任亞飛，柯熙政

(西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，陜西西安710048)

0 引言

眾所周知，傅里葉分析中的基函數(shù)e±iω是唯一的，而小波變換的基函數(shù)卻不是唯一的，滿足一定條件的函數(shù)均可作為小波基函數(shù)。小波分析方法的一個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)在于小波基的多樣性，不同的小波基往往具有不同的時(shí)頻特性，能夠有效地表示一個(gè)信號(hào)的不同部分或不同特征。信號(hào)和噪聲經(jīng)過小波分解后，各尺度的系數(shù)分布情況會(huì)影響到去噪結(jié)果，而小波基的選取又在一定程度上影響著分解后的小波系數(shù)分布。因而，小波基選取的好壞直接影響到信息去噪的效果。

小波變換本身固有的特性使得它在數(shù)據(jù)處理中有著其他方法難以比擬的優(yōu)勢，小波變換已被越來越多的學(xué)者們應(yīng)用到多傳感器的數(shù)據(jù)融合中。盡管利用小波變換融合效果比較好，但在融合的過程中仍存在2個(gè)問題，即小波基函數(shù)的選擇和最佳小波分解層數(shù)的選取。在融合規(guī)則相對固定的情況下，選擇合適的小波基將是改善數(shù)據(jù)融合效果的有效途徑。通過對小波基時(shí)頻特性的分析比較并結(jié)合數(shù)據(jù)融合的實(shí)例，從數(shù)據(jù)融合結(jié)果的統(tǒng)計(jì)特性出發(fā)，得出了選擇合適小波基的方法。有關(guān)最佳小波基的選取問題，一直是小波分析應(yīng)用中的一個(gè)難題，目前還沒有形成一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)?，F(xiàn)有的小波去噪方法一般都是選用單個(gè)的小波基，很難兼顧實(shí)際信號(hào)中存在的不同類型噪聲。鑒于此，本文提出了一種新的基于多個(gè)小波基的多尺度多傳感器數(shù)據(jù)融合方法。

1 MEMS噪聲描述

1.1 MEMS 噪聲

MEMS信號(hào)具有高穩(wěn)定頻率源的特點(diǎn)，經(jīng)過研究表明其相對頻率偏差量的隨機(jī)起伏，主要包含5種獨(dú)立噪聲的線性組合，這些獨(dú)立的噪聲頻率譜密度可如下表示

式中α=－2，－1，0，1，2;0＜f＜fh;hα為常數(shù)，隨測量設(shè)備的不同而存在差異;fh為測量系統(tǒng)的高端截止頻率;α根據(jù)取值的不同，分別代表5種不同的噪聲:α=－2為頻率隨機(jī)游走噪聲，α=－1為調(diào)頻閃爍噪聲，α=0為調(diào)頻白噪聲，α=1為調(diào)相閃爍噪聲;α=2為調(diào)相白噪聲。在MEMS中這5種噪聲分別表現(xiàn)為量化誤差、角隨機(jī)游走、角速率隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性和速率斜坡。

MEMS陀螺儀的零偏穩(wěn)定性是表征陀螺儀性能的重要參數(shù)，是角速率數(shù)據(jù)中的低頻零偏波動(dòng)，主要體現(xiàn)在f－1噪聲上，該類噪聲屬于“閃爍調(diào)頻噪聲”，其來源主要是MEMS中的電路組件和環(huán)境噪聲，還有其他可能產(chǎn)生隨機(jī)閃爍的部件。其存在使得頻率源的隨機(jī)起伏過程并不平穩(wěn)，也就是說，它的概率分布是隨時(shí)間的延續(xù)而改變的。在閃爍調(diào)頻噪聲存在的情況下，源信號(hào)序列發(fā)散，此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方差也隨每組量測次數(shù)的增加而增大。另外，若使用標(biāo)準(zhǔn)方差來表示零偏穩(wěn)定性，首先需要假定MEMS信號(hào)源的頻率隨機(jī)起伏是一種平穩(wěn)的隨機(jī)過程，其概率分布呈正態(tài)分布，這才可以用標(biāo)準(zhǔn)方差來表征該信號(hào)源的頻率穩(wěn)定度，但這種假設(shè)在f－1噪聲存在的情況下是不成立的。對于MEMS來說，如何快捷可靠地測得其零偏穩(wěn)定性，是它走向市場需要解決的問題。目前利用傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)方差來測試的方法，由于需要長時(shí)間反復(fù)的測試，對于測試的慣性轉(zhuǎn)臺(tái)來說不可能連續(xù)幾天或者更長的轉(zhuǎn)動(dòng)，一方面會(huì)引入熱噪聲;另一方面，也會(huì)給測試周期帶來不利的延遲。

1.2 Allan 方差

David Allan于1966年提出了Allan方差，最初該方法是用于分析振蕩器的相位和頻率不穩(wěn)定性。由于陀螺等慣性傳感器本身也具有振蕩器的特征，因此，該方法隨后被廣泛應(yīng)用于各種慣性傳感器的隨機(jī)誤差辨識(shí)中。Allan方差的基本原理如下:

設(shè)系統(tǒng)采樣周期為τ0，連續(xù)采樣N個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)y(i)，i=1，2，…，N。對任意的時(shí)間 τ =mτ0，m=1，2，…，N/2，由式(2)求取該族時(shí)間內(nèi)各點(diǎn)的均值序列Y(k)，由式(3)求取差值序列D(K)，即

普通Allan方差的定義如式(4)

其中，〈〉表示取均值，p=1，2，…，Round((N/m)－1)

Allan方差反映了相鄰2個(gè)采樣段內(nèi)平均頻率差的起伏。它的最大優(yōu)點(diǎn)在于對各類噪聲的冪律譜項(xiàng)都是收斂的;此外，每組測量N=2，大大縮短了測量的時(shí)間。本文采用Allan方差對MEMS的誤差進(jìn)行分析和建模，MEMS陀螺隨機(jī)漂移的Allan均方差分布如圖1。

圖1 MEMS陀螺隨機(jī)漂移Allan方差Fig 1 Allan variance of MEMSgyro random drift

2 小波域數(shù)據(jù)融合

2.1 多尺度分解

小波多尺度模型的主要優(yōu)點(diǎn):1)細(xì)尺度上的細(xì)節(jié)信號(hào)對應(yīng)的方差比較大，這說明由此模型產(chǎn)生的隨機(jī)信號(hào)在細(xì)尺度上的細(xì)節(jié)信息的不確定性較高，因此，在進(jìn)行信號(hào)的狀態(tài)估計(jì)或重構(gòu)的過程中，在給定的誤差范圍內(nèi)，可以不考慮相關(guān)細(xì)尺度上的小波系數(shù)。2)同尺度上的小波系數(shù)是獨(dú)立同分布的，不同尺度上的小波系數(shù)的分布是相似的。因此，由該模型建立起的隨機(jī)過程具有自相似性，即分形特征，而自然界的許多現(xiàn)象或過程大都具有分形特征，所以，利用模型將能很好地刻畫這些現(xiàn)象或過程。3)多尺度先驗(yàn)?zāi)Ｐ图瓤梢哉齽t化病態(tài)逆問題，同時(shí)又可以把先驗(yàn)信息綜合到目標(biāo)信號(hào)的估計(jì)中。常用的融合規(guī)則有很多種，實(shí)驗(yàn)中在每個(gè)層上基于各只傳感器的小波熵進(jìn)行局部最優(yōu)的融合估計(jì)，最后得到基于全局信號(hào)的融合估計(jì)值?；谛〔ㄗ儞Q的多尺度多傳感器融合方法如圖2，圖3所示。

圖2 分層數(shù)據(jù)融合Fig 2 Data fusion on scale

圖3 小波逆變換得到融合結(jié)果Fig 3 Fusion results obtained by wavelet inverse transform

2.2 多小波基融合

在小波分解中，目前的小波基函數(shù)主要分為正交小波、半正交小波、雙正交小波等幾類。不同的小波基主要具有緊支撐、對稱正則度、消失矩等不同的性質(zhì)。在小波的應(yīng)用中，小波基的選取可以從一般性原則和具體對象兩方面進(jìn)行考慮。一般性原則有:正交性源于數(shù)學(xué)分析的簡單和工程應(yīng)用中的便于理解操作;緊支集可以保證有優(yōu)良的時(shí)頻局部特性，也有利于算法的實(shí)現(xiàn);對稱性則關(guān)系到小波的濾波特性是否具有線性相位，這與失真問題密切相關(guān);平滑性則關(guān)系到頻率分辨率的高低。

另外，考慮使用對象，對于MEMS傳感器的信號(hào)，要實(shí)際問題實(shí)際分析。根據(jù)上面分析的MEMS的噪聲描述，企圖用單個(gè)小波基把它很好地表示出來是很困難的。本文提出了一個(gè)簡單但非常有效的基于多個(gè)小波基的融合去噪方法，其算法具體流程如圖4。

圖4 基于多小波基分解的融合過程Fig 4 Fusion based on multi-wavelet base decomposition

基于小波多尺度分解，以2只傳感器的融合為例，對于多小波基多傳感器的融合方法可由此類推，融合的基本步驟如下:

1)先選擇n個(gè)具有不同性質(zhì)的小波基，分別對含有噪聲的傳感器原始數(shù)據(jù)進(jìn)行多尺度小波分解，將問題放到多尺度空間中處理;

2)基于各個(gè)傳感器的觀測信息，在不同尺度上得到目標(biāo)信號(hào)分解到該尺度上的小波系數(shù)和最粗尺度上的尺度系數(shù)的估計(jì)值;

3)對各分解層分別進(jìn)行多傳感器的融合處理時(shí)，各分解層上的不同頻率分量，即每個(gè)尺度上的目標(biāo)信號(hào)的小波系數(shù)和最粗尺度上的尺度系數(shù)，可采用相同或不同的融合規(guī)則進(jìn)行融合處理，最終得到融合后各層上的小波系數(shù);

4)融合規(guī)則選擇，考慮MEMS的噪聲情況，利用Allan方差作為權(quán)值進(jìn)行加權(quán)融合;

5)最后對各層上融合后的小波系數(shù)進(jìn)行小波逆變換，在最細(xì)尺度上所得到的重構(gòu)數(shù)據(jù)，為基于不同小波基的多尺度多傳感器融合結(jié)果;

6)再將這些結(jié)果做簡單的加權(quán)平均處理，即為融合后的目標(biāo)信號(hào)。

選取的小波基的數(shù)目n一般來說，數(shù)目越多，去噪效果越好，但計(jì)算量也隨之增大，不利于工程實(shí)現(xiàn)。

3 實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)中，選擇對MEMS陀螺儀的零偏穩(wěn)定性進(jìn)行研究，目的是利用多個(gè)MEMS陀螺儀的數(shù)據(jù)在小波域進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，希望提高融合后輸出結(jié)果的零偏穩(wěn)定性。由于MEMS陀螺儀零偏穩(wěn)定性是對零輸入下輸出結(jié)果的均方差表述，各傳感器的均值是MEMS陀螺儀零偏穩(wěn)定性的平均值，反映MEMS陀螺儀的性能。若標(biāo)準(zhǔn)差大，則傳感器數(shù)據(jù)分布分散，MEMS陀螺儀的零偏穩(wěn)定性弱;標(biāo)準(zhǔn)差小，MEMS陀螺儀的零偏穩(wěn)定性強(qiáng)。

各種小波基數(shù)據(jù)融合結(jié)果如表1，可以看出:haar，bior，coif小波基都對MEMS有相對較好的處理效果，本文選擇這3種小波基對三路MEMS的原始信號(hào)進(jìn)行多小波基多尺度多傳感器的數(shù)據(jù)融合實(shí)驗(yàn)，如圖5。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:融合后不但使零偏數(shù)據(jù)在零附近具有很高的概率，而且還相對集中，零偏穩(wěn)定性得到了較大的提高。

表1 各種小波基數(shù)據(jù)融合結(jié)果Tab 1 Data fusion results of multi-wavelet base

圖5 概率分布圖Fig 5 Probability distribution diagram

4 結(jié)論

小波已經(jīng)廣泛地應(yīng)用在數(shù)據(jù)處理的各個(gè)領(lǐng)域，但由于小波基函數(shù)的選取目前還沒有形成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)和原則，在實(shí)際應(yīng)用中，可以采用多小波基數(shù)據(jù)融合的方法來處理問題。實(shí)驗(yàn)證明:結(jié)合多尺度多傳感器數(shù)據(jù)融合技術(shù)，多小波基數(shù)據(jù)融合這種方法不僅簡單易行，而且能達(dá)到很好的效果。

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