車 宇,李 康

0 引 言

時空坐標非對易的思想由來已久，早在60多年前就有人提出用時空坐標非對易的概念[1-2]來解決問題.在數(shù)學上，有關非對易的討論很多，但是在相當長的一段時間內，非對易幾何并未在物理上受到重視.人們在研究物理問題時，時空坐標一般被認為是對易的.近幾年來，隨著量子霍爾效應以及弦理論的研究，越來越多的非對易背景上的物理學問題得到了人們的廣泛關注.對于超弦理論的研究發(fā)現(xiàn)，在弦尺度下出現(xiàn)空間的非對易效應[3].自從弦理論與非對易理論之間的關系被揭示以后，有關非對易空間各種物理問題的研究引起了理論物理學界的廣泛重視,并已取得一些成果[4-6].

Wigner函數(shù)是著名物理學家Wigner為了對熱力學體系做量子修正而引入相空間的一個準概率分布函數(shù)[7].Wigner函數(shù)既是量子相空間理論的基礎，也是實際應用中最主要的工具之一，尤其是對化學物理問題，它確實具有簡單而且物理內涵豐富的特點.而量子諧振子是許多復雜模型的基礎，它的Wigner函數(shù)積分后能寫成簡單的表達形式，可用來討論許多實際問題.該文主要把諧振子模型放在了非對易相空間，在有外加電場的情況下，研究二維帶電諧振子的Wigner函數(shù).

1 電場中二維帶電諧振子的能量本征值和本征函數(shù)

先考慮無外加電場的情況下一個質量為μ，頻率為ω的二維諧振子，其Hamilton量[8]可表示為

(1)

解其在坐標表象下的Schr?dinger方程可得到能量本征值和本征函數(shù)，分別為

(2)

(3)

(4)

上式中勢能項可以寫成

(5)

其中

(6)

(7)

比較式(1)和式(7)，可知在電場中二維諧振子的能量本征值和本征函數(shù)分別為

(8)

(9)

引入坐標平移算符：

(10)

它對波函數(shù)的作用為

Dx(x0)ψ(x)=ψ(x-x0)，

(11)

則電場中二維帶電諧振子的能量本征函數(shù)可表示成

(12)

2 Wigner函數(shù)

Wigner函數(shù)是定義于相空間中的實函數(shù)，具有準概率分布函數(shù)的性質.它是由Weyl對應規(guī)則決定的一種特殊分布函數(shù).關于Wigner函數(shù)的能量本征值方程可由下面的星乘本征值方程[9]給出：

(13)

其中

(14)

(15)

則在二維歐氏空間中它可以寫成

(16)

3 對易空間下二維帶電諧振子在電場中的Wigner函數(shù)

通過上面的計算，可知有外加電場時的二維諧振子的波函數(shù)與無外加電場時的情況僅相差一個坐標平移變換，因此，為方便起見，先計算無外加電場時的情況[11].根據(jù)平移算符的表達式exp(a?)f(x)=f(x+a)，考慮Wigner函數(shù)的星乘本征值方程式(13)，可知

(17)

已知二維諧振子的Hamiltonian(已經選取了μ=1,ω=1)可寫為

(18)

將式(18)分別代入Wigner函數(shù)的星乘本征值方程式(17)，有

根據(jù)上兩式得到

(x1?p1-p1?x1+x2?p2-p2?x2)W=0，

(19)

(20)

(21)

經過簡單計算，式(20)可寫成

(22)

令W(ξ,η)=W(ξ)W(η)，E=E1+E2，由上式可得到

(23)

(24)

(25)

(26)

這樣就得到

(27)

(28)

所以有

(29)

將式(21)代入式(29)，得到對易空間中二維諧振子的Wigner函數(shù)：

(30)

(31)

對于基態(tài)，有

(32)

這是一個相空間中的Gaussian分布函數(shù)，在物理量測量中具有非常重要的意義.

4 非對易相空間下二維帶電諧振子在電場中的Wigner函數(shù)

在量子力學中任意一個力學量都可以通過一個廣義的Bopp變換在非對易相空間中得到定義.已知在非對易相空間中Bopp變換關系[12]為

(33)

(34)

利用Bopp變換，在非對易相空間中，關于Wigner函數(shù)的星乘本征值方程又可寫成如下形式：

(35)

比較式(34)和(35)可知，非對易相空間中的星乘本征值方程與在對易空間下具有相同形式，只是對變量做了一個Bopp變換.因此，非對易相空間下二維帶電諧振子在電場中的Wigner函數(shù)為

(36)

(37)

式(37)就是在非對易相空間下電場中二維帶電諧振子的Wigner函數(shù).當非對易參數(shù)取0時，二維帶電諧振子的Wigner函數(shù)與對易空間形式相同.

5 結 論

Wigner函數(shù)作為最常用的量子相空間分布函數(shù)，不僅是一個有效的計算工具，同時也是強有力的理論分析工具.而有關非對易空間物理模型的討論是現(xiàn)在理論物理學界關注的重點，該文首先通過解Wigner函數(shù)能量本征方程的方法計算出在對易空間中二維帶電諧振子的Wigner函數(shù)，在此基礎上根據(jù)Bopp變換，最后求解出在非對易相空間中二維帶電諧振子的Wigner函數(shù).從結果可以看出，當非對易參數(shù)取0時，二維帶電諧振子的Wigner函數(shù)與對易空間具有相同形式.由于Wigner函數(shù)在現(xiàn)代量子測量中具有重要意義，所以這種非對易空間量子效應可望通過Wigner函數(shù)被測量到.

[1] Snyder H S. Quantized space time[J]. Phys Rev,1947,71:38-41.

[2] Snyder H S. The Electromagnetic field in quantized space time[J]. Phys Rev,1947,72:68-71.

[3] Seiberg N, Witten E. String theory and non-commutative geometry[J/OL]. High Energy Physics-Theory(1999-11-30)[2009-10-12]. http://arxiv.org/abs/hep-th/9908142

[4] Li Kang, Dulat S. The Aharonov-Bohm effect in non-commutative quantum mechanics[J]. Eur Phys J C,2006,46(3):825-828.

[5] Li Kang, Wang Jianhua. The topological AC effect on non-commutative phase space[J]. Eur Phys J C,2007，50(4):1007-1011.

[6] Dulat S, Li Kang. Quantum hall effect in non-commutative quantum mechanics[J]. Eur Phys J C,2009,60(1)：163-168.

[7] Wigner E. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium[J]. Phys Rev,1932,40:749-759.

[8] 曾謹言.量子力學[M].4版.北京：科學出版社，2007：8184.

[9] Li Kang, Wang Jianhua, Dulat S,etal. Wigner functions for Klein-Gordon oscillators in non-commutative space[J]. International Journal of Theoretical Physics,2010,49(1):134-143.

[10] 李前樹,胡旭光.量子相空間中的反應散射理論[M].北京：科學出版社,2000:1-12.

[11] Wang Jianhua, Li Kang, Dulat S. Wigner functions for harmonic oscillator in non-commutative phase space[J/OL]. High Energy Physics-Theory(2009-08-12)[2009-10-12]. http://arxiv.org/abs/0908.1703

[12] Li Kang, Dulat S. The Aharonov-Bohm effect in non-commutative quantum mechanics[J]. Eur Phys J,2006,C46:825-828.