朱 瑩

(揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系,江蘇揚(yáng)州 225009)

交錯(cuò)擴(kuò)散對于Turing 不穩(wěn)定現(xiàn)象的影響

朱 瑩

(揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系,江蘇揚(yáng)州 225009)

對建立在生態(tài)學(xué)基礎(chǔ)上的一類具有H¨olling-III型功能性響應(yīng)函數(shù)的捕食常微分模型及其對應(yīng)的偏微分模型進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)交錯(cuò)擴(kuò)散可以把不穩(wěn)定的只具有自擴(kuò)散的偏微分方程組變成穩(wěn)定的偏微分系統(tǒng),也可以把穩(wěn)定的變成不穩(wěn)定的系統(tǒng).

H¨olling-III型;正常數(shù)平衡解;Turing不穩(wěn)定;自擴(kuò)散;交錯(cuò)擴(kuò)散

0 引言

Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象是1952年英國科學(xué)家Turing首次提出的.Turing認(rèn)為,在滿足一定條件下,在同一個(gè)正常數(shù)平衡解處常微分模型是穩(wěn)定的,但對于加入擴(kuò)散作用的偏微分模型卻是不穩(wěn)定的[1].這一現(xiàn)象已通過化學(xué)實(shí)驗(yàn)得到驗(yàn)證,近年來被用于解釋生態(tài)現(xiàn)象,受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[2-5].用數(shù)學(xué)方法解釋生態(tài)現(xiàn)象已有不少報(bào)道[6,7].特別是對捕食模型長時(shí)間形態(tài)的研究[8-10].在本文中筆者主要探討交錯(cuò)擴(kuò)散對于一類具有H¨olling-Ⅲ型功能性響應(yīng)函數(shù)的捕食模型Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象的影響.我們考慮是這樣的帶參數(shù)偏微分系統(tǒng)

記:

其中Ω是Rn中的有界區(qū)域,γ是?Ω上的單位外法向量,d,λ>0,初始函數(shù) c(x),d(x)均是不恒等于零非負(fù)光滑函數(shù).自擴(kuò)散系數(shù)為1,d,交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)為 e1,e2,自擴(kuò)散表示種群在自身所在范圍內(nèi),從密度高的地方向密度低的地方遷移.交錯(cuò)擴(kuò)散作用表示種群從一個(gè)種群向另一個(gè)種群遷移的狀況.假定擴(kuò)散矩陣為 D,則

且滿足

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[11]如果

那么系統(tǒng)(5)在正常數(shù)平衡解(u0,v0)處穩(wěn)定,其中

為系統(tǒng)

現(xiàn)在我們在正平衡解(u0,v0)對于系統(tǒng)(5)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上,討論正平衡解(u0,v0)對于系統(tǒng)(1)的不穩(wěn)定性.在正平衡解(u0,v0)處對系統(tǒng)(1)進(jìn)行線性化,令

為了書寫的方便,我們依舊用 u(x,t),v(x,t)代替函數(shù) U(x,t),V(x,t),則

這樣正平衡解(u0,v0)對于系統(tǒng)(1)不穩(wěn)定就等價(jià)于平衡解(0,0)對于系統(tǒng)(6)不穩(wěn)定.將有界空間Ω進(jìn)行正交分解后,令(u,v)=(c1,c2)eμtXi(x),其中 Xi(x)是特征值δi所對應(yīng)的特征空間基向量.代入系統(tǒng)(6)在范圍{(x,t)|x∈Ω,t>0}上得到方程

由于對于任意的 t>0,x∈Ω有eμtXi(x)≠0,從而有特征方程為

考慮正平衡解(u0,v0)對于系統(tǒng)(1)不穩(wěn)定,只要關(guān)于μ的方程(8)一個(gè)具有正實(shí)部的解即可.定義矩陣,D如(3)定義.經(jīng)過計(jì)算有

其中

由于Trace(J)<0,d>0,λ>0,則有Trace(Mi)<0,所以關(guān)于μ的函數(shù)(8)有一個(gè)具有正實(shí)部解的必要條件為

下面在滿足條件(12)進(jìn)行討論關(guān)于μ的函數(shù)(8)在什么情況下存在一個(gè)具有正實(shí)部的根.由于

從而要使得存在某些δi>0滿足det(Mi)<0.通過對det(Mi)配方,我們在取得最小值必須小于零,即:

在條件(12)和(13)滿足的情況下,關(guān)于δi等式Det(Mi)=0存在兩個(gè)正根

2 主要結(jié)果

綜合上面的討論我們有以下結(jié)論:

定理1 假設(shè)在滿足引理1條件的情況下,(u0,v0)是系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(5)的正常數(shù)平衡解,如果det(Mi)<0,F(J,D)<0滿足,并且存在某些δi使得不等式

成立,那么系統(tǒng)(1)在(u0,v0)處不穩(wěn)定;但是如果Det(Mi)>0或者 F(J,D) ≤0,那么系統(tǒng)(1)在

(u0,v0)處穩(wěn)定.其中Det(Mi),F(J,D),k1,k2分別如(13)、(11)、(14)、(15) 定義.

注 定理1給出的是關(guān)于系統(tǒng)(1)存在自擴(kuò)散或是交錯(cuò)擴(kuò)散或是兩種擴(kuò)散同時(shí)存在時(shí)的一個(gè)一般結(jié)論.如果我們在一維空間(0π,)中考慮問題,即考慮下面的系統(tǒng)

這時(shí)系統(tǒng)(17)中 -Δ算子的特征值

進(jìn)一步地,我們可以通過類似定理2的討論,得到下面定理:定理2 條件如同定理2,如果存在λ使得不等式

即

成立,那么系統(tǒng)(17)在(u0,v0)處不穩(wěn)定,其中det(J)=fugv-fvgu.

下面我們具體分析一下定理3,討論擴(kuò)散的作用,從而得出交錯(cuò)擴(kuò)散對于Turing不穩(wěn)定的影響.比較條件

和條件

我們很容易看出,當(dāng)交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)e1,e2滿足一定條件時(shí),條件(18)成立,但是條件(19)不成立,同樣地,當(dāng)e1,e2滿足另外一個(gè)一定條件時(shí),條件(18)不成立,條件(19)卻是成立的.這說明加入交錯(cuò)擴(kuò)散后,將改變原來系統(tǒng)的穩(wěn)定性,不管自擴(kuò)散系統(tǒng)是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的;也就是說,交錯(cuò)擴(kuò)散對Turing不穩(wěn)定有較大影響.

[1] Turing A M.The chemical basis of morphogenesis[J].Phil Tran R Soc Lond B,1952,237(641):37-72.

[2] Lin Z G,Pedersen M.Stability in diffusive food-chain model with Michaelis-Menten functional response[J].Nonlinear Anal,2004,57(3):421-433.

[3] 陳蘭蓀.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)模型和研究方法[M].北京:科學(xué)出版社,1988.

[4] Nec Y,Nepomnyashchy A A.Turing instability of anomalous reaction-anomalous diffusion systems[J].European J Appl Math,2008,19(3):329-349.

[5] Dawes J H P,Proctor M R E.Secondary Turing-type instabilities due to strong spatial resonance[J].Math Phys Eng Sci,2008,464(20):923-942.

[6] Santoianu R A,Vandan D P.Some remarks on matrix stability with application to Turing instability[J].Linear Algebra Appl,2005,398(1):69-74.

[7] Sannoianu R A,Maini P K,Menzinger M.Turing instabilities in general systems[J].Math Biol,2000,41(6):493-512.

[8] 凌智,周玲,黃春妍.具時(shí)滯與不具時(shí)滯互惠模型拋物系統(tǒng)解的性質(zhì) [J].揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003,6(4):11-14.

[9] 許飛,侯燕,林支桂.帶時(shí)滯的具有階段結(jié)構(gòu)的捕食拋物型方程組[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,48(6):1121-1130.

[10] 陳蘭蓀,井竹君.捕食者-食餌相互作用中微分方程的極限環(huán)存在性和唯一性[J].科學(xué)通報(bào),1984,24(9):521-523.

[11] 朱瑩,張群英.一類具有H¨olling-Ⅲ型捕食模型的Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象[J].揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,12(4):6-9.

The Cross-Diffusion Can Induce the Turing Instability Phenomenon

ZHU Ying
(Department of Mathematics,Yangzhou Vocational University,Yangzhou Jiangsu 225009,China)

This paper is devoted to study of an ODE system for predator-prey model with functional responses of H¨olling-III type and the corresponding PDE system established in ecology.We discuss the conditions under which Turing instability phenomenon is induced for the same constant equilibrium solution by linearization and eigenvalue.In this section,we show that under some conditions the cross-diffusion can induce the Turing instability phenomenon.

Holling-III;constant equilibrium solution;turing instability;self-diffusion;cross-diffusion

O175.26

A

1671-6876(2010)04-0295-04

2010-01-16

朱瑩(1973-),男,江蘇邗江人,講師,碩士,研究方向?yàn)槠⒎址匠?

[責(zé)任編輯:李春紅]