● (紹興市高級中學 浙江紹興 312000)

簡議分類討論方法的應(yīng)用

●金定森(紹興市高級中學 浙江紹興 312000)

解題總是在一定范圍(論域)內(nèi)進行的.解題中有時要將題目條件包含的全體對象分成若干類,然后逐類討論.因此,分類討論是數(shù)學解題的一種重要策略.在分類時,首先要明確分類的對象和標準.有時還要對第一次分出的各類進行再分類,這就是第二級分類；類似地有第三級分類；……，這種進行多次分類的現(xiàn)象叫做連續(xù)分類.合理的分類不但是正確解題的出發(fā)點，而且是簡捷解題的基礎(chǔ).

分類的原則是：不重不漏，即每一個題設(shè)包含的對象都必須在而且只在所分的一類中.為此，在分類時必須做到：(1)一次分類只按一個標準進行；(2)連續(xù)分類則按層次逐級進行.

1 由概念引起的分類

( )

分析由題意得

即f(x)等價于{sinx,cosx}min.故選C.

2 按圖形位置分類

例2若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是________(寫出所有可能的值).

分析要構(gòu)造出滿足條件的四面體，關(guān)鍵是根據(jù)三角形知識確定每個面上的3條棱，排除{1,1,2}，可得{1,1,1}；{1,2,2}；{2,2,2}，用這3類面(三角形)在空間中構(gòu)造出滿足條件的一個四面體.這就要進行分類討論！

圖1

3 按模的剩余類分類

例3求出所有的自然數(shù)n，使3個整數(shù)n，n+8，n+16都為質(zhì)數(shù).

分析現(xiàn)將所有自然數(shù)n按模為3的剩余類分成3類：n=3k，3k+1，3k+2.

當n=3k時，只有k=1時，3個整數(shù)3，11，19都是質(zhì)數(shù)；

當n=3k+1時，

n+8=3k+1+8=3(k+3)

不是質(zhì)數(shù)；

當n=3k+2時，

n+16=3k+2+16=3(k+6)

不是質(zhì)數(shù).

故滿足題設(shè)的自然數(shù)只有一個3.

4 按數(shù)的大小分類

例4從寫有數(shù)字111到999的3位數(shù)(其中的任一位數(shù)字不為0)卡片中任取1張，取得的3位數(shù)中任意2個數(shù)碼之和能被第3個數(shù)碼整除的3位數(shù)有________個.

分析設(shè)取得的符合要求的3位數(shù)的3個數(shù)碼分別為a,b,c.

(1)若a

a+b<2c,

而a+b能被c整除，只有

a+b=c.

因為a+c能被b整除，b+c也能被a整除，所以這樣的數(shù)組有1,2,3;2,4,6;3,6,9.組成的3位數(shù)共有18個.

(2)若a=b

c=2a.

這樣的數(shù)組有1,1,2;2,2,4;3,3,6;4,4,8.組成的3位數(shù)有12個.

(3)若a=b=c,組成的3位數(shù)有9個.

綜上所述,符合題意的3位數(shù)共有39個.

5 按相對位置分類

例5將7×7的棋盤中的2個方格染成黃色，其余的均染成綠色.若一種染色法可由另一種染色法經(jīng)過將棋盤平面旋轉(zhuǎn)后得到，則這樣的2種染法應(yīng)看作是同一種染色法，則有( )種不同的染色法.

A．298 B．300 C．306 D．309

分析將這個問題作如下分類討論：

(1)當染成黃色的方格中有1個方格為棋盤中心格時，共有12種染法；

(2)當中心方格未染色，但染成黃色的2個方格關(guān)于中心對稱時，也有12種染法；

(3)當染成黃色的2個方格不屬于以上2種情況時，有48×46÷2÷4=276種染色法.

綜上所述,共有12+12+276=300種染色法.

6 制造“抽屜”分類

例6求證：從任意n個整數(shù)a1，a2，…，an中，一定可以找到若干個數(shù)，使它們的和可被n整除.

證明考察如下的n個和:

a1，a1+a2，…，a1+a2+…+ak，…，a1+a2+…+an.

若其中至少有1個能被n整除，則結(jié)論成立.

若其中沒有1個能被n整除,則將他們按模的剩余類至多可分為余數(shù)為1，2，…，n-1的n-1個類.因此,這n個整數(shù)中至少有2個整數(shù)a1+a2+…+ak和a1+a2+…+ak+…+al(l>k)對模n有相同的余數(shù).這時,和數(shù)

ak+1+…+al=(a1+a2+…+ak+…+al)-

(a1+a2+…+ak),

顯然可被n整除，即結(jié)論成立.