周永國(guó), 張松英

(1.沅陵一中,湖南懷化 419600; 2.中方中學(xué),湖南懷化 418000)

九點(diǎn)圓定理的高維推廣

周永國(guó)1, 張松英2

(1.沅陵一中,湖南懷化 419600; 2.中方中學(xué),湖南懷化 418000)

給出并證明了九點(diǎn)圓定理的高維推廣.

n維空間; 有限點(diǎn)集; 超球面.

1 引 言

1821年,法國(guó)數(shù)學(xué)家龐斯萊 (Poncelet)提出并證明了如下命題.

九點(diǎn)圓定理[1]在三角形中,以它的外心與垂心連線的中點(diǎn)為圓心,外接圓半徑的一半為半徑的圓,必通過9個(gè)特殊點(diǎn),即:3個(gè)頂點(diǎn)與垂心連線的中點(diǎn), 3條邊的中點(diǎn),以及3條高的垂足.

1863年,法國(guó)數(shù)學(xué)家普魯海 (Prouhet)將這個(gè)命題推廣到垂心四面體中,得到了:

十二點(diǎn)球定理[2]在四面體中,4個(gè)頂點(diǎn)與垂心連線的1:2分點(diǎn) (即靠近頂點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)),4個(gè)面的重心,以及4條高的垂足,共12個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)球面上.

本文應(yīng)用向量方法,擬將九點(diǎn)圓定理推廣到 n維歐氏空間的“共超球面有限點(diǎn)集”中.為此,我們約定:

(1)若點(diǎn)集Ω={A1,A2,…,AN}中的點(diǎn)都在同一個(gè) n維超球面上,則點(diǎn)集Ω稱為共超球有限點(diǎn)集,這個(gè)超球面稱為點(diǎn)集Ω的外接超球面,其球心稱為點(diǎn)集Ω的外心.

(2)從點(diǎn)集Ω={A1,A2,…,AN}(N≥3)中任意除去一個(gè)點(diǎn)Aj(1≤j≤N),其余(N-1)個(gè)點(diǎn)組成的集合,稱為點(diǎn)集Ω的最大真子集,記作Ωj.

(3)以點(diǎn)O為球心,R為半徑的超球面記作S(O, R).

顯然,超球內(nèi)接多胞形的頂點(diǎn)集 (及其子集)是共超球有限點(diǎn)集.

2 定義與定理證明

定義1 設(shè)共超球有限點(diǎn)集Ω={A1,A2,…,AN}的外接超球面為S(O,R),若點(diǎn) P滿足

其中 k∈N＊,則點(diǎn) P稱為點(diǎn)集Ω的k號(hào)心.

若點(diǎn)Qj(1≤j≤N)滿足

則點(diǎn)Qj稱為點(diǎn)集Ω的最大真子集Ωj的k+1號(hào)心.

定義2 以Ω的k+1號(hào)心Q為球心,R/(k+1)為半徑的超球面稱為點(diǎn)集Ω的k+1號(hào)超球面,記作S(Q, R/(k+1)).

根據(jù)上述定義,我們有

定理1 設(shè)共超球有限點(diǎn)集Ω={A1,A2,…,AN}的外接超球面為S(O,R),其 k號(hào)心為P,點(diǎn) Mj內(nèi)分線段AjP成則Ω的k+1號(hào)超球面S(Q, R/(k+1))必通過諸分點(diǎn) Mj(j=1,2,…,N).

證明 依題設(shè),P是Ω的k號(hào)心,所以等式(1.1)成立.于是,注意到點(diǎn)Mj內(nèi)分線段AjP成1,由定比分點(diǎn)的向量表示[3]可得

又點(diǎn)Q是Ω的k+1號(hào)心,由定義1知由以上兩式可得

注意到點(diǎn)Aj(1≤j≤N)在超球面S(O,R)上,由上式可知

所以,超球面 S(Q,R/(k+1))通過點(diǎn) Mj(j=1,2,…, N).命題得證.

定理2 設(shè)共超球有限點(diǎn)集Ω={A1,A2,…,AN}的外接超球面為 S(O,R),則其 k+1號(hào)超球面 S(Q, R/(k+1))必通過各最大真子集Ωj的k+1號(hào)心Qj(j= 1,2,…,N).

證明 依題設(shè),點(diǎn)Q和Qj分別滿足(1.1)和(1.2),所以有

注意到點(diǎn)Aj(1≤j≤N)在超球面S(O,R)上,由上式可知

所以,超球面 S(Q,R/(k+1))通過點(diǎn) Qj(j=1,2,…, N).命題得證.

定理3 設(shè)共超球有限點(diǎn)集Ω={A1,A2,…,AN}的外接超球面為S(O,R),其k號(hào)心為P,最大真子集Ωj的k+1號(hào)心為Qj,自點(diǎn)Qj引直線與直線AjP垂直相交于 Hj,則點(diǎn)集Ω的k+1號(hào)超球面S(Q,R/(k+1))必通過諸垂足 Hj(j=1,2,…,N).

證明 取線段AjP的k+1等分點(diǎn)為Mj,則由定理1和定理2可知,點(diǎn)Mj和Qj都在超球面S(Q,R/(k+1))上;又依題設(shè)條件有據(jù)此而知,要證明超球面S(Q,R/(k+1))通過垂足 Hj,只需證明球心Q是線段MjQj的中點(diǎn)即可.

比較(1.1)和(1.4),可知球心 Q是線段MjQj的中點(diǎn)T.命題得證.

綜合定理1,2,3,我們得到如下結(jié)論.

定理4 設(shè)共超球有限點(diǎn)集Ω={A1,A2,…,AN}的k+1號(hào)超球面必通過3N個(gè)特殊點(diǎn).即:各點(diǎn)Aj與Ω的k號(hào)心P的連線段AjP的內(nèi)分點(diǎn)Mj(其中k∶1;j=1,2,…,N);Ω的各個(gè)最大真子集Ωj的k+1號(hào)心Qj(j=1,2,…,N);自點(diǎn)Qj引直線與直線AjP垂直相交的垂足 Hj(j=1,2,…,N).

推論 n維單形Φ={A1,A2,…,An+1}的2號(hào)超球面必通過3(n+1)個(gè)特殊點(diǎn),即:各頂點(diǎn)Aj與Φ的1號(hào)心 P連線的中點(diǎn)Mj(j=1,2,…,n+1);Φ的各個(gè)最大真子集的2號(hào)心Qj(j=1,2,…,n+1);自點(diǎn)Qj引直線與直線AjP垂直相交的垂足Hj(j=1,2,…,n+1).

顯而易見,九點(diǎn)圓定理可視為定理4當(dāng)N=3,K= 1時(shí)的特例.因此,定理4是九點(diǎn)圓定理在n維歐氏空間的推廣.

設(shè)線段MjQj的中點(diǎn)為T,注意到點(diǎn)Qj和Mj分別滿足(1.2)和(1.3),可得

[2]沈康生.數(shù)學(xué)的魅力 (1) [M].上海:上海辭書出版社,2004.

[3]沈文選.單形論導(dǎo)引 [M].長(zhǎng)沙:湖南師范大學(xué)出版社,2000.

[4]周永國(guó).平面閉折線的 k號(hào)心及其性質(zhì) [J].中學(xué)數(shù)學(xué),2003,(10):26.

[5]周永國(guó).四面體的 k號(hào)心及其性質(zhì) [J].數(shù)學(xué)通訊, 2003,(19):32.

Abstract:This essay puts forward and proves the high-dimensional promotion of the theroem of nine-point circle.

Key words:n-dimensional space; finite set; Hypersphere

The High-dimensional Promotion of the Theorem of Nine-point Circle

ZHOU Y ong-guo1, ZHANG Song-ying2

(1.From No.1 Middle School of Yuanlin,Huaihua,Hunan 419600; 2.Zhongfang Middle School,Huaihua,Hunan 418000)

O184

A

1671-9743(2010)05-0041-02

2010-03-28

湖南省教育廳科學(xué)研究一般項(xiàng)目 (09C470).

周永國(guó) (1962-),男,湖南沅陵人,沅陵一中高級(jí)教師,主要研究初等數(shù)學(xué)和高維幾何不等式.