● (舟山中學(xué) 浙江舟山 316000)

從價(jià)值取向看高校自主招生數(shù)學(xué)筆試試題

●謝建偉(舟山中學(xué) 浙江舟山 316000)

大學(xué)自主入學(xué)考試是對選拔優(yōu)秀創(chuàng)新人才的一種新探索.自主招生是擴(kuò)大了高校招生自主權(quán)、是深化高校招生錄取制度改革的重要舉措.由于其實(shí)施主體是大學(xué)，教育理念必然有了微妙的不同，考試性質(zhì)又有某種特殊性，考試環(huán)境也更為寬松，其命題自然就有了值得玩味的一些新變化.

近幾年來,高校自主招生表現(xiàn)出4大特點(diǎn)：

(1)招生比例不再受限.

“高校自主招生比例不得超過5%”的規(guī)定將被打破．這讓不少高校能放心地增加招生計(jì)劃，同時(shí)對優(yōu)秀考生給予了更多的政策優(yōu)惠．

(2)自主招生門檻降低.

高校自主招生權(quán)在增強(qiáng)，各高校自主招生的“門檻”卻在走低，報(bào)名要求呈現(xiàn)降低的趨勢．

(3)紛紛增加筆試環(huán)節(jié).

相對于2009年，高校自主招生更加重視筆試這一環(huán)節(jié)．面試容易摻雜更多的主觀成分，彈性空間太大；用筆試加面試的方式，可以更全面地衡量學(xué)生的素質(zhì)．

(4)更加偏愛特殊才能.

高校的人才培養(yǎng)目標(biāo)不同，所需要的學(xué)生特點(diǎn)也不同，這也就決定了各大高校越來越青睞有特殊才能的學(xué)生．

從上可見，自主招生的地位及權(quán)重已逐漸提升，甚至堪與普通高考相提并論，因此也越來越受到大家的關(guān)注．

本文以“價(jià)值取向”為視角，對自主招生筆試數(shù)學(xué)試題作一些剖析，旨在拋磚引玉．

1 基礎(chǔ)性價(jià)值取向

數(shù)學(xué)知識和思維方法是數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)，基礎(chǔ)又是走向未來的橋梁，自主招生對基礎(chǔ)性層面的要求高于、廣于普通課程意義上的高考．

1.1 知識性

對三基知識的了解與理解，高校教師自有其獨(dú)特的視野.

例1設(shè)平面上有3個(gè)點(diǎn)，任意2個(gè)點(diǎn)之間的距離不超過1．問：半徑至少為多大的圓盤才能蓋住這3個(gè)點(diǎn)．請證明你的結(jié)論．

(2004年復(fù)旦大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)筆試試題)

解設(shè)3個(gè)點(diǎn)為A，B，C,分情形討論如下：

圖1

圖2

(2)若點(diǎn)A,B,C不共線，則構(gòu)成△ABC,不防設(shè)A≤B≤C.

于是

(2)自主招生筆試試題與高考試題相比，更注重知識變通性的考查.譬如,2006年復(fù)旦大學(xué)自主招生筆試試題中有一個(gè)求解三次方程的問題：

設(shè)k≥9，解方程:x3+2kx2+k2x+9k+27=0．

這道題目讓那些只知道求根公式的高中學(xué)生望而怯步.表面上試題已超越中學(xué)生的知識范疇,實(shí)際上，只要將字母x與k的主客位置對換,化歸為關(guān)于k的二次方程(視x為字母系數(shù))，就不難得到方程有3個(gè)實(shí)根：

這種主客對換類題型在奧數(shù)中屢見不鮮.

1.2 方法性

代數(shù)方法、算術(shù)方法、幾何方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本方法，使用時(shí)要領(lǐng)悟其精髓.譬如代數(shù)中的列方程解應(yīng)用題，不僅是列方程，設(shè)未知數(shù)有時(shí)也是很關(guān)鍵的.

例2有一個(gè)整數(shù)的首位是7，當(dāng)7換至末位時(shí)，得到的數(shù)是原數(shù)的三分之一，則原數(shù)的最小值是________．

(2003年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)筆試試題)

解法1(代數(shù)法):暫時(shí)棄去7，得其余部分?jǐn)?shù)值為A，共有k位，則有方程

7×10k+A=(10A+7)×3,

即

29A=7×(10k-3).

以下就是做若干個(gè)9最后一個(gè)7，使其能被29整除的除法.當(dāng)k=28時(shí)，

(10k-3)÷29=999…997÷29=

34 482 758 620 689 655 172 413 793，

乘以7即得

A=241 379 310 344 827 586 206 896 551.

故原數(shù)的最小值為

7241 379 310 344 827 586 206 896 551.

解法2(算術(shù)法)記原數(shù)為A，將7換至末位時(shí)，所得的數(shù)記為B，則A=3B.利用小學(xué)里的豎式乘法，可從個(gè)位開始，依次一位一位倒序求：乘積求得個(gè)位后，即在十位寫上這一個(gè)數(shù)字；……，即把得來的積中的數(shù)字，錯(cuò)一位地復(fù)制到被乘數(shù)上，直至首次出現(xiàn)單個(gè)數(shù)字7為止.算法如下所示：

2 413 793 103 448 275 862 068 965 517

× 3

7 241 379 310 344 827 586 206 896 551

因此原數(shù)的最小值是

7 241 379 310 344 827 586 206 896 551.

評注(1)本例如像下面那樣做：

5 862 068 965 517

× 3

7 586 206 896 551

那么得出最小值是7 586 206 896 551，

只要一檢查，明顯就知道是錯(cuò)的.因?yàn)樽詈笠徊降玫降氖?5，加2得17，而不是單個(gè)7.

(2)該試題列方程求解，不容易想到要這樣去設(shè)未知數(shù)列方程，然后還要做若干個(gè)9最后一個(gè)7除以29的試除法；用算術(shù)的一步步做倒序乘法，又有如上所述的陷阱；即使是在奧數(shù)中訓(xùn)練過同類的題目的學(xué)生，但數(shù)位之長，計(jì)算量之大，又大大地超越絕大多數(shù)師生之預(yù)想，有幾人能堅(jiān)持到28位，也實(shí)在是不敢奢望的.

2 應(yīng)用性價(jià)值取向

加強(qiáng)應(yīng)用意識,是新課程的一個(gè)重要導(dǎo)向.應(yīng)用性也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本意,其中包含有課程性和實(shí)踐性這2個(gè)層面．

2.1 課程性

指課程上的基礎(chǔ)知識的應(yīng)用.

圖3

(2010年清華大學(xué)等五校自主招生數(shù)學(xué)筆試試題)

即

b+c=2d.

于是

即△ABC為直角三角形.

評注(1)看解答，似乎簡單明了：先證得kAB+kAC=0,立即可知AD平分∠CAB.但是，“為什么能想到先去試證kAB+kAC=0”恰恰是解題關(guān)鍵之所在．

(2)圓錐曲線是中學(xué)課程的內(nèi)容.本題是以圓錐曲線的一個(gè)幾何性質(zhì)：“過圓錐曲線C上一個(gè)定點(diǎn)M，作2條傾斜角互補(bǔ)的直線，交C于點(diǎn)A,B,則直線AB有定向”為幾何背景.這里,直線AB總與曲線上點(diǎn)M′處的切線平行(M′與M關(guān)于對稱軸對稱,M′位于直線MA與MB之間)．

2.2 實(shí)踐性

指知識應(yīng)用到實(shí)際中.

例4為測量一工件內(nèi)圓弧半徑R，工人用3個(gè)半徑均為r的圓柱形量棒O1,O2,O3放在如圖4所示的與工件圓弧相切的位置上，通過深度卡尺測出卡尺水平面到中間量棒O2頂側(cè)面的垂直深度(如圖4).試寫出R用h表示的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算當(dāng)r=10 mm,h=4 mm時(shí)，R的值．

(2007年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)筆試試題)

圖4

圖5

解取平面圖思考，設(shè)AB為卡尺水平面位置，過點(diǎn)O1作O1H⊥OO2于點(diǎn)H，如圖5.由條件知OO1=R-r=OO2，O1O2=2r，O1A=r，O2B=r+h,又ABHO1為矩形，得

BH=r,O2H=h，OH=R-r-h.

由勾股定理知

代入得

(R-r)2-(R-r-h)2=(2r)2-h2，

即

當(dāng)r=10 mm,h=4 mm時(shí)，R=60 mm．

評注(1)早在上世紀(jì)30年代美國數(shù)學(xué)家克萊因就指出“數(shù)學(xué)為大家”.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之根本目的在于研究并征服自然,筆試中不乏體現(xiàn)實(shí)用性價(jià)值的試題．

(2)本例要求學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)從具體的感性事物到數(shù)學(xué)語言的抽象，從物體之間存在的位置關(guān)系到數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化.同時(shí),這些事情本身又恰恰是建立于生活元素的觀察、思考之上的(本例還可通過△OO1O2面積的2種求法求解).

3 發(fā)展性價(jià)值取向

高校自主招生對發(fā)展性的要求較高.主要表現(xiàn)在知識的前瞻性和解題的創(chuàng)造性層面上.求解這一類試題會(huì)讓中學(xué)生感到相當(dāng)棘手.

3.1 前瞻性

例5試構(gòu)造函數(shù)f(x)，其定義域?yàn)?0,1)，值域?yàn)閇0,1]，且對于任意a∈[0,1]，f(x)=a只有1個(gè)解.

(2006年復(fù)旦大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)筆試試題)

解可以構(gòu)造函數(shù)

圖6

3.2 創(chuàng)造性

例6已知：

a1+a2+a3=b1+b2+b3;

(1)

a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1;

(2)

min{a1,a2,a3}≤min{b1,b2,b3},

(3)

求證：max{a1,a2,a3}≤max{b1,b2,b3}.

(2008年北京大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)筆試試題)

證明不妨設(shè)a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，則a1≤b1，下證a3≤b3即可．令

a1+a2+a3=b1+b2+b3=k，

利用均值代換，可設(shè)

其中p,q,r,s≥0，于是

代入式(2),得

由a1≤b1,得

由a1≤a2,得

由b1≤b2,得

式(6)+式(7),得

由式(4)，式(5)，式(8)得

因?yàn)?/p>

代入式(9),得

(1)若s+q=0,則

s=q=0,

代入式(4),得

r=p或3(r+p)-k=0.

由r=p，知a3=b3，即a3≤b3成立；由3(r+p)-k=0，知式(8)取到等號，因此

a1=a2=a3=b1=b2=b3，

即a3≤b3成立.

(2)若s+q>0，則由式(10)得

a3-b3≤0，

即a3≤b3也成立．

綜上所述，命題得證．

評注(1)試題題干簡約，題型或符號為中學(xué)生所熟悉，然而6個(gè)參量給出的條件之間的因果關(guān)系卻一時(shí)難以看清，解答時(shí)又不知從何上手.需要學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力．

(2)本例提供的解答過程構(gòu)思巧妙，在發(fā)現(xiàn)對稱性的基礎(chǔ)上，對參量排序，再引入5個(gè)新參量k,p,q,r,s，借助均值代換，證明時(shí)多次實(shí)施邏輯推理、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論，可謂一環(huán)緊扣一環(huán)．

綜上所述，自主招生筆試之價(jià)值取向，實(shí)際上要高于、深于、廣于普通課程意義上的高考.但只要在日常教學(xué)過程中，對基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、創(chuàng)造性給以足夠的價(jià)值關(guān)注，付出更多的努力，就一定會(huì)收獲更多的驚喜．

隨著新課程的深化，許多自主招生類筆試試題與新課程理念相近，直接或稍加改編，便可引用為日常課堂教學(xué)的題例．

圖7

圖8

例如,2005年上海交通大學(xué)保送生關(guān)于表面展開圖的試題：

(答案：972)