陳鵬宇

灰色預(yù)測(cè)模型是灰色理論的重要組成部分，而GM(1,1)模型是灰色預(yù)測(cè)模型中最基本的預(yù)測(cè)模型，已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3].傳統(tǒng)GM(1,1)模型以正向累加生成為基礎(chǔ)，相對(duì)于正向累加生成，一種反向累加生成定義被提出.灰色GOM(1,1)模型正是基于反向累加生成得出的一種灰色預(yù)測(cè)模型[4-5].楊知等[6]分析反向累加生成的特點(diǎn)，并從背景值的幾何意義出發(fā)，對(duì)GOM(1,1)模型進(jìn)行了改進(jìn).文獻(xiàn)[6]中雖然認(rèn)識(shí)到了GOM(1,1)模型的缺陷，但卻忽略了改進(jìn)背景值的建模適應(yīng)性問(wèn)題，該文仍從文獻(xiàn)[6]中提到的背景值幾何意義出發(fā)，分析文獻(xiàn)[6]中改進(jìn)背景值形式的不足，建立新的具有更強(qiáng)建模適應(yīng)性的背景值形式.

1 反向累加生成及GOM(1,1)模型

其累減還原序列為

GOM(1,1)模型白化方程為

(1)

其中a為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量，是微分方程的參數(shù).

灰微分方程為

-x(0)(k-1)+az(1)(k)=b，k=2，3，…，n.

(2)

文獻(xiàn)[6]中應(yīng)用齊次指數(shù)序列在區(qū)間[k-1,k]上的積分作為背景值，推導(dǎo)出了GOM(1,1)模型改進(jìn)的背景值形式:

(3)

GOM(1,1)白化型響應(yīng)式為

(4)

參數(shù)計(jì)算[ab]T=(BTB)-1BTY,其中

2 GOM(1,1)模型的改進(jìn)

下面以GM(1,1)模型缺陷分析理論中最常用的背景值幾何意義分析來(lái)說(shuō)明GOM(1,1)模型的缺陷并對(duì)其進(jìn)行改進(jìn).

即

(5)

文獻(xiàn)[6]中以齊次指數(shù)序列在區(qū)間[k-1,k]上的積分作為背景值，推導(dǎo)出了新的背景值形式.該改進(jìn)背景值形式存在兩個(gè)問(wèn)題：首先，其是基于累加序列為齊次指數(shù)序列推導(dǎo)出的，而文獻(xiàn)[7]中已經(jīng)指出當(dāng)原始數(shù)據(jù)為齊次指數(shù)序列時(shí)，其一次累加序列為非齊次指數(shù)序列，根據(jù)文獻(xiàn)[7]的思想，則以非齊次指數(shù)序列在區(qū)間[k-1,k]上積分得到的背景值形式更能符合實(shí)際發(fā)展，從文獻(xiàn)[6]中的齊次指數(shù)序列擬合實(shí)例也可以看出，其并不能完全擬合齊次指數(shù)序列.其次，即使是背景值形式以非齊次指數(shù)序列積分得到，雖然能完全擬合齊次指數(shù)序列，但其并不一定能適應(yīng)于近似指數(shù)序列建模，這個(gè)問(wèn)題將在文后指出.

下面建立一種既能滿(mǎn)足白指數(shù)律，又能適應(yīng)于近似指數(shù)序列建模的背景值形式，對(duì)于利用幾何思想改進(jìn)的背景值形式，可以利用文獻(xiàn)[8]中的，而不必進(jìn)行復(fù)雜的積分計(jì)算，文獻(xiàn)[8]中的背景值形式為

文獻(xiàn)[8]在推導(dǎo)出該背景值構(gòu)造形式時(shí)是基于兩點(diǎn)間的面積不同得出的，而當(dāng)原始數(shù)據(jù)為近似齊次指數(shù)序列時(shí)，每?jī)牲c(diǎn)間滿(mǎn)足面積相等的n或p值當(dāng)然并不一樣，這便是前文指出的近似指數(shù)序列擬合時(shí)的問(wèn)題，顯然以近似指數(shù)序列建模時(shí)，利用積分思想的所有推導(dǎo)全部不會(huì)成立，故以齊次指數(shù)序列或者非齊次指數(shù)序列推導(dǎo)出的背景值形式都不適合于近似指數(shù)序列建模.因此該文建立了變權(quán)背景值構(gòu)造形式，即

只要求出每?jī)牲c(diǎn)間滿(mǎn)足面積相等的pk值即可以解決近似齊次指數(shù)序列下的背景值缺陷問(wèn)題.

至于權(quán)值pk求解問(wèn)題，在此采用具有全局尋優(yōu)能力的非線性搜索算法-模式搜索法.具體操作可利用Matlab編程及其模式搜索法工具箱，以pk=0.5為初始值，原始數(shù)據(jù)殘差平方和最小的目標(biāo)下搜索最佳背景值權(quán)值.

3 實(shí)例比較

仍然采用文獻(xiàn)[6]中的實(shí)例建立本文的改進(jìn)模型，并與文獻(xiàn)[6]中改進(jìn)模型以及普通GOM(1,1)模型(背景值為相鄰累加值的均值)進(jìn)行比較.

例12000-2004年全國(guó)造林總面積中所造經(jīng)濟(jì)林面積的原始序列，見(jiàn)表1.

表1 原始數(shù)據(jù)

以上述數(shù)據(jù)建立普通GOM(1,1)模型、改進(jìn)GOM(1,1)模型以及文獻(xiàn)[6]中GOM(1,1)模型，并求出相應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)式.

各模型預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表2.

表2 不同模型預(yù)測(cè)結(jié)果

表2的預(yù)測(cè)結(jié)果已經(jīng)明顯證明了本文中的論斷，文獻(xiàn)[6]中改進(jìn)的背景值形式并不適合于近似指數(shù)序列建模，其預(yù)測(cè)精度甚至低于普通的GOM(1,1)模型，而本文改進(jìn)背景值形式顯然更適合于近似指數(shù)

表3 原始數(shù)據(jù)

序列建模，其將普通GOM(1,1)模型的模擬平均相對(duì)誤差由2.28%減小到了1.86%，提高了預(yù)測(cè)精度.

例2對(duì)于指數(shù)序列x(0)(k+1)=10 000e-2k,k=0,1,2,3,4.原始序列值見(jiàn)表3.

以上述序列建立文獻(xiàn)[6]中改進(jìn)GOM(1,1)模型，并求出相應(yīng)的時(shí)間相應(yīng)式：

建立本文改進(jìn)GOM(1,1)模型，此時(shí)背景值權(quán)值為定值，根據(jù)

表4 不同模型預(yù)測(cè)結(jié)果

從表4的預(yù)測(cè)結(jié)果可以看出，文獻(xiàn)[6]中GOM(1,1)模型的背景值改進(jìn)形式不僅無(wú)法適應(yīng)于近似指數(shù)序列建模，甚至連齊次指數(shù)序列也無(wú)法完全擬合.對(duì)于本文的改進(jìn)GOM(1,1)模型，其預(yù)測(cè)誤差實(shí)際上是由于計(jì)算精度的影響造成的，如果忽略精度影響，其理論上是可以完全擬合齊次指數(shù)序列的.

4 結(jié) 語(yǔ)

文章分析GOM(1,1)模型背景值構(gòu)造改進(jìn)形式的建模適應(yīng)性問(wèn)題，利用一種已存的背景值構(gòu)造形式，建立了齊次指數(shù)序列下的定權(quán)背景值構(gòu)造形式和近似齊次指數(shù)序列下的變權(quán)背景值構(gòu)造形式，實(shí)例應(yīng)用結(jié)果顯示新背景值形式下的GOM(1,1)模型不僅可以完全擬合齊次指數(shù)序列，也適合于近似齊次指數(shù)序列建模，提高了GOM(1,1)模型的應(yīng)用價(jià)值.

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