● (隴南師范高等?？茖W校數(shù)學系 甘肅成縣 742500)

一個重要不等式的簡證與求商法的應用

●東洪平(隴南師范高等專科學校數(shù)學系 甘肅成縣 742500)

1 問題的提出及其證明

文獻[1]提出了一個重要不等式：

文獻[1]用數(shù)學歸納法證明了這個不等式，筆者發(fā)現(xiàn)可用求商法證明這個不等式，其證明過程更簡單易懂，現(xiàn)證明如下.

證明求商.

即

因此

2 求商法及其應用

當一個不等式(或等式)的2邊是積的形式時，可用求商的方法去證明其成立，這是數(shù)學中最常用的方法——求商法.用求商法去證明上面的重要不等式,其證明過程簡單、易懂.數(shù)學競賽中有幾個不等式是上面重要不等式的特殊情形，如果不知道上面的重要不等式，這樣的不等式該怎樣證明呢？那還是用求商法最好！請看下例.

(第3屆美國數(shù)學奧林匹克試題)

(顯然,這是上面重要不等式當n=3時的特殊情形.)

證明(用求商法)

即

(1979年青海省中學數(shù)學競賽試題)

(顯然,這是上面重要不等式當n=5時的特殊情形.)

證明(用求商法)

同理可得

即

下面再舉2個用求商法證明不等式的例子.

例3若a>b>c>0，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.

(1978年上海市數(shù)學競賽第二試試題)

證明(用求商法)

即

證明(用求商法)

當我們在證明一個數(shù)學命題時，首先想到的是最常用的方法.如果能用最常用的方法證明這個數(shù)學命題，而且證明過程簡單易懂，那么這樣的證明方法就可稱得上是好方法.因此，我們千萬不能把最常用的方法忘掉！

[1] 趙生筱.一個平均值不等式[J].數(shù)學通報，2002(7):21-22.