王奎龍

(杭州師范大學(xué) 基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)部，浙江 杭州 310036)

在實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)中，光束的傳輸總要受到光闌的限制，因此對(duì)光闌限制下光束傳輸特性的研究是非常有意義的.文章對(duì)異常空心光束通過(guò)圓環(huán)形硬邊光闌的傳輸特性進(jìn)行分析，通過(guò)把環(huán)形光闌函數(shù)展開(kāi)為復(fù)高斯函數(shù)的方法，推導(dǎo)出了異?？招墓馐ㄟ^(guò)環(huán)形光闌的傳輸近似公式，通過(guò)數(shù)值計(jì)算模擬對(duì)異?？招墓馐ㄟ^(guò)環(huán)形光闌的衍射特性進(jìn)行研究，以期能為光束的整形提供一種簡(jiǎn)便的方法.

1 異常空心光束通過(guò)圓環(huán)形硬邊光闌近軸ABCD系統(tǒng)后的場(chǎng)分布

在直角坐標(biāo)下，z=0入射面處的異?？招墓馐膱?chǎng)分布可以描述為：

(1)

式中w0x和w0y分別表示像散高斯光束在x和y方向的束腰寬度[14].

若入射面是內(nèi)半徑為a、環(huán)寬為b的圓環(huán)形硬邊光闌，圓環(huán)光闌的窗口函數(shù)表示為：

(2)

在近軸條件下，異常空心光束通過(guò)光闌近軸光學(xué)系統(tǒng)后出射場(chǎng)的分布可由直角坐標(biāo)下的Collins積分公式得到：

(3)

式中E(x1,y1,0)和E(x,y,z)分別表示入射面和出射面上光束的電場(chǎng)分布.k=2π/λ是波數(shù)，λ是波長(zhǎng)，A、B、C和D是近軸光學(xué)系統(tǒng)的變換矩陣元.

將硬邊光闌窗口函數(shù)拓展為一組復(fù)高斯函數(shù)之和：

(4)

式中An和Bn分別為拓展的復(fù)系數(shù)，可從計(jì)算機(jī)優(yōu)化中得到.將式(1)和式(4)代入式(3)，經(jīng)過(guò)復(fù)雜積分計(jì)算后，可以得到異?？招墓馐ㄟ^(guò)圓環(huán)形硬邊光闌后出射面上的場(chǎng)分布的近似解析表達(dá)式：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

2 數(shù)值計(jì)算和分析

圖1 異?？招墓馐ㄟ^(guò)環(huán)形光闌透鏡系統(tǒng)的傳輸Fig. 1 Propagation of anomalous hollow beam passing an annular aperture-lens system

由式(5)可知，出射場(chǎng)分布與光闌寬度、光闌內(nèi)外半徑、光束束腰等參數(shù)密切相關(guān).由該式同時(shí)可知，當(dāng)取a=0，則為半徑等于b的圓孔光闌衍射；當(dāng)取a=0,b→∞，則為無(wú)光闌傳輸.在此考慮光束通過(guò)如圖1所示的近軸光學(xué)系統(tǒng)，系統(tǒng)的變換矩陣為：

(10)

將A、B、D代入式(5)，在Mathematica環(huán)境下，對(duì)式(5)進(jìn)行數(shù)值模擬，討論焦平面上光強(qiáng)分布與光闌寬度、光闌內(nèi)外半徑的關(guān)系.在下面計(jì)算中，取w0x=1 mm,w0y=2 mm,λ=632.8 nm,f=500 mm,s=300 mm,An和Bn的取值見(jiàn)文獻(xiàn)[15]中表1.

2.1 光強(qiáng)分布隨光闌寬度變化情況

圖2是a=0.5 mm,z1=0 mm，不同光闌寬度衍射時(shí)焦平面上的光強(qiáng)分布圖.從圖示情況可以看出，焦平面上的光強(qiáng)分布與光闌寬度密切相關(guān).光闌環(huán)寬越小，光強(qiáng)分布范圍越大，級(jí)次越多，即衍射效應(yīng)越強(qiáng)，隨著光闌寬度的增加，衍射逐漸減弱，光強(qiáng)分布逐漸集中.由于異常空心光束是橢圓對(duì)稱(chēng)光束，具有橢圓的實(shí)心內(nèi)核和橢圓對(duì)稱(chēng)的外環(huán)，在圓環(huán)形光闌作用下，x方向和y方向具有不同的遮攔比，因此光闌對(duì)光束的x方向和y方向影響程度不同，體現(xiàn)出不同的衍射特征.隨著光闌寬度的增加，y方向次級(jí)極大值逐漸減弱，而x方向次級(jí)極大值先是逐漸增強(qiáng)，再逐漸減弱.中心光強(qiáng)隨著光闌寬度的增加體現(xiàn)先逐漸減弱為零再逐漸增強(qiáng)的特征，當(dāng)環(huán)寬b=0.26 mm時(shí)，中心光強(qiáng)為零，而x方向和y方向各有兩個(gè)極大值.當(dāng)環(huán)寬大于3 mm后，衍射基本可以忽略，光強(qiáng)分布形狀基本與無(wú)光闌時(shí)一樣，只是光強(qiáng)較弱.

圖2 異?？招墓馐ㄟ^(guò)寬度不同的環(huán)形光闌時(shí)焦平面上的歸一化光強(qiáng)分布Fig. 2 Normalized intensity of anomalous hollow beam on the focusing plane after it passes through the annular apertures with different width and same inner radius

2.2 光強(qiáng)分布隨光闌內(nèi)徑變化情況

圖3 異?？招墓馐ㄟ^(guò)內(nèi)半徑不同的環(huán)形光闌時(shí)焦平面上的歸一化光強(qiáng)分布Fig. 3 Normalized intensity of anomalous hollow beam on the focusing plane after it passes through the annular apertures with different inner radius and same width

圖3為光闌寬度b=0.5 mm，z1=0，內(nèi)環(huán)半徑不同時(shí)焦平面上的光強(qiáng)分布圖.從圖中可以看出，焦平面上的光強(qiáng)分布與內(nèi)環(huán)半徑的大小密切相關(guān)，同樣x方向和y方向具有不同的衍射特征.當(dāng)內(nèi)環(huán)半徑較小時(shí)，衍射效應(yīng)較弱，隨著內(nèi)環(huán)半徑的增加，x方向的衍射先是逐漸增強(qiáng)，再逐漸減弱，而y方向衍射逐漸增強(qiáng)，旁瓣不斷增加，光束分布范圍逐漸變大.

綜合以上兩種情況，焦平面上的光強(qiáng)衍射特性與環(huán)形光闌的寬度、光闌的內(nèi)徑等參數(shù)密切相關(guān)，當(dāng)光闌的內(nèi)徑和光闌寬度取適中時(shí)，光束中心會(huì)出現(xiàn)1至4個(gè)光強(qiáng)相等的峰，或者中心光強(qiáng)為零的分布.因此，通過(guò)控制環(huán)形光闌參數(shù)，可以方便地實(shí)現(xiàn)光束的整形或控制.

3 結(jié) 論

文章采用把光闌函數(shù)展開(kāi)為復(fù)高斯函數(shù)的技巧，用Collins公式推導(dǎo)出了異?？招墓馐ㄟ^(guò)圓環(huán)形硬邊光闌的傳輸近似解析公式.利用導(dǎo)出的公式，數(shù)值研究了異常空心光束通過(guò)環(huán)形光闌透鏡系統(tǒng)的傳輸特性.結(jié)果表明，焦平面光場(chǎng)分布與光闌內(nèi)徑、光闌寬度等參數(shù)有關(guān).文章的結(jié)果對(duì)異?？招墓馐膽?yīng)用和光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)有實(shí)際參考價(jià)值.

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