● (春暉中學(xué) 浙江上虞 312353)

習(xí)題教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

●孟方明(春暉中學(xué) 浙江上虞 312353)

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一”，“數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用”[1]．2010年浙江省高考考試說明(理科)在數(shù)學(xué)能力考查方面也明確指出：“對數(shù)學(xué)能力的考查，應(yīng)檢測考生個(gè)體理性思維的廣度和深度”．可以說，數(shù)學(xué)教學(xué)就是思維的教學(xué),培養(yǎng)思維能力，從根本上就是如何提高學(xué)生的思維品質(zhì)．

習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，習(xí)題教學(xué)對于深化基礎(chǔ)知識、培養(yǎng)解題技巧、開發(fā)智能結(jié)構(gòu)具有十分重要的作用，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要途徑．如何在習(xí)題教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維能力，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)是教學(xué)改革的一個(gè)重要課題．筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談?wù)勛约旱囊恍┳龇ㄅc體會(huì)．

1 注重觀察，培養(yǎng)思維的敏捷性

思維的敏捷性是指思維活動(dòng)的反應(yīng)速度和熟練程度，它反映了智力的敏銳程度．主要表現(xiàn)為能縮短運(yùn)算環(huán)節(jié)和推理過程，正確和迅速地得出結(jié)論[2]．實(shí)踐表明，解題成功與數(shù)學(xué)觀察密切相關(guān)，觀察是思維的起點(diǎn)，是類比的基礎(chǔ)，是聯(lián)想的羽翼．在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)觀察，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性．

(1)若f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；

(2)若直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖像都相切，且與函數(shù)f(x)的圖像相切于點(diǎn)(1,0)，求p的值；

(3)若在[1,e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求p的取值范圍．

(2009年浙江省紹興市高三期末調(diào)測試題)

分析(1)，(2)略．

(3)含參存在性(或恒成立)問題的解法一般有2種：第1種是分離變量法，將參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值；第2種是移項(xiàng)構(gòu)造含參的新函數(shù)，通過分類討論求含參函數(shù)的最值.通常首選分離變量法．由f(x)>g(x)，得

若x=1，則p無解；若1

到此，學(xué)生的第一感覺往往是難以直接解出F′(x)>0或F′(x)<0的解集(因?yàn)榉肿邮羌群瑢?shù)函數(shù)，又含冪函數(shù)的超越式)，從而毫不猶豫地進(jìn)行第2次求導(dǎo).設(shè)

g(x)=x2-x2lnx-lnx-2ex-1，

則

此時(shí),有些學(xué)生已經(jīng)覺察到由x-2e<0，可得g′(x)<0，從而g(x)遞減，于是

g(x)

則F′(x)<0，即F(x)遞減，從而

故

但有些學(xué)生認(rèn)為g′(x)的形式仍然無法求解,繼續(xù)求導(dǎo)．其實(shí)，一階導(dǎo)數(shù)中對g(x)的各項(xiàng)重新搭配，可得

g(x)=x(x-2e)-x2lnx-lnx-1.

這顯然是負(fù)值，因此完全可以避免2次甚至3次求導(dǎo)．因而教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在一次求導(dǎo)得到超越式后，不急于2次求導(dǎo)，而是注重觀察，看是否可以通過諸如提取公因式等方法進(jìn)行化簡，或者是通過項(xiàng)的重新搭配直接得出函數(shù)的取值為恒正(或恒負(fù)).若上述觀察不奏效，再進(jìn)行2次求導(dǎo)．

點(diǎn)評數(shù)學(xué)觀察極大地簡化了解題過程，有效地提高了解題的效率．當(dāng)然，數(shù)學(xué)觀察不局限于觀察式子的特殊性，還可觀察題設(shè)的對稱性、題斷的隱蔽性等等．

2 一題多解，培養(yǎng)思維的廣闊性

思維的廣闊性是指思維活動(dòng)作用范圍的廣泛和全面的程度．它表現(xiàn)為解題思路開闊，能全面地分析問題，多方向、多角度地思考問題[2]．一題多解能有效地幫助學(xué)生夯實(shí)“雙基”，是培養(yǎng)學(xué)生思維廣闊性的一種有效途徑．

|f(a)-f(b)|<|a-b|．

分析本題的突破口較多，可從去絕對值、有理化、圖像特征等角度加以思考．

證明1不等式兩邊都是絕對值，可考慮通過平方去絕對值符號，實(shí)現(xiàn)問題簡化．

原不等式等價(jià)于

即

a2+b2-2ab,

化簡得

(1)

若1+ab≤0，則式(1)顯然成立;若1+ab>0，則式(1)等價(jià)于

(1+ab)2<(1+a2)(1+b2),

即

(a-b)2>0,

故原不等式成立.

圖1

從而 |f(a)-f(b)|<|a-b|．

易見AB連線的斜率介于2條漸近線之間，從而

|kAB|<1．

點(diǎn)評教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行分析探究.這不但使相關(guān)的知識得到了梳理和鞏固，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生舉一反三、觸類旁通的思維能力．

3 突破常規(guī)，培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性即思維活動(dòng)的靈活程度，是指能夠根據(jù)客觀條件的發(fā)展與變化，及時(shí)地改變先前思維過程或方式，尋求新的思維角度和方向．它表現(xiàn)為思考問題和解決問題時(shí)所用方法的新穎、獨(dú)特等特征[2]．在習(xí)題教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生遭遇挫折后,教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對問題的解法進(jìn)行反思總結(jié)，另辟蹊徑，突破常規(guī)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，培養(yǎng)其思維的靈活性．

(1)當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取到極值，求a的值；

(2)設(shè)不等式f′(x)>x2-x-a+1對任意a∈(0,+∞)都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

(2008年安徽省數(shù)學(xué)高考試題)

分析(1)略．

(2)原不等式等價(jià)于

ax2-3x+a+1>x2-x-a+1.

點(diǎn)評一個(gè)問題常含有好幾個(gè)量，“常量”、“參量”、“變量”的定位往往不是絕對的．定位不同，解題途徑也就不同．打破常規(guī)，正確定位，使解題過程顯得干凈、利落，充滿數(shù)學(xué)美感．

4 質(zhì)疑思辨，培養(yǎng)思維的批判性

思維的批判性是指思維活動(dòng)中善于嚴(yán)格地估計(jì)思維材料和精細(xì)地檢查思維過程的智力品質(zhì)，反映了思維活動(dòng)過程中獨(dú)立分析和批判的程度．它表現(xiàn)為善于思考，敢于質(zhì)疑，并能及時(shí)發(fā)現(xiàn)和糾正錯(cuò)誤，自覺調(diào)控思維過程，對問題及問題的自我解法進(jìn)行評價(jià)[2]．實(shí)踐表明，在習(xí)題教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究、發(fā)現(xiàn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生理性的思維習(xí)慣.

例4已知

求4x+2y的取值范圍．

解式(2)+式(3)，得

0≤2x≤4，

即

0≤4x≤8.

(4)

式(3)×(-1)，得

式(2)+式(5)，得

式(4)+式(6)，得

0≤4x+2y≤12．

教師給出上述解答后，請學(xué)生觀察、判斷、討論，這個(gè)解法是否正確？許多學(xué)生只從表面研究上述解法的過程，認(rèn)為應(yīng)用不等式性質(zhì)處理無懈可擊，怎么會(huì)出錯(cuò)呢？不過,馬上有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x取到最大值2時(shí)，代入式(2)，得-1≤y≤1，與式(6)矛盾，從而0≤4x+2y≤12中的12取不到，即范圍被放大了．

教師追問能否從錯(cuò)解中獲得啟示，得到問題的正確解法．教師引導(dǎo)學(xué)生自主討論，產(chǎn)生了不少正確的解法．

正解1設(shè)x+y=m，x-y=n，得

1≤m≤3，-1≤n≤1，

則

于是

4x+2y=3m+2n,

從而

2≤4x+2y≤10．

圖2

正解2用線性規(guī)劃的知識加以處理，原不等式表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D2所示的陰影部分.作出目標(biāo)函數(shù)t=4x+2y，易知過點(diǎn)(0,1)時(shí),tmin=2;過點(diǎn)(2,1)時(shí),tmax=10，從而2≤4x+2y≤10．此時(shí)也進(jìn)一步明晰了錯(cuò)解中得到的0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面區(qū)域是包含陰影的正方形，范圍被擴(kuò)大了[3]．

點(diǎn)評教師有意地設(shè)置錯(cuò)解，讓學(xué)生辨別真?zhèn)?，尋找錯(cuò)誤根源，質(zhì)疑思辨，并以此探索問題的正解，使思維的批判性得到了一次有效的訓(xùn)練．

5 變換命題，培養(yǎng)思維的深刻性

思維的深刻性指思維活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平，反映了思維活動(dòng)的廣度和深度．它表現(xiàn)為能洞察對象本質(zhì)以及揭示對象間的相互關(guān)系，能夠抓住問題的本質(zhì)和規(guī)律，對問題進(jìn)行深入細(xì)致地分析和推廣[2]．在習(xí)題教學(xué)中，通過改編命題、一題多變能讓學(xué)生加深對題目的理解和把握，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性．

教師將問題變換成一個(gè)探究性、開放性命題：

解假設(shè)存在點(diǎn)P，則

(a+ex)2+(a-ex)2=4c2，

得

2e2x2=4c2-2a2≥0，

在這里，教師改編命題，創(chuàng)設(shè)新境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．教師趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生抓住|PF1|,|PF2|，|F1F2|之間的關(guān)系進(jìn)行拓廣．思考如下變題：

點(diǎn)評在習(xí)題教學(xué)中，教師不拘泥于就題論題，而是適時(shí)對典型例題進(jìn)行有效的改造變換、挖掘延伸，從而使問題層層深入，思維不斷深化．

數(shù)學(xué)是思維的體操，習(xí)題教學(xué)是培養(yǎng)思維品質(zhì)的良好場所．在平時(shí)的習(xí)題教學(xué)中，教師應(yīng)側(cè)重揭示方法的探索和選擇，暴露其思維過程，經(jīng)歷體驗(yàn)感悟.習(xí)題的選擇要在運(yùn)用知識的廣度、思維訓(xùn)練的強(qiáng)度、發(fā)展智能的效度等方面作全面考慮，充分發(fā)揮習(xí)題的價(jià)值，不斷提升學(xué)生的思維能力和思維品質(zhì)．

[1] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[2] 任樟輝．?dāng)?shù)學(xué)思維論[M]．南寧：廣西教育出版社，1996．

[3] 徐潤權(quán)．質(zhì)疑思辨 培養(yǎng)理性思維[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究，2009(5)：22-23．

[4] 馬燦宏．培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2005(1)：8-9．