李麗瓊， 茍興宇

(1.北京控制工程研究所,北京 100190; 2. 空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

相對(duì)于剛體衛(wèi)星，撓性衛(wèi)星由于帶有各種撓性附件，結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜，因此增加了建模和控制等方面的難度.為提高撓性衛(wèi)星的控制精度，除了在姿態(tài)控制算法上進(jìn)行改進(jìn)外，還可以采用在軌辨識(shí)技術(shù).

在軌辨識(shí)是一項(xiàng)新技術(shù)，在所能查閱到的國(guó)外文獻(xiàn)中，最早利用在軌辨識(shí)技術(shù)的是1989年美國(guó)的木星探測(cè)器Galileo[1].其控制器設(shè)計(jì)中采用了陷阱濾波器，而濾波器的設(shè)計(jì)需要精確知道衛(wèi)星的關(guān)鍵模態(tài)頻率，因此引入了在軌辨識(shí)技術(shù).

為避免衛(wèi)星姿態(tài)因在軌辨識(shí)時(shí)的激勵(lì)而失去基準(zhǔn)，最好采用閉環(huán)在軌辨識(shí)的方式，即辨識(shí)時(shí)保持控制器工作.此時(shí)辨識(shí)得到的參數(shù)實(shí)際上并不是衛(wèi)星撓性附件的模態(tài)參數(shù)，而是包括控制器在內(nèi)的整個(gè)受控系統(tǒng)的特征參數(shù)，這個(gè)值是與控制器參數(shù)相關(guān)的.

本文以一類撓性衛(wèi)星為研究對(duì)象，提出受控系統(tǒng)的特征頻率的概念，著重研究PID控制器參數(shù)與受控系統(tǒng)特征頻率之間的關(guān)系，并通過(guò)在傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)中引入諧振濾波器的仿真實(shí)例說(shuō)明了受控系統(tǒng)特征頻率在在軌辨識(shí)中的應(yīng)用.

1 PID控制器參數(shù)與受控系統(tǒng)特征頻率的關(guān)系

1.1 幾類不同的特征頻率

撓性衛(wèi)星的模型可以分為約束模型和整體模型兩種，對(duì)應(yīng)的有約束模態(tài)頻率與非約束模態(tài)頻率.忽略阻尼項(xiàng)時(shí)，非約束模態(tài)與約束模態(tài)的頻率和增益存在確定的關(guān)系[2].

若進(jìn)一步將從設(shè)定輸入到量測(cè)輸出之間的包括PID控制器在內(nèi)的整個(gè)衛(wèi)星受控系統(tǒng)作為一個(gè)整體對(duì)象來(lái)考慮，則根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)“整體對(duì)象”將表現(xiàn)出新的振蕩頻率，稱之為“受控系統(tǒng)特征頻率”.受控系統(tǒng)特征頻率是有別于約束模態(tài)頻率和非約束模態(tài)頻率的另一種頻率，它的值與控制器參數(shù)有關(guān).

1.2 理論分析

以圖1所示的簡(jiǎn)單受控系統(tǒng)為研究對(duì)象.其中，

衛(wèi)星對(duì)象只保留一階模態(tài)頻率，將衛(wèi)星的慣性加速度、太陽(yáng)帆板的轉(zhuǎn)速、太陽(yáng)帆板的彈性變形位移等視為小量，并忽略所有角速度非線性項(xiàng)后，得到簡(jiǎn)化的線性化模型，其約束模型可寫為

(1)

式中，ω1和k1分別表示約束模態(tài)頻率和增益,I是衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ξ為阻尼系數(shù).經(jīng)推導(dǎo)，在忽略阻尼項(xiàng)的情況下，可得到其整體模型如下：

(2)

式中Ω1和K1分別為非約束模態(tài)頻率和模態(tài)增益.

圖1 簡(jiǎn)單PID受控系統(tǒng)框圖

PID控制器的傳遞函數(shù)為

(3)

選用式(2)所示的整體模型作為衛(wèi)星對(duì)象的模型，則受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式(4)所示.

(4)

令式(4)中的分母N(s)=0，如能解出其特征根，即可得到描述受控系統(tǒng)特征頻率與PID控制器參數(shù)之間關(guān)系的解析式.但是，從式(4)可以看到，N(s)=0是一個(gè)五次方程.根據(jù)阿貝爾定理，五次方程一般無(wú)法求得解析解.因此以下將從數(shù)值角度來(lái)分析控制器參數(shù)與受控系統(tǒng)特征頻率間的關(guān)系.

首先通過(guò)計(jì)算體會(huì)PID控制參數(shù)選為某特定值時(shí)受控系統(tǒng)特征頻率與約束模態(tài)頻率、非約束模態(tài)頻率間的數(shù)值差異.取PID控制器參數(shù)為Kp=13.235，Kd=92.502，Ki=0.001;衛(wèi)星的約束模態(tài)頻率ω1=0.11 Hz，約束模態(tài)增益k1=0.018，根據(jù)公式可算得非約束模態(tài)頻率Ω1=0.111 Hz和模態(tài)增益；衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=462.51 kg·m2.將以上參數(shù)代入式(4)，可得到五個(gè)特征根，其分布情況見(jiàn)圖2.

圖2 受控系統(tǒng)特征根分布圖

從圖2可以看出，受控系統(tǒng)在接近原點(diǎn)處有一個(gè)負(fù)實(shí)根，另外有兩對(duì)共軛復(fù)根λ1,2和λ3,4.其中λ1,2離虛軸很近，可認(rèn)為λ1,2是主導(dǎo)極點(diǎn).

因而受控系統(tǒng)有兩個(gè)特征頻點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)于特征根λ1,2和λ3,4.基于物理概念可初步做出如下分析：λ1,2的虛部絕對(duì)值較大，且所對(duì)應(yīng)的阻尼值較小，因而振蕩頻率較大且振蕩時(shí)間較長(zhǎng)，相應(yīng)的頻率應(yīng)該是撓性衛(wèi)星的非約束模態(tài)在受控時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的頻率，稱之為“受控非約束模態(tài)頻率”，記為fc1或Ωc1；相應(yīng)的阻尼稱為“受控非約束模態(tài)阻尼”，記為ξc1.而λ3,4虛部絕對(duì)值較小，且所對(duì)應(yīng)的阻尼值較大，因而振蕩頻率較小且振蕩被較快地衰減，相應(yīng)的頻率則應(yīng)是衛(wèi)星的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)自由度在控制器作用下形成的頻率，稱之為“受控剛體模態(tài)頻率”，記為fc2或Ωc；相應(yīng)的阻尼稱為“受控剛體模態(tài)阻尼”，記為ξc2.

經(jīng)簡(jiǎn)單推導(dǎo)得出，無(wú)阻尼角頻率及阻尼與特征根之間存在如下關(guān)系：

(5)

(6)

而阻尼角頻率與無(wú)阻尼角頻率的關(guān)系如下：

(7)

根據(jù)公式(5)～(7)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，可得到非約束模態(tài)受控頻率值

fc1?0.110 98 Hz

(8)

與設(shè)定的約束模態(tài)頻率和非約束模態(tài)頻率值比較，可見(jiàn)受控系統(tǒng)的非約束模態(tài)頻率值與衛(wèi)星的非約束模態(tài)頻率值非常接近.雖然三者有明顯的概念區(qū)別，但某些情況下三者在數(shù)值上很相近.

1.3 仿真研究及分析

下面通過(guò)仿真研究PID控制器參數(shù)變化時(shí)受控系統(tǒng)兩個(gè)特征頻率的變化規(guī)律.需說(shuō)明的是，仿真中發(fā)現(xiàn)，某些情況下fc2對(duì)應(yīng)的特征根將由共軛復(fù)根蛻變?yōu)閮蓚€(gè)負(fù)實(shí)根，即阻尼值從欠阻尼變?yōu)檫^(guò)阻尼，此情況下，仍舊按式(5)和式(6)計(jì)算頻率和阻尼值.

(1)Kp與受控系統(tǒng)頻率的關(guān)系

取Kd=92.502，Ki=0.001，Kp取值區(qū)間為[1, 1001]，每間隔10取一個(gè)值.

圖3 Kp與非約束模態(tài)受控頻率fc1的關(guān)系圖

圖4 Kp與剛體受控頻率fc2的關(guān)系圖

先考察受控非約束模態(tài)頻率fc1.從圖3和表1可以看出，當(dāng)Kp增大時(shí)，fc1的變化范圍不大，基本在(0.110±0.002) Hz的范圍內(nèi).按fc1變化規(guī)律的不同，圖3大致可分為三個(gè)區(qū)域，fc1較大的變化主要出現(xiàn)在第二個(gè)區(qū)域內(nèi).從表1可以看到，在此區(qū)域內(nèi)受控剛體模態(tài)頻率fc2的值約為0.097 71～0.119 85 Hz，接近fc1的值.這說(shuō)明，此時(shí)受控剛體模態(tài)與一階非約束模態(tài)發(fā)生了較大的耦合作用，因此導(dǎo)致fc1發(fā)生較大變化.以下將第二區(qū)域稱為耦合區(qū)域.

從物理概念上分析，可以將衛(wèi)星受控系統(tǒng)理解成一個(gè)簡(jiǎn)單彈簧-阻尼器-質(zhì)量系統(tǒng)，當(dāng)Kp趨于無(wú)限大時(shí)，相當(dāng)于彈簧的剛度趨于無(wú)限大，這種情況相當(dāng)于衛(wèi)星的中心體被牢牢“卡”住，因而此時(shí)非約束模態(tài)受控頻率趨于衛(wèi)星帆板的約束模態(tài)頻率.

再考察剛體受控頻率fc2.從圖4和表1的結(jié)果可以看出，當(dāng)Kp值增大時(shí)，受控系統(tǒng)的剛體受控頻率fc2將隨之增大.對(duì)此可從理論上分析如下：對(duì)于簡(jiǎn)單的單剛體衛(wèi)星，經(jīng)推導(dǎo)，其受控系統(tǒng)特征頻率(用ωrgd表示)與Kp和Kd存在如下關(guān)系：

(9)

由式(9)可見(jiàn)，ωrgd相對(duì)于Kp呈拋物線變化趨勢(shì)(由于ωrgd>0故拋物線只有半支)，該結(jié)果與仿真結(jié)果相符(見(jiàn)圖4和表1).

(2)Kd與受控系統(tǒng)頻率的關(guān)系

取Kp=13.235，Ki=0.001，Kd取值區(qū)間為[1,1001]，每間隔10取一個(gè)值.

圖5 Kd與受控非約束模態(tài)頻率fc1的關(guān)系圖

圖6 Kd與受控剛體模態(tài)頻率fc2的關(guān)系圖

從圖5和表2可以看出，當(dāng)Kd值在較大范圍內(nèi)變化時(shí)，非約束模態(tài)受控頻率fc1的變化范圍較小.當(dāng)Kd值增大時(shí)，fc1的值隨之單調(diào)減小；當(dāng)Kd值增長(zhǎng)到較大值并持續(xù)增大時(shí)，fc1的值緩慢減小并逐漸逼近頻率值0.110 Hz，即衛(wèi)星的約束模態(tài)頻率值.

同樣可以從物理概念上對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行分析.將衛(wèi)星受控系統(tǒng)理解成一個(gè)簡(jiǎn)單彈簧-阻尼器-質(zhì)量系統(tǒng)，當(dāng)Kd趨于無(wú)限大時(shí)，相當(dāng)于阻尼器的阻尼趨于無(wú)限大，這種情況相當(dāng)于衛(wèi)星的中心體被牢牢“粘”住，因而此時(shí)非約束模態(tài)受控頻率趨于衛(wèi)星帆板的約束模態(tài)頻率.

從圖6和表2可見(jiàn)看出，當(dāng)Kd值增大時(shí)，剛體受控頻率fc2的值先減小而后增大，圖中存在一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，轉(zhuǎn)折點(diǎn)處Kd=161.經(jīng)分析知，在Kd=161這一特定值處，受控剛體模態(tài)阻尼ξc2由小于1變?yōu)榇笥?，即由欠阻尼變?yōu)檫^(guò)阻尼.

(3)Ki與受控系統(tǒng)頻率的關(guān)系

取Kp=13.235，Kd=92.502，Ki取值區(qū)間為[0.001,2.501]，每間隔0.1取一個(gè)值.

從圖7可以看出，當(dāng)Ki變化時(shí)，受控非約束模態(tài)頻率與受控剛體模態(tài)頻率fc2的變化范圍均很小.說(shuō)明參數(shù)Ki對(duì)受控系統(tǒng)特征頻率的影響很小，可以忽略不計(jì).

圖7 Ki與受控非約束模態(tài)頻率及受控剛體模態(tài)頻率的關(guān)系圖

表1 Kp與受控系統(tǒng)兩個(gè)頻率的關(guān)系仿真數(shù)據(jù)列表

表2 Kd與受控系統(tǒng)兩個(gè)頻率的關(guān)系仿真數(shù)據(jù)列表

綜合上述三個(gè)仿真可見(jiàn)，PID控制器參數(shù)中，對(duì)受控系統(tǒng)特征頻率有影響的主要是Kp和Kd，而Ki的影響很小，可以忽略.圖8給出了Kp和Kd與非約束模態(tài)受控頻率fc1之間的三維關(guān)系圖.

圖8 Kp、Kd與受控非約束模態(tài)頻率fc1的三維圖

從三維圖可以直觀看出PID控制器參數(shù)取不同值時(shí)所對(duì)應(yīng)的受控非約束模態(tài)頻率值及其變化趨勢(shì).從圖8中的色柱可以看到，當(dāng)Kp和Kd在較大范圍內(nèi)變化時(shí)，受控非約束模態(tài)頻率的變化區(qū)間大約為[0.104 Hz, 0.116 Hz]，變化范圍是比較小的，大部分區(qū)域?qū)?yīng)的頻率值都非常接近0.11 Hz，即衛(wèi)星的約束模態(tài)頻率值.當(dāng)Kp值在如圖3所示的耦合區(qū)域且Kd值較小時(shí)(小于100)，受控非約束模態(tài)頻率fc1的變化幅度相對(duì)較大(見(jiàn)圖8曲面中凸起的區(qū)域).

保留高階模態(tài)后，對(duì)應(yīng)非約束受控頻率變化情況與圖8類似.

2 受控特征頻率在閉環(huán)在軌辨識(shí)中的應(yīng)用

仍以1.3節(jié)的衛(wèi)星模型為控制對(duì)象，即一階約束模態(tài)頻率值為0.11 Hz.PID控制器參數(shù)按剪切頻率ωc=0.2·2π?1.256 6 rad/s和相位裕度γ=40°進(jìn)行設(shè)計(jì)，取Kp=570.25，Kd=363.14，Ki=0.001.此時(shí)受控系統(tǒng)的帶寬將包含一階模態(tài)頻率點(diǎn)，為兼顧系統(tǒng)帶寬和穩(wěn)定性要求，引入諧振濾波器.

PID控制中引入諧振濾波器后的控制系統(tǒng)示意框圖如圖9所示.

圖9 引入諧振濾波器的PID控制系統(tǒng)框圖

諧振濾波器的一般形式為[3]

(10)

式中，ωz和ωp分別為濾波器的零、極點(diǎn)頻率，由在軌辨識(shí)結(jié)果確定，通過(guò)將諧振濾波器的極點(diǎn)頻率設(shè)置在特定模態(tài)頻率附近，加強(qiáng)該頻率的負(fù)反饋，能夠起到抑制振蕩的作用.

前面已經(jīng)提到，受控系統(tǒng)特征頻率在軌辨識(shí)的結(jié)果即為衛(wèi)星的受控非約束模態(tài)頻率.根據(jù)PID控制器參數(shù)的設(shè)置，容易計(jì)算得到受控非約束模態(tài)頻率值的理論值，計(jì)算結(jié)果為：fc=0.110 43 Hz.假設(shè)通過(guò)在軌辨識(shí)準(zhǔn)確地得到了該頻率值，即取ωz=ωp=2πfc?0.693 85 rad/s，同時(shí)設(shè)置ξz=0.1，ξp=0.005，由此得到諧振濾波器的傳遞函數(shù)為

(11)

對(duì)引入諧振濾波器的受控系統(tǒng)進(jìn)行0°到1°階躍響應(yīng)仿真，并與不加結(jié)構(gòu)濾波器時(shí)的結(jié)果進(jìn)行比較.仿真結(jié)果顯示，引入諧振濾波器后，姿態(tài)角速度由4.396×10-3(°)/s減小為1.557×10-4(°)/s，姿態(tài)角偏差如圖10所示.

圖10 階躍響應(yīng)姿態(tài)角偏差比較

從以上仿真結(jié)果可以看出，在諧振濾波器的作用下，階躍響應(yīng)的姿態(tài)角偏差大幅度減小，取得了良好的控制效果，同時(shí)穩(wěn)定度得到了提高.

以上結(jié)果是在假設(shè)在軌辨識(shí)能夠準(zhǔn)確得到受控模態(tài)頻率值的前提下得到的，而實(shí)際中受各種因素影響必然會(huì)存在著辨識(shí)誤差，此時(shí)便不能準(zhǔn)確地設(shè)置諧振濾波器的零極點(diǎn)頻率值.下面進(jìn)行進(jìn)一步研究，通過(guò)仿真觀察濾波器的零極點(diǎn)頻率設(shè)置對(duì)濾波效果的影響.

分別將諧振濾波器的零極點(diǎn)頻率設(shè)置為衛(wèi)星約束模態(tài)頻率0.11 Hz附近的不同值，觀察最終輸出姿態(tài)角偏差的變化情況.結(jié)果見(jiàn)圖11.

圖11 諧振濾波器頻率設(shè)置與姿態(tài)角偏差的關(guān)系曲線

從圖11可以看出，當(dāng)諧振濾波器零極點(diǎn)頻率設(shè)置在衛(wèi)星約束模態(tài)頻率點(diǎn)時(shí)，可取得最佳的濾波效果；當(dāng)零極點(diǎn)頻率在約束模態(tài)頻率值附近較大的范圍內(nèi)變化時(shí)，都可以得到良好的濾波效果.

3 結(jié) 論

本文研究了撓性衛(wèi)星的兩類模態(tài)頻率及其在受控情況下的特征頻率.僅保留一階撓性模態(tài)時(shí)，撓性衛(wèi)星的PID受控系統(tǒng)有兩個(gè)特征頻率，分別為撓性衛(wèi)星的非約束模態(tài)在受控時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的頻率fc1(即受控非約束模態(tài)頻率)以及衛(wèi)星的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)自由度在控制器作用下形成的頻率fc2(即受控剛體頻率).仿真結(jié)果表明，Kp和Kd的值越大，則fc1越接近衛(wèi)星的約束模態(tài)頻率值，從數(shù)值仿真及物理概念中，可以預(yù)見(jiàn)當(dāng)Kp和Kd趨于無(wú)窮時(shí)，fc1將趨于約束模態(tài)頻率值；剛體模態(tài)頻率fc2隨Kp近似按拋物線形式變化，隨Kd的增大近似呈線性趨勢(shì)增長(zhǎng).Ki對(duì)非約束模態(tài)受控頻率和剛體受控頻率幾乎沒(méi)有影響.在保留多階模態(tài)時(shí)也有相似結(jié)果.

本文最后結(jié)合仿真算例研究了受控系統(tǒng)特征頻率在在軌辨識(shí)中的應(yīng)用，通過(guò)在傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)的反饋通道中引入諧振帶通濾波器，并以在軌辨識(shí)得到的受控系統(tǒng)特征頻率設(shè)置諧振濾波器參數(shù)，能夠有效提高控制精度，并且諧振濾波器對(duì)參數(shù)的設(shè)置精度要求相對(duì)比較寬松.