安吉高級(jí)中學(xué) 劉水珍

湖州師范學(xué)院信息與工程學(xué)院 蔣林華

磁單擺混沌系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

安吉高級(jí)中學(xué) 劉水珍

湖州師范學(xué)院信息與工程學(xué)院 蔣林華

一、實(shí)驗(yàn)原理

100多年前，玻耳曼將“Chaos”作為科學(xué)術(shù)語(yǔ)使用；20世紀(jì)40年代，維綱納在他的論文題目中采用了“混沌”這一術(shù)語(yǔ)，其內(nèi)涵指隨機(jī)過(guò)程所引起的無(wú)序狀；近期，“混沌”這一術(shù)語(yǔ)用以專(zhuān)指決定論系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機(jī)行為。

在教學(xué)中，關(guān)于“混沌”現(xiàn)象的理論闡述比較復(fù)雜，我們可以通過(guò)磁單擺實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生理解這一科學(xué)現(xiàn)象。在實(shí)驗(yàn)中：可以拉開(kāi)擺球到某個(gè)位置，沿其向下擺動(dòng)的方向畫(huà)一個(gè)小箭頭，以研究不同位置作用于擺球上的力使小球向左擺還是向右擺，還是左右兩邊用力均等。那些左右作用力相等的位置可以連成幾條不穩(wěn)定線，其圖形稱(chēng)為“美茜蒂絲—本茨星”。這一圖形揭示磁單擺混沌系統(tǒng)的關(guān)鍵特征，即存在略有不同的初始位置、微小擾動(dòng)的沖量以及運(yùn)動(dòng)過(guò)程中多次通過(guò)的不穩(wěn)定平衡區(qū)。

二、磁單擺混沌系統(tǒng)的演示儀

如圖1所示，將長(zhǎng)度為60cm的銅棒作為支架固定在木制材料的底座上，并在銅棒支架的50cm處伸出一長(zhǎng)度為25cm的銅棒作為橫梁，在橫梁上懸一長(zhǎng)約45cm的細(xì)繩，繩的另一端系一枚直徑為2.0cm的小鋼球（帶小孔）。

圖1 磁單擺裝置

再取一個(gè)普通單擺和一套醫(yī)療用的一次性輸液器、針頭（盡量取小號(hào)的，如5號(hào)）及輸液瓶。用剪刀剪去針頭后的部分塑料管，將針頭直接插入擺球的穿線孔中（孔中有擺線）。然后將針頭后的細(xì)軟塑料管沿單擺的擺線用很細(xì)的繩子分段扎好，在單擺的懸點(diǎn)下5cm左右處扎好塑料管，上邊不要扎，懸空或在上邊用一細(xì)繩吊著即可（目的是讓其能自由活動(dòng)，不至于因單擺的擺動(dòng)而來(lái)回彎折，產(chǎn)生阻尼）。細(xì)軟管的上方接輸液器，輸液器后部插入輸液瓶中，瓶中裝上水（為使得到的圖像清晰，可在水中加入適量的墨水），將輸液瓶用鐵架臺(tái)支撐在單擺懸點(diǎn)的上方或用手拿著。

如圖2所示，3個(gè)小磁鐵分布在一個(gè)平面內(nèi)，位于正三角形的3個(gè)頂點(diǎn)上，磁鐵中心離正三角形中心4cm，3個(gè)小磁鐵用環(huán)氧樹(shù)脂固結(jié)在圓形有機(jī)玻璃板上，并在底板上以方格紙繪制極坐標(biāo)，小磁鐵的直徑為2cm，厚度為3cm，小磁鐵采用的是硬磁材料，它的成分為釹鐵硼，磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.22T。

圖2 底座磁鐵分布

三、實(shí)驗(yàn)步驟

1.如圖1所示安裝好儀器，3個(gè)扁平形的磁鐵固定在正三角形的3個(gè)頂點(diǎn)上，N極（或S極）均向上，在正三角形的中心上方懸一鋼質(zhì)小球。

2.在底座上放一張白紙（大小根據(jù)需要自定，最好是可以吸水的而且不易化開(kāi)的宣紙），調(diào)整磁鐵所在的正三角形的中心至其恰好位于懸線的延長(zhǎng)線上。

3.將輸液瓶瓶口向下，打開(kāi)輸液器的開(kāi)關(guān)，先排出輸液器和針頭中的空氣，然后關(guān)掉輸液器的開(kāi)關(guān)。

4.拉開(kāi)單擺的擺球一個(gè)任意角度，并在擺球正下方相應(yīng)白紙上作好起始點(diǎn)的記號(hào)，打開(kāi)輸液器的開(kāi)關(guān)，同時(shí)放開(kāi)擺球讓其自由擺動(dòng)。

5.再換一張白紙，重復(fù)2，3，4步驟。

6.注意事項(xiàng)。注意3個(gè)磁鐵的磁極強(qiáng)度應(yīng)近似相等、調(diào)整磁鐵所在的正三角形的中心至其恰好位于懸線的延長(zhǎng)線上、并給予鋼球以不同的初始條件。

7.討論與思考。依據(jù)磁庫(kù)侖定律，采用逐次疊代法，給定初始位置，用Matlab編程，可繪出擺球的混沌圖；若采用CCD裝置，則可在熒屏上實(shí)時(shí)跟蹤混沌擺的運(yùn)動(dòng)徑跡。

四、結(jié)論

綜上，本文介紹了一種簡(jiǎn)便實(shí)用的自制磁單擺混沌圖像演示儀的教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)模型，利用簡(jiǎn)易實(shí)效的產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的方法，解決了理論課教學(xué)中存在的混沌系統(tǒng)講述缺乏演示的問(wèn)題，并在原有實(shí)驗(yàn)儀的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)。仿真實(shí)驗(yàn)表明：此方法保持了混沌系統(tǒng)的良好特性，有一定的實(shí)用價(jià)值。