸入功率流相對(duì)其它頻率較?。ㄒ妶D3）。隨著無(wú)量綱頻率Ω的增大，控制效果曲線的周期不斷減小，同時(shí)，波動(dòng)幅值也不斷增大。當(dāng)Ω=1.2時(shí)，曲線波動(dòng)已非常劇烈。由此可知，隨著軸向控制距離的增加，某些頻率下，尤其是高頻下的總輸入功率流對(duì)壓電片與原始激勵(lì)力的軸向間距將會(huì)變得極端靈敏。對(duì)于其它周向模態(tài)下的輸入功率流主動(dòng)控制，經(jīng)計(jì)算分析證明，軸向控制距離與控制效果間亦有類似結(jié)論。

4.2 壓電片周向粘貼位置對(duì)控制效果的影響

4.1節(jié)討論了壓電片與原始激勵(lì)力的軸向間距對(duì)控制效果的影響，相關(guān)結(jié)論都是在壓電片的周向位置θpzt=0的情況下得出的。在某一周向模態(tài)下，殼體不同方向的響應(yīng)沿周向是以簡(jiǎn)諧函數(shù)的形式波動(dòng)分布的。不難想象，壓電片周向的粘貼位置必然會(huì)對(duì)控制效果帶來(lái)一定影響。

為具體討論周向位置對(duì)控制效果的影響，圖4所示為周向模態(tài)n=1，相同的軸向控制距離（xp′=0.05）、不同周向粘貼位置時(shí)，輸入殼體總的無(wú)量綱功率流隨頻率變化的曲線。從圖中可以看出，壓電片的周向粘貼位置對(duì)控制效果的影響比較明顯。通過(guò)計(jì)算分析得出，周向粘貼位置變化時(shí)，輸入殼體總功率流曲線只是大小不同，而線形基本相似（如圖4），這有別于軸向控制距離對(duì)控制效果的影響。為進(jìn)一步了解周向粘貼位置對(duì)控制效果影響，需討論控制效果隨周向粘貼位置的變化情況。

圖5以壓電片的周向粘貼位置為橫坐標(biāo)，輸入殼體的總功率流為縱坐標(biāo)，給出了某兩個(gè)頻率、兩個(gè)周向模態(tài)下、相同軸向控制距離時(shí)，控制效果隨周向粘貼位置的變化曲線。圖中顯示的計(jì)算結(jié)果表明，輸入殼體總功率流隨壓電片的周向粘貼位置是以弦函數(shù)的形式周期波動(dòng)變化的。在不同頻率，相同周向模態(tài)下，曲線只有波動(dòng)幅值的區(qū)別，沒(méi)有波動(dòng)周期的變化。這說(shuō)明周向粘貼位置對(duì)頻率的敏感程度相同，與圖4中描述的輸入總功率流特性（不同周向位置時(shí)，pt′隨頻率變化曲線的線形相似）相吻合。相同頻率不同周向模態(tài)下的輸入功率流曲線的振蕩周期不同，這與殼體周向模態(tài)的振型有關(guān)。不同周向模態(tài)下，在周向振型的駐點(diǎn)位置控制效果最差（圖5中曲線峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的θpzt）。對(duì)于其它周向模態(tài)下的輸入功率流主動(dòng)控制，經(jīng)計(jì)算分析證明，壓電片周向粘貼位置與控制效果間亦有類似結(jié)論。實(shí)際工程運(yùn)用時(shí)，可根據(jù)需要選擇適當(dāng)?shù)奈恢谜迟N壓電片對(duì)輸入結(jié)構(gòu)的總功率流進(jìn)行主動(dòng)控制。

5 結(jié) 論

本文對(duì)基于壓電片作用的圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)功率流主動(dòng)控制進(jìn)行了研究，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)（輸入殼體的總功率流）為二次型函數(shù)的形式，求解最優(yōu)控制電壓。分析討論了壓電片與原始激勵(lì)力的軸向間距及周向粘貼位置對(duì)控制效果的影響，對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用有一定的指導(dǎo)意義。

通過(guò)數(shù)值計(jì)算和分析比較可得出以下結(jié)論：

（1）輸入殼體的總功率流隨軸向控制距離是周期變化的，且不同頻率下控制效果曲線的周期、幅值都不相同。不同頻率對(duì)軸向控制距離的敏感程度不同。

（2）軸向控制距離較?。ㄈ绠?dāng)n=1時(shí)，xp′＜0.05）進(jìn)行主動(dòng)控制時(shí)，能在較寬的頻段取得較好的控制效果。隨著控制距離的增加，控制效果整體下降且出現(xiàn)波動(dòng)現(xiàn)象。

（3）壓電片周向粘貼位置變化時(shí)，輸入殼體總功率流隨θpzt周期振蕩變化，振蕩周期與相應(yīng)周向模態(tài)下的周向振型有關(guān)。不同頻率下控制效果曲線的幅值不同但周期相同。

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附錄A 殼體單元平衡方程

式中:Ns、Nθ、Nθs、Nsθ、Qs、Qθ以及 Ms、Mθ、Mθs、Msθ為內(nèi)力和內(nèi)矩，其它符號(hào)同文中所述。 利用（A.4）、（A.5）寫出Qs、Qθ的表達(dá)式并代入（A.2）、（A.3），用中面變形分量表示內(nèi)力和內(nèi)矩，可得到表面粘貼壓電片時(shí)的殼體運(yùn)動(dòng)方程。

附錄B導(dǎo)納矩陣元素

本附錄給出（10）式中各導(dǎo)納矩陣元素如下：

附錄C 目標(biāo)函數(shù)系數(shù)