劉家軍，黃少杰

(廣東商學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510320)

隨機利率下壽險定價風(fēng)險的VAR分析

劉家軍，黃少杰

(廣東商學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510320)

在隨機利率下對壽險定價的利率風(fēng)險進行分析.通過對隨機利率模型進行參數(shù)估計和假設(shè)檢驗，選擇CIR模型為產(chǎn)生模擬利率的基礎(chǔ)，推導(dǎo)出基于隨機利率的定期壽險毛保費表達式，結(jié)合加拿大資產(chǎn)負債方法為產(chǎn)品定價，并利用在險價值（VAR）度量定價的利率風(fēng)險.

CKLS模型；VAR；人壽保險；隨機利率；加拿大資產(chǎn)負債方法

0 引言

利率風(fēng)險是保險公司主要的風(fēng)險因素，傳統(tǒng)的保單在對壽險產(chǎn)品定價時是以一個預(yù)定利率進行貼現(xiàn).但是市場利率不是固定不變的，當(dāng)市場利率低于預(yù)定利率時，保險基金的收益水平下降，會給保險公司帶來損失.當(dāng)市場利率高于預(yù)定利率時，投保人又有可能會為獲得更高的收益而退保，同樣會給保險公司帶來償付能力方面的風(fēng)險.為了有效規(guī)避利率波動給保險公司帶來的風(fēng)險，有必要使用隨機利率對保險產(chǎn)品進行利率風(fēng)險的分析.

1 隨機利率模型實證分析

1.1 思路概述

由于使用預(yù)定利率定價缺乏靈活性，一些學(xué)者嘗試?yán)秒S機利率對壽險產(chǎn)品進行定價.1976年，Boyel[1]考慮了壽險與年金中死亡率與利率均為隨機的情況，即所謂的“雙隨機性”.吳金文和楊靜平[2]針對隨機利率壽險模型，考慮一保單組平均給付額的性質(zhì)，但是利率的不確定性仍然存在；趙靜宇、郭士杰、羅傳光[3]把Vasicek模型引入到壽險產(chǎn)品定價研究中，推導(dǎo)出在隨機利率下毛保費的分布，討論了以毛保費均值和中位數(shù)定價的合理性.

大部分文獻是通過隨機利率為保險產(chǎn)品定價.當(dāng)前，我國的保險監(jiān)督機構(gòu)對保險定價的預(yù)定利率有十分嚴(yán)格的規(guī)定，導(dǎo)致隨機利率定價無法直接應(yīng)用在實務(wù)中.不過，可以根據(jù)預(yù)定利率定出的價格，在隨機利率的環(huán)境下，分析損失的可能.本文把銀行業(yè)的風(fēng)險管理工具VAR系統(tǒng)引入到壽險定價中，分析傳統(tǒng)方法定出的價格所面臨的利率風(fēng)險，用實例說明VAR在化解利率風(fēng)險方面的作用，并實證了加拿大資產(chǎn)負債方法[4]在定價方面的應(yīng)用.

1.2 利率期限結(jié)構(gòu)的單因子模型

目前國際上對隨機利率的研究主要是4個重要的利率期限結(jié)構(gòu)的單因子模型：Merton模型、Vasicek模型、CIR模型和CKLS模型.CKLS模型是其中最一般的模型[5]，其它模型都是CKLS模型的特例.CKLS模型假設(shè)利率服從隨機過程rt，rt滿足：

其中rt是利率，Wt是布朗運動，α=kθ，β=-k，k是均值回歸的速率，k＞0，θ是利率均值，σ是利率的標(biāo)準(zhǔn)差，θ和σ為常數(shù).θ表示rt的長期水平，它又是一臨界值，當(dāng)rt=θ時，漂移項k（θ-rt）·d t為零，當(dāng)rt＞θ時，漂移項為負，這樣rt有向下運動的趨勢，當(dāng)rt＜θ時，rt有向上運動的趨勢，從而瞬時利率圍繞θ上下波動，體現(xiàn)了均值回復(fù)的特征.漂移項是rt的線性函數(shù).

1.3 CKLS模型的最大似然估計（MLE）

從穩(wěn)定性和有效性比較，MLE方法優(yōu)于其他估計方法，用MLE估計參數(shù)更具有吸引力[5].Nowman[6]使用離散化的方法來估計CKLS模型，他首先將式（1）離散化，然后利用MLE對參數(shù)進行估計.Nowman的方法離散化后得到方程：

其中τ是微分變量，εt（t=1，2，…，T）滿足條件:

由式（2）可得到εt（r0，…，rt-1）的似然函數(shù)：

其中，f（rTrT-1，…，r0；Θ）為（rT，rT-1，…，r0）的聯(lián)合概率密度函數(shù)，T表示當(dāng)前這一期.f（ri+1ri；Θ）為轉(zhuǎn)移密度函數(shù)，Θ為參數(shù)向量.

由于假設(shè)利率是一個擴散過程，所以離散化后的利率過程具有馬氏性，在0時刻，t0已知，所以其概率密度函數(shù)f（r0）=1且εt（r0，…，rt-1）服從正態(tài)分布.將f（ti+1ti；Θ）代入，對式（2）的似然函數(shù)取對數(shù)，可得：

1.4 利率模擬的實證結(jié)果

上海銀行間同業(yè)拆放利率（Shibor）的推出是中國利率市場化標(biāo)志性的一步，是中國貨幣市場的基準(zhǔn)利率.我們選取相對活躍且具代表性的1W-Shibor（品種為1周），時間范圍從2006-10-12至2008-11-27，共778個交易觀測值，數(shù)據(jù)是5日均值的加權(quán)平均利率.

利用EViews的最大似然估計LogL過程編程，可得到4個模型參數(shù)的估計和假設(shè)檢驗結(jié)果，見表1（數(shù)據(jù)來源：中國貨幣網(wǎng)http：∥www.chinamoney.com.cn／）.

表1 模型參數(shù)估計結(jié)果

對于Vasicek模型和CIR模型，3個參數(shù)的估計值在95%的置信水平上顯著不為零.比較Vasicek模型和CIR模型的對數(shù)似然值和AIC準(zhǔn)則，最終選取CIR模型來產(chǎn)生用于分析的模擬利率，并對其進行離散化.

對于式（1），代入CIR模型的參數(shù)，用差分代替微分，并取d rt=rt+1-rt，d t=1，其中dWt為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量，可得隨機過程的離散形式：

基于式（4）可以產(chǎn)生用于VAR分析的模擬利率，模擬的方法采用MATLAB的蒙特卡羅模擬程序[7].

2 壽險產(chǎn)品定價的VAR分析

2.1 在險價值（VAR）

在險價值（VAR）是一種用于測量和控制金融風(fēng)險的量化工具，Philippe Jorion將其定義為“VAR是在給定的置信水平下的一個持有期內(nèi)的最大預(yù)期損失（或最壞情況下的損失）”[8]，即在一定的持有期和置信度內(nèi)，某金融工具面臨的最大潛在損失.

定義損失現(xiàn)值κ＝C+V+Q-G，其中，C表示保險給付的精算現(xiàn)值，V表示費用的精算現(xiàn)值，Q表示利潤的精算現(xiàn)值，G表示毛保費的精算現(xiàn)值.

VAR可以表示為滿足P（κ≤RVAα（κ））＝1-α的RVAα（κ），RVAα（κ）表示在給定概率1-α下產(chǎn)品的最大損失現(xiàn)值，α表示置信水平.模擬出大量利率路徑，計算出κ的分布，由κ的分布得到RVAα（κ）的值.

2.2 隨機利率下定期壽險毛保費模型推導(dǎo)

本文以半連續(xù)性產(chǎn)品為例，推導(dǎo)隨機利率下的毛保費模型，這是傳統(tǒng)壽險中最具代表性的保險產(chǎn)品，其保險金在被保險人的死亡時刻給付，而保費在期初繳納，實務(wù)中也是如此.在這一節(jié)中所用的符號都是國際上通用的精算符號，對于x歲的人（x），半連續(xù)型且保險金額為1個單位的n年定期壽險，其躉交純保費[9]：

其中E（ZT）為保險給付的期望值，bt為死亡給付保險金，ν（t）為利率折現(xiàn)因子，tpx·μx+t為（x）在t時刻死亡的概率.假定保單類型為k年繳費，且每年的附加費用率（包含了預(yù)期的利潤因素）分別為αh（h=1，2，…，k），記均衡毛保費為.則：

由式（5）～（7）可以推導(dǎo)出該保單的均衡毛保費為：

2.3 實例分析

利用式（4）模擬10000次，共3660天，并以半年為單位計算每個模擬路徑半年的平均利率，作為定價的利率.蒙特卡羅隨機模擬每次得到的路徑都是不同的，由精算等價原理得到的是κ的一個分布，通過下面的例子進行分析.

假定35歲的被保險人，投保一份保險金額為1000元的10年期定期壽險，保費分5年繳納，該產(chǎn)品的預(yù)定利率設(shè)為2.5%，死亡率采用我國非養(yǎng)老金男性生命表CL1（2000～2003）[4]，死亡發(fā)生在年中，并假設(shè)附加費用率如表2.

2.3.1 傳統(tǒng)定價方法

利用傳統(tǒng)方法，毛保費的確定如下：

表2 附加費用率

該保單單位保額年繳毛保費為3.632元.利用前面CIR模型得到的模擬利率，假設(shè)以3.632元為繳納的毛保費，得到損失現(xiàn)值κ的分布，如圖1所示.

由損失現(xiàn)值的分布，可以得到損失現(xiàn)值分布的數(shù)字特征，如表3所示.

由圖1可以看出，以3.632元作為繳納的毛保費，該產(chǎn)品出現(xiàn)虧損的概率非常小，當(dāng)α＝5%時，RVA＝-0.055，即以3.632元作為收取的毛保費能以95%的概率保證該產(chǎn)品不但可以得到預(yù)期的利潤，而且單位保額能賺取0.055元的超額利潤，對于大保額保單，這種超額利潤對實際利潤的影響是比較大的.其中95%的含義表示100份相同的保單，有95份得到的利潤比預(yù)期還要多.由表3可以看出，損失現(xiàn)值的期望為-0.163 4，即以該價格定價得到的超額利潤現(xiàn)值平均為0.161 4，這說明該保單定價偏高.

2.3.2 加拿大資產(chǎn)負債方法

在隨機利率下利用式（8）計算出毛保費的分布，對于蒙特卡洛模擬法，當(dāng)模擬的次數(shù)足夠多時，根據(jù)大數(shù)法則，價格將會趨于穩(wěn)定.根據(jù)表1中CIR模型的參數(shù)，利用式（4）模擬10000次，可得到毛保費分布的數(shù)字特征，見表4.

由表4可以看出均值和中位數(shù)重合，峰度非常接近3，偏度接近0，分布接近正態(tài)分布.但是均值3.59元小于用固定利率2.5%計算的毛保費3.632元，這是因為用CIR模擬的利率表明目前市場上的利率被低估.

以均值3.59元作為繳納的毛保費，得到損失現(xiàn)值的期望和中位數(shù)均為0.000 123，說明用保費均值定價，由于隨機利率存在不利偏差，導(dǎo)致了定價出現(xiàn)虧損.實務(wù)中評估準(zhǔn)備金時，如果使用的是隨機利率，那么需要增加對利率的不利偏差準(zhǔn)備，一般做法是為所有假設(shè)利率環(huán)境下所產(chǎn)生的準(zhǔn)備金的期望值加上一倍方差（加拿大資產(chǎn)負債方法）[4].這啟發(fā)我們，考慮毛保費的方差，以增加對利率的不利偏差準(zhǔn)備，可得到新的保費：

圖1 以3.632元定價的損失現(xiàn)值分布

表3 損失現(xiàn)值分布的數(shù)字特征

表4 隨機利率下毛保費分布的數(shù)字特征

其中μ為隨機利率下毛保費的均值，σ為毛保費的標(biāo)準(zhǔn)差，對于上面的例子，新的毛保費：

把繳納的毛保費設(shè)定為3.591元，分析損失現(xiàn)值的VAR，如圖2.

圖2 加拿大資產(chǎn)負債法定價的損失現(xiàn)值分布

由圖2可以看出，以3.591元作為毛保費，當(dāng)α＝5%時，RVA＝0.107 1.即以3.590 9元作為實際繳納的毛保費，能以95%的概率保證該保單的損失現(xiàn)值不超過0.107 1，而且損失現(xiàn)值期望為-0.000 001 327，非常接近于零，這說明采用加拿大資產(chǎn)負債方法的思想定價比固定利率定價更合理.

3 結(jié)語

雖然實務(wù)中定價采用的是預(yù)定利率，但是實際應(yīng)用時可以用預(yù)定利率計算出毛保費，然后對毛保費進行VAR分析，通過設(shè)定α值和調(diào)整附加費用率的手段，得到VAR值，從而實現(xiàn)風(fēng)險控制.如結(jié)果顯示定價偏高，可以降低保費，以提高保單的銷量，反之，提高保費，以滿足定價充足性的原則.最后通過把加拿大資產(chǎn)負債方法的思想引入模型，得到了用毛保費均值加一倍方差作為定價毛保費能同時滿足定價充足性和合理性的結(jié)論，為壽險定價提出一個新的思路.利用VAR分析其他產(chǎn)品時思路是一樣的，可以用于資產(chǎn)份額法等定價方法的利率風(fēng)險分析.

[1] Boyle P P.Rates of return as random variables[ J].Journal of Risk and Insurance，1976（18）：693-713.

[2] 吳金文，楊靜平，周俊.隨機利率壽險模型[J].經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2001（18）：1-8.

[3] 趙靜宇，郭士杰，羅傳光.基于Vasicek模型下壽險產(chǎn)品定價研究[J].保險研究，2008（08）:44-47.

[4] 李秀芳.壽險精算實務(wù)[M].北京:中國財經(jīng)出版社,2006:114-115.

[5] 潘冠中,邵斌.單因子利率模型的極大似然估計——對中國利率的實證分析[J].財經(jīng)研究，2004，30（10）：62-70.

[6] Nowman B.Gaussian estimation of single-factor continuous time models of the term structure of interest rates[J].Journal of Finance，1997（52）:1 695-1 706.

[7] 石一磊.蒙特卡洛模擬在銀行信用風(fēng)險度量中的應(yīng)用研究[D].蘇州：江蘇大學(xué),2005.

[8] 魏宇.股票市場的極值風(fēng)險測度及后驗分析研究[J].管理科學(xué)學(xué)報,2008,11（1）：78-88.

[9] 盧仿先,張琳.壽險精算數(shù)學(xué)[M].北京:中國財政經(jīng)濟出版社,2006:128-133.

VAR Analysis of Life Insurance Pricing Risk under the Random Interest Rate

LIU Jia-jun，HUANG Shao-jie

(Department of Mathematics，Guangdong University of Business Studies，Guangzhou 510320,Guangdong，China)

The interest rates risk of life insurance pricing under the random interest rate is analyzed.First of all，the CIR model is selected as the basis to generate the simulated interest rates by the parameter estimation and hypothesis testing of random interest rate model.Then，a gross premium expression of regular life insurance under the assumption of random interest rate is derived.The minds of CALM are combined to measure the interest rate risk by using the VAR.

CKLS model；VAR；Life insurance；Random interest rates model；CALM

O 211.67

A

1001-4217（2010）01-0042-06

2009-09-02

劉家軍（1974-），男，河南信陽人，講師.研究方向：保險風(fēng)險模型的理論與實證分析.E-mail:liu95828@yahoo.com.cn