曹艷波,艾 華

(中國科學院長春光學精密機械與物理研究所,吉林長春 130033)

1 引 言

閃耀光柵是一種能將單個刻槽面衍射的中央極大和諸槽面間干涉零級主極大分開的相位型光柵。閃耀光柵的刻槽面與光柵面不平行,兩者之間有一夾角 (稱為閃耀角),從而使單個刻槽面(相當于單縫)衍射的中央極大和諸槽面間 (縫間)干涉零級主極大分開,將光能量從干涉零級主極大,即零級光譜,轉移并集中到某一級光譜上去,實現(xiàn)該級光譜的閃耀[1]。而閃耀光柵的衍射效率理論上可以利用基于惠更斯-菲涅耳原理和基爾霍夫積分的標量衍射理論進行計算,但結果只是近似,特別是對于微小尺寸光柵,無法避免由于入射光的偏振態(tài)而造成的偏差。矢量衍射理論主要針對處于共振區(qū)域或亞波長區(qū)域的光柵,耦合波方法是目前廣泛使用的一種矢量衍射理論,由M.Moharma率先提出,20世紀 90年代在穩(wěn)定性、收斂性和計算效率方面得到不斷完善[2,3]。矢量衍射理論的基礎是嚴格電磁波理論,即通過在適當?shù)倪吔鐥l件上嚴格地求解 Maxwell方程組,嚴格耦合波分析算法 (Rigorous Coupled Wave Analysis,RCWA)是通過在適當?shù)倪吔鐥l件上嚴格地求解Maxwell方程組來數(shù)值分析光柵的衍射問題。

本文提出將矢量衍射數(shù)值算法—嚴格耦合波分析應用于亞波長閃耀光柵衍射效率的計算,介紹了如何利用嚴格耦合波算法來分析光柵的衍射問題。以金屬鋁閃耀光柵為例進行了衍射效率的分析計算,得到其衍射效率在 TE偏振態(tài)下可達到 90%以上,并在 -5衍射級次上產生閃耀。

2 矢量衍射算法—嚴格耦合波分析

耦合波理論主要包括 3個步驟:(1)由Maxwell基本方程組求得入射區(qū)域及透射區(qū)域電磁場的表達式,但這往往可以由 Rayleigh展開式直接給出;(2)將光柵區(qū)域內的介電常數(shù)及電磁場用傅里葉級數(shù)展開,并由 Maxwell基本方程組推導出耦合波方程組;(3)在不同區(qū)域邊界面上運用電磁場邊界條件,通過一定的數(shù)學方法求得各級衍射波的振幅及衍射效率。耦合波將電磁場按衍射級次展開,因而耦合波方法涉及到的數(shù)學理論更為簡單。

由于 TE和 T M兩種偏振的分析計算方法相同,本文只分析 TE偏振態(tài)波入射的情況。電場矢量平行于刻槽方向,設入射平面波的波長為λ0,由于在入射區(qū) 1和透射區(qū) 2(如圖1所示)介電常數(shù)為常數(shù),根據(jù) Rayleigh展開式[2],兩個區(qū)的電場分布為:

圖1 一維矩形衍射光柵示意圖Fig.1 Schematic diagram of one d imension rectangle diffraction grating

式中Rm和Tm分別為第m級后向衍射和前向衍射的歸一化電場振幅,d為光柵刻槽深度,k0為入射光在真空中的波矢。kxm=k0[n1sinθ+m(λ0/T)];kl,zm=;l=1,2;kxm,kl,zm只能為正實數(shù)或負虛數(shù)。

通過計算矩陣的特征值和特征向量來求解嚴格耦合波方程[3]:

式中qi和wm,i分別為矩陣 A的特征值的正平方根和特征向量;gm,i為矩陣 G的元素,G=WQ,Q為對角矩陣,元素qi,系數(shù)由邊界條件確定。代入邊界條件方程,并根據(jù)定義,可以得出光柵的衍射效率為:

對于不規(guī)則結構的閃耀光柵,可以將其分為若干層,每一層當作是一個矩形光柵,從而任意面形光柵可由若干占空比不同、周期相同的矩形光柵進行依次疊加來近似,矩形越小,層數(shù)越多,簡化結構越接近實際結構,計算結果更精確,但是也會影響到計算結果的收斂性,如圖2所示。

圖2 閃耀光柵的二維簡化計算模型Fig.2 Two d imension simplyfied model of blazed grating

對于任意的第l層,考慮到算法的繼承性,直接從第l層的 TE偏振電場和磁場空間諧波振幅開始算起:

式中di為第i層的厚度,Dl=dk,其他參數(shù)如前所述。迭代計算即可求出復雜多層結構的衍射效率,對于計算過程中出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定性問題,可以采用增強透射矩陣算法得到較好的解決[4],通過帶入邊界條件,可以得到多層結構的綜合算式:

式中 X,Y1和 Y2都為對角矩陣,其對角元素分別為 exp(-k0qid),k1,zi/k0和k2,zi/k0,由此式也可以得出透射效率的計算結果。

3 閃耀光柵衍射效率的計算分析結果

利用上述嚴格耦合波分析算法,對亞波長閃耀光柵進行分析計算。分析對象為將二氧化硅表面鍍的純金屬鋁膜刻蝕而成的楔形閃耀光柵,光柵的截面幾何結構如圖3所示。光柵參數(shù)為:閃耀角β=11.3°,光柵常數(shù)d=500 nm。

圖3 閃耀光柵截面尺寸折射率云圖Fig.3 Contour map of cross-section profile of blazed grating

由于計算分析的譜段為可見光范圍,金屬材料對可見光的吸收率大,而且折射率隨波長變化比較大,金屬鋁在可見光波段內的折射率如表1所示[5],而底層材料二氧化硅對可見光的折射率可以近似為常數(shù),約為 1.45。

表1 可見光范圍內金屬鋁不同波長的折射率[5]Tab.1 Refractive indice of alum in ium in VIS spectral coverage[5]

通過簡化結構后對該光柵進行計算,可以得到光柵各級衍射效率 (包括反射、透射和吸收,由于金屬介質對可見光波段的消光系數(shù)大,透射為零),多層光柵結構周期相同,占空比不同,在入射角為閃耀角 (即θ=11.3°)時,分別計算 TE和T M兩種偏振態(tài)下的衍射效率。各級衍射效率之和 (±6級)如圖4所示,對應級次為 -5的衍射效率的閃耀方向如圖5所示。

圖4 入射角為閃耀角時計算的各級衍射效率之和Fig.4 Total diffraction efficiency when launch angle is a blazed angle

圖5 入射角為閃耀角時 -5級次的衍射效率Fig.5 Diffraction efficiency of-5 order when launch angle is a blazed angle

從結果可以看出,在可見光譜段內,TE偏振態(tài)的衍射效率要高于 T M偏振態(tài),衍射效率主要集中在 0級,但是在 -5級出現(xiàn)閃耀,同樣級次在短波段范圍內,T M偏振態(tài)的衍射效率略高于 TE偏振態(tài) (除了個別奇異點外,二者趨于一致)。

利用標量衍射的算法對該結構進行計算[1],結果如圖6和圖7所示,在入射條件和計算的衍射級次不變的前提下,不考慮入射光的偏振態(tài),得出閃耀的衍射級次和總的衍射效率,可以得到相同的衍射效率結果 (由于波長/光柵常數(shù)比不在標量衍射計算范圍),計算結果必然存在很大偏差[6,7]。

圖6 標量衍射計算的各級衍射效率之和Fig.6 Total diffraction efficiency using scalar diffraction computingmethod

圖7 標量衍射計算的 -1級次的衍射效率Fig.7 Diffraction efficiency of-1 order using scalar diffraction computingmethod

4 結 論

本文將矢量衍射數(shù)值算法—嚴格耦合波分析應用于亞波長閃耀光柵衍射效率的計算,該方法能夠計算任意復雜輪廓光柵,通過細分分層,可以得到光柵基本單元,各層之間通過增透矩陣算法來實現(xiàn)多層的傳遞計算,結果相對于標量衍射計算方法能得到更加精確的結果。對于亞波長閃耀光柵在可見光范圍內以閃耀角入射時的各級衍射效率進行計算,得到其衍射效率在 TE偏振態(tài)下可以達到 90%以上,并在 -5衍射級次上產生閃耀。矢量衍射數(shù)值算法可以適用于刻線更加致密的閃耀光柵,可以得到精確的衍射效率分析計算結果。

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