2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷

1．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=15°，AC=1，則BC的長(zhǎng)為

( )

( )

A.二者均為有理數(shù) B.二者均為無理數(shù)

C.一個(gè)為無理數(shù)，另一個(gè)為有理數(shù) D.以上3種情況均有可能

3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊上沿著A-B-C-D運(yùn)動(dòng)，x表示點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)所經(jīng)過的路程，y表示△APD的面積，則y和x的函數(shù)關(guān)系的圖像大致為

( )

A. B. C. D.

4．已知二次函數(shù)y=ax2+c,且當(dāng)x=1時(shí)，-4≤y≤-1，當(dāng)x=2時(shí),-1≤y≤5，則當(dāng)x=3時(shí)，y的取值范圍是

( )

圖1

5．如圖1，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，∠ADC=130°，則∠CAB的大小是

( )

A.80°B.50°C.40°D.20°

6.若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的2個(gè)根，則判別式Δ=b2-4ac與平方式M=(2ax0+b)2的大小關(guān)系是

( )

A．Δ>MB.Δ=MC.Δ

二、填空題

7．將一個(gè)四邊形的紙片一刀剪去一個(gè)角后，所得的多邊形的內(nèi)角之和是________.

8．觀察下列各組數(shù)：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(11，60，61)…，發(fā)現(xiàn)4=(32-1)÷2,12=(52-1)÷2,24=(72-1)÷2….若設(shè)某組數(shù)第一個(gè)數(shù)為k，則這個(gè)組的數(shù)為(k,________,________).

圖2

圖3

9．如圖2是一個(gè)樹形圖的生長(zhǎng)過程，依據(jù)圖中所示的生長(zhǎng)規(guī)律，第15行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于________.

10．如果表示正方形ABCD各邊長(zhǎng)的代數(shù)式如圖3所示，那么陰影部分的面積是________.

11.A,B,C,D,E,F這6個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，當(dāng)比賽進(jìn)行到某一天時(shí)，統(tǒng)計(jì)出A,B,C,D,E這6個(gè)隊(duì)已分別比賽了5，4，3，2，1場(chǎng)球，由此可知，還沒有與B隊(duì)比賽的球隊(duì)是________

12.△ABC內(nèi)接于⊙O，D是邊BC上的中點(diǎn)，若∠ABC+∠DAC=90°，則△ABC是________三角形.

三、解答題

13．某同學(xué)買某種鉛筆，當(dāng)他買了x支，付了y元(x，y都是整數(shù))時(shí)，營(yíng)業(yè)員說：“你要再多買10支，我就總共收你2元錢，這樣相當(dāng)于每買30支，你可節(jié)省2元錢”,求x,y.

15．已知：關(guān)于x的方程①x2-(m+2)x+m-2=0有2個(gè)符號(hào)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1>|x2|>0；關(guān)于x的方程②mx2+(n-2)x+m2-3=0有2個(gè)有理數(shù)根且兩根之積等于2.求整數(shù)n的值.

16.討論一道開放性試題，教師要求同組每個(gè)同學(xué)至少要和3個(gè)同學(xué)交換意見．某學(xué)習(xí)小組共有11位同學(xué)，討論完成后有2位同學(xué)說自己和4個(gè)同學(xué)交換了意見．證明:至少還有1位同學(xué)也至少和4個(gè)同學(xué)交換了意見．

參考答案

13.解根據(jù)題意得，y的值只能是1或2.

此時(shí)m只能取15,30,45,60….經(jīng)討論后,只有當(dāng)m=15，x=5時(shí),才符合題意.

(2)當(dāng)y=2時(shí)，

無論m為何整數(shù)均不合題意.故x=5,y=1.

圖4

圖5

(2)能取得最大值,如圖5所示.

15.解由方程①及x1·x2<0，x1>|x2|>0,知x1>0,x2<0.由

Δ=(m-2)2+8>0,

得

x1+x2=m+2>0,x1·x2=m-2<0,

從而

-2

由方程②知

即

m2-2m-3=0,

解得

m=3(舍去)，m=-1,

代入方程②得

x2-(n-2)x+2=0.

因?yàn)榉匠痰?個(gè)根為有理數(shù)，所以

Δ=(n-2)2-8=k2,

即

(n-2)2-k2=8,

得

(n-2+k)(n-2-k)=8,

從而

解得

n=5或n=-1.

16.證明因?yàn)榧?、?人相互討論1次，每人都說自己討論了1次，在統(tǒng)計(jì)時(shí)，就被算作了2次.

在11個(gè)人中，若每人剛好只討論了3次，則總次數(shù)將是11×3=33次，

由于其中有2個(gè)人是討論的4次，因此總次數(shù)是33+2=35次．

根據(jù)前面的分析可知，對(duì)每一次討論都有2個(gè)人報(bào)數(shù)，故總次數(shù)應(yīng)該是2的倍數(shù)，故總次數(shù)>35．即總次數(shù)至少是36次，因此一定至少還有1個(gè)人是討論的4次．

(浙江奧數(shù)網(wǎng)提供)