劉振宇

(棗莊學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,山東棗莊 277160)

高等代數(shù)蘊含的哲學(xué)思想

劉振宇

(棗莊學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,山東棗莊 277160)

德國數(shù)學(xué)家佛雷格(F.L.Frege,1848～1925)曾指出:一個好的數(shù)學(xué)家,至少是半個哲學(xué)家;一個好的哲學(xué)家,至少是半個數(shù)學(xué)家.這就生動地描述了數(shù)學(xué)與哲學(xué)有著難以割舍的關(guān)系,精辟地道出了數(shù)學(xué)蘊含著豐富的哲學(xué)思想。本文主要闡述了高等代數(shù)中蘊含的哲學(xué)思想,具體包括:普遍聯(lián)系的思想,抽象與具體的思想,一般化與特殊化的思想,否定與肯定的思想,有限與無限的思想,近似與精確的思想.

高等代數(shù);哲學(xué)思想;普遍聯(lián)系;抽象與具體;一般化與特殊化;否定與肯定;有限與無限;近似與精確＊

0.高等代數(shù)中的哲學(xué)思想

一個好的數(shù)學(xué)家,至少是半個哲學(xué)家;一個好的哲學(xué)家,至少是半個數(shù)學(xué)家.

——(德國數(shù)學(xué)家)佛雷格(F.L.Frege,1848～1925)

哲學(xué)是理論化、系統(tǒng)化的世界觀.哲學(xué)是用最普遍的概念、最一般的范疇和具有普遍性的規(guī)律來把握世界.哲學(xué)是世界觀和方法論的統(tǒng)一.世界觀是對世界的總的看法,由此分析、解決問題,就轉(zhuǎn)化為方法論.

有一位哲人曾指出:沒有數(shù)學(xué),我們無法看穿哲學(xué)的深度;而沒有哲學(xué),人們也無法看穿數(shù)學(xué)的深度;而若沒有兩者,人們就什么也看不透.

當(dāng)今世界,

數(shù)學(xué)的領(lǐng)域在擴大;

哲學(xué)的地盤在縮小.

曾幾何時,哲學(xué)把整個宇宙作為自己的研究對象.那時,它包羅萬象,數(shù)學(xué)只不過是算術(shù)和幾何而已.

17世紀,自然科學(xué)的大發(fā)展迫使哲學(xué)退出了一系列研究領(lǐng)域,哲學(xué)的中心問題從“世界是什么樣的”變成“人怎樣認識世界”.同時,數(shù)學(xué)擴大了自己的領(lǐng)域,它開始研究運動與變化.

今天,數(shù)學(xué)正在向一切學(xué)科進行滲透,它的研究對象是一切抽象結(jié)構(gòu)——所有可能的關(guān)系與形式.從某個角度上講,哲學(xué)從一個領(lǐng)域“退出”,就意味著一門學(xué)科的誕生.而數(shù)學(xué)一旦滲入一門學(xué)科,有可能或者甚至控制這門學(xué)科,同時“宣告”這門學(xué)科已趨于“成熟”.

數(shù)學(xué)在當(dāng)今任何具體學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)都有出色表現(xiàn),但是如果離開了具體學(xué)科,數(shù)學(xué)就成了無源之水,因此,數(shù)學(xué)要想創(chuàng)新和發(fā)展,就必須向每一門具體學(xué)科滲透,從某種意義上講,數(shù)學(xué)是最容易進入“成熟”的科學(xué).

模糊的哲學(xué)與精確的數(shù)學(xué)是統(tǒng)一的.

高等代數(shù)是一門比較抽象的數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程,在高等代數(shù)中蘊含了豐富的哲學(xué)思想.通過對具體對象的抽象進行研究,從辯證的哲學(xué)角度來研究高等代數(shù),有利于我們更深入、更科學(xué)地研究它.本文通過對高等代數(shù)中的抽象與具體、有限與無限、特殊與一般、普遍聯(lián)系等若干方面來探討高等代數(shù)中蘊含的哲學(xué)的、辯證的思想.

1 普遍聯(lián)系的思想

數(shù)學(xué)的力量是抽象,但是抽象只有在覆蓋了大量特例時才是有用的.

——(美國數(shù)學(xué)家)伯斯(L.B ers,1914～1993)

1.1 普遍聯(lián)系的思想

辯證法認為,世界上一切事物都處于普遍聯(lián)系之中,沒有脫離聯(lián)系而孤立存在的事物.普遍聯(lián)系原理主要有三個方面,一是普遍性:世界上的一切事物、一切現(xiàn)象都不是互相隔絕、彼此孤立的,而是互相聯(lián)系的;二是聯(lián)系的客觀性.聯(lián)系是事物本身所固有的,是客觀的、不以人的意志為轉(zhuǎn)移的;三是多樣性:聯(lián)系是復(fù)雜和多樣的.物質(zhì)世界聯(lián)系的普遍性,是通過具體的事物多種多樣的具體聯(lián)系表現(xiàn)的,具體有直接聯(lián)系和間接聯(lián)系、內(nèi)部聯(lián)系和外部聯(lián)系、本質(zhì)聯(lián)系和非本質(zhì)聯(lián)系、必然聯(lián)系和偶然聯(lián)系等等.

事物一方面存在著普遍聯(lián)系,另一方面又存在著相對獨立性,即:任何事物都同其他事物相區(qū)別而相對獨立地存在.事物的普遍聯(lián)系和事物的相對獨立存在是互為前提的.在學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)時,由于規(guī)律隱藏在其內(nèi)部,我們只有發(fā)揮主觀能動性,才能透過現(xiàn)象認識、把握內(nèi)在規(guī)律.我們要創(chuàng)新就必須發(fā)揮主觀能動性,利用內(nèi)在規(guī)律去開拓創(chuàng)新.

科學(xué)的任務(wù)是揭示事物的聯(lián)系,數(shù)學(xué)也不例外.科學(xué)的突破往往表現(xiàn)在把人們通?？磥硭坪鯖]有聯(lián)系的事物聯(lián)系起來,發(fā)現(xiàn)事物新的聯(lián)系.唯物辯證法的規(guī)律是滲透于自然界、人類社會和思維各個領(lǐng)域內(nèi)的普遍規(guī)律,當(dāng)然也滲透于數(shù)學(xué),滲透于代數(shù)學(xué),滲透于高等代數(shù).

1.2 高等代數(shù)蘊含的普遍聯(lián)系的哲學(xué)思想

高等代數(shù)中矩陣的思想、公理化的思想、結(jié)構(gòu)的思想和同構(gòu)的思想都滲透著普遍聯(lián)系的思想.高等代數(shù)內(nèi)容上也蘊含著豐富的普遍聯(lián)系的思想.

1.2.1 整數(shù)的結(jié)構(gòu)與多項式環(huán)

整數(shù)與多項式在加法、減法、乘法、帶余除法、整除性、最大公因數(shù)(式)、互素、最小公倍數(shù)(式)、因數(shù)(式)分解等個內(nèi)容與結(jié)構(gòu)都是完全對應(yīng)的,充分說明整數(shù)與多項式之間體現(xiàn)著事物的普遍聯(lián)系性,當(dāng)然它們之間除了相互聯(lián)系的相同點之外也有很多個體屬性差異,事實上它們是不同的對象,各自具有不同的屬性,存在著相對獨立性.

整數(shù)與多項式之間之所以存在這種共性,是因為它們都是同一種代數(shù)結(jié)構(gòu)——環(huán),并且都是整環(huán),都有單位元,都是無零因子環(huán).

1.2.2 線性方程組與矩陣

數(shù)域F上的線性方程組通過線性方程組的增廣矩陣與數(shù)域F上的矩陣建立了一一對應(yīng)關(guān)系,它們也具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu),它們之間體現(xiàn)著事物的普遍聯(lián)系性,在一定條件下,它們之間可以相互轉(zhuǎn)化,互為工具.

1.2.3 二次型與對稱矩陣

數(shù)域F上的二次型通過二次型的矩陣表示與數(shù)域F上的對稱矩陣建立了一一對應(yīng)關(guān)系,并且數(shù)域F上的全體二次型組成的集合與數(shù)域F上的全體對稱矩陣組成的集合分別作成數(shù)域F上不同的線性空間,它們具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu),它們之間體現(xiàn)著事物的普遍聯(lián)系性,根據(jù)同構(gòu)的結(jié)構(gòu)思想,在一定條件下,它們之間可以相互轉(zhuǎn)化,互為工具.

1.2.4 向量、矩陣、多項式都構(gòu)成線性空間

在由數(shù)域F上所有的向量組成的集合、由數(shù)域F上所有的矩陣組成的集合、由數(shù)域F上所有的多項式組成的集合等對于各自定義的加法、數(shù)量乘法都滿足八條運算法則,因此它們分別作成數(shù)域F上不同的線性空間,但是它們是相同的代數(shù)結(jié)構(gòu),它們之間體現(xiàn)著事物的普遍聯(lián)系性,根據(jù)同構(gòu)的結(jié)構(gòu)思想,在一定條件下,它們之間可以相互轉(zhuǎn)化,互為工具.

1.2.5 線性變換與矩陣

數(shù)域F上的線性空間中的線性變換通過線性變換在某一組基下的矩陣與數(shù)域F上的方陣建立了一一對應(yīng)關(guān)系,并且數(shù)域F上的線性空間中的全體線性變換組成的集合與數(shù)域F上的全體方陣分別作成數(shù)域F上不同的線性空間,它們也具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu),它們之間體現(xiàn)著事物的普遍聯(lián)系性,根據(jù)同構(gòu)的結(jié)構(gòu)思想,在一定條件下,它們之間可以相互轉(zhuǎn)化,互為工具.

1.2.6 實向量空間、實矩陣空間、實多項式空間都構(gòu)成歐氏空間

在實向量空間、實矩陣空間、實多項式空間等中定義各自的內(nèi)積都滿足交換律、第一變元的線性性和正定性,因此它們分別作成不同的歐氏空間,它們都具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu),它們之間體現(xiàn)著事物的普遍聯(lián)系性,根據(jù)同構(gòu)的結(jié)構(gòu)思想,在一定條件下,它們之間可以相互轉(zhuǎn)化,互為工具.

1.2.7 內(nèi)積與矩陣

數(shù)域R上的線性空間通過建立的內(nèi)積作成歐氏空間,內(nèi)積通過歐氏空間的基的度量矩陣與正定矩陣之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.如果給定一組基,在內(nèi)積與正定矩陣之間也可以建立一一對應(yīng)關(guān)系,并且它們也具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu),它們之間體現(xiàn)著事物的普遍聯(lián)系性,在一定條件下,它們之間可以相互轉(zhuǎn)化,互為工具.

1.2.8 雙線性函數(shù)與矩陣

數(shù)域F上的線性空間上的雙線性函數(shù)通過通過線性空間的基的度量矩陣與矩陣之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.如果給定一組基,在雙線性函數(shù)與矩陣之間也可以建立一一對應(yīng)關(guān)系,并且它們也具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu),它們之間體現(xiàn)著事物的普遍聯(lián)系性,在一定條件下,它們之間可以相互轉(zhuǎn)化,互為工具.

世界上的事物之間的聯(lián)系又具有復(fù)雜多樣性,在某種意義上講,高等代數(shù)中的任何內(nèi)容都與矩陣可以建立某種聯(lián)系,但是這些聯(lián)系是復(fù)雜多樣的,各有各的對應(yīng)關(guān)系、各有各的對應(yīng)方式、各有各的實現(xiàn)手段、各有各的思想方法.同時這些聯(lián)系體現(xiàn)了事物的普遍聯(lián)系性,同時也體現(xiàn)了聯(lián)系的多樣性和復(fù)雜性.

2 抽象與具體的思想

一位好的數(shù)學(xué)家與一個蹩腳的數(shù)學(xué)家之間的差別,在于前者手中有很多具體的例子,而后者只有抽象的理論.

——當(dāng)代數(shù)學(xué)大師陳省身(1911～2004)

2.1 抽象與具體的思想

抽象與具體是對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系,是辯證思維的方法,抽象是具體的意識形態(tài),具體是抽象的思維方式和行為方式.

抽象來自具體,具體反映抽象.抽象是具體的概括,具體是抽象的物化.著名數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫在《數(shù)學(xué),它的內(nèi)容、方法和意義》一書中指出數(shù)學(xué)有三大特點:抽象性、嚴謹性、應(yīng)用的廣泛性.

數(shù)學(xué)是抽象的,但又是具體的.

如果只談抽象,不談具體例子,抽象就會變成無源之水,無本之木,抽象就難于理解,難于感覺.因此,我們不但要學(xué)會如何從具體到抽象,還要學(xué)會將抽象的定理、問題具體化.當(dāng)代數(shù)學(xué)大師陳省身(1911～2004)先生曾經(jīng)說過一段話:一位好的數(shù)學(xué)家與一個蹩腳的數(shù)學(xué)家之間的差別,在于前者手中有很多具體的例子,而后者只有抽象的理論.所以,我們應(yīng)當(dāng)掌握更多的具體的例子,使抽象的東西變?yōu)槟軌蚋杏X的,易于把握的具體的例子.

2.2 高等代數(shù)蘊含的抽象與具體的哲學(xué)思想

學(xué)過高等代數(shù)的人都認為它是抽象的,尤其是初學(xué)者,從抽象的概念到具體的實例,從抽象的推理到具體的計算,從抽象的構(gòu)造到具體的結(jié)構(gòu),從抽象的同構(gòu)到具體的轉(zhuǎn)化,…,高等代數(shù)中無不滲透著抽象與具體的哲學(xué)思想.

抽象的因式分解理論與具體多項式的因式分解;

抽象的初等變換與具體的行列式;

抽象的線性方程組與具體的矩陣;

抽象的二次型與具體的對稱矩陣;

具體的線性空間與抽象的線性空間;

抽象的向量與具體的坐標;

抽象的線性變換與具體的矩陣;

抽象的線性變換形成具體的線性空間;

抽象的內(nèi)積與具體的度量矩陣;

具體的歐氏空間與抽象的歐氏空間;

抽象的雙線性函數(shù)與具體的度量矩陣;

具體的計算與抽象的理論;

問題的抽象與轉(zhuǎn)化的具體.

3 特殊化與一般化的思想

一般化、特殊化和類比是獲得發(fā)現(xiàn)的源泉.

——(二十世紀最偉大的數(shù)學(xué)教育家)波利亞(1887～1985).

3.1 特殊化與一般化的思想

特殊化與一般化是對立的統(tǒng)一,在人類的認知活動中,常通過特殊去探索一般,從一般研究特殊,特殊化與一般化不僅在科學(xué)研究中有著重要的地位和作用,而且在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中,一般化與特殊化是兩種非常重要的思維方法,也是解題的兩種基本策略.特殊化與一般化這兩種思維方法是統(tǒng)一的,相輔相成的,不是孤立的.正是由于特殊與一般的這種辨證關(guān)系,有時需要同時運用.

特殊化與一般化的思想方法具體包括:特殊到一般;一般到特殊;先特殊后一般;先一般后特殊.

特殊化與一般化在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化、相互作用,也是高等代數(shù)中的重要的思想方法.

3.2 高等代數(shù)中的特殊化與一般化的思想

高等代數(shù)中很多概念、基本理論與方法的建立體現(xiàn)了由特殊到一般的思想方法和一般到特殊的思想方法.

3.2.1 概念的一般化與特殊化

高等代數(shù)中有很多概念是利用了由特殊到一般,具體如:

n維向量引入是對二維向量、三維向量的推廣,是由特殊到一般的過程.

n維線性空間是對向量空間的推廣,是由特殊到一般的過程.

n維歐氏空間是對幾何空間的推廣,是由特殊到一般的過程.

多項式的因式分解,矩陣對角化,二次型化平方和等,都是由一般到特殊的轉(zhuǎn)化過程.

3.2.2 解題中的一般化與特殊化

3.2.2.1 多項式理論中的特殊化與一般化的思想方法

多項式理論包含著豐富的特殊化與一般化的思想方法,任意數(shù)域上的整除、最大公因式、因式分解、重因式、函數(shù)與根的問題,到常見數(shù)域上的整除、最大公因式、因式分解、重因式、函數(shù)與根的問題.

3.2.2.2 行列式中特殊化與一般化的思想方法

行列式中包含著豐富的特殊化與一般化的思想方法,行列式的求值本身就是一種特殊化的化簡成特殊形式的過程.有很多問題是另一些問題的特殊化或者一般化.

3.2.2.3 線性方程組中的特殊化與一般化的思想方法

線性方程組中包含著豐富的特殊化與一般化的思想方法,線性方程組的求解本身就是一種特殊化的化簡成特殊線性方程組的過程.

3.2.2.4 矩陣中的特殊化與一般化的思想方法

矩陣中包含著豐富的特殊化與一般化的思想方法,矩陣的等價就是利用初等變換把矩陣作一種特殊化的化簡成其階梯形、標準形、合同標準形、相似對角形等的過程.

3.2.2.5 二次型中的特殊化與一般化的思想方法

特殊化與一般化的思想方法在二次型中有較廣泛的應(yīng)用.

(2)矩陣A1/A1+AA2+…+AAs非奇異.特別地,當(dāng)s=n時,即當(dāng)ni=1時,有為正定矩陣.

3.2.2.6 歐氏空間中的特殊化與一般化的思想方法

歐氏空間中包含著豐富的特殊化與一般化的思想方法.作為建立在實線性空間的歐氏空間理論,首先是實線性空間,是定義了內(nèi)積的實線性空間,當(dāng)然其中有內(nèi)積.因此歐氏空間作為實線性空間,其中有基,也有特殊的基---正交基、標準正交基.

4 否定與肯定的思想

反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?

——(英國數(shù)學(xué)家)艾薩克·牛頓(Isaa c N ew ton1643～1727)

4.1 否定與肯定的思想

任何事物都包含肯定和否定兩個方面,數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)的基礎(chǔ),當(dāng)然也不例外.肯定和否定不僅是對立的,還是統(tǒng)一的,它們互相滲透.既要在肯定中看到否定,又要在否定中看到肯定,不能肯定一切或否定一切.否則就割斷了事物的普遍聯(lián)系性.無論是肯定,還是否定的,思維都必須符合一定的規(guī)律.辯證的邏輯思維的基本規(guī)律一般包含:同一律、矛盾律、排中律.

反證法是一種常用的數(shù)學(xué)方法,當(dāng)然也是代數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)方法,它是一種間接證明方法.著名的美國數(shù)學(xué)家、教育家玻利亞也曾說過:“反證法是數(shù)學(xué)方法中最精良的方法之一”.在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中,反證法已成為最常用和最有效的不可或缺的解決問題的方法之一.

反例在數(shù)學(xué)中,特別是代數(shù)學(xué)中的有著很重要的作用,有時可以起到一針見血的作用.對于一個正確的定理、性質(zhì)或命題,必須給出證明;而要否定一個概念、命題,通過正面的解釋或證明很難奏效,甚至不可能.此時如果能給出一個反例,勝過千言萬語,一切解釋和說明都顯得蒼白無力.

數(shù)學(xué)中否定與肯定的思想無處不在,高等代數(shù)中的否定與肯定的思想也無處不在.

4.2 高等代數(shù)中的否定與肯定的思想

高等代數(shù)中到處體現(xiàn)著的否定與肯定的思想,它體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的思想和方法上.在思想上,高等代數(shù)中概念的建立、性質(zhì)定理的確定和整體系統(tǒng)的形成,無不滲透和體現(xiàn)著辯證的否定與肯定的思想.在方法上,主要體現(xiàn)在反例和反證法的運用,反例的思想是一針見血,事實勝于雄辯,而反證法的思想簡潔有力,是不可或缺的一種解決問題的方法.

11.4.2.1 高等代數(shù)中的反例的思想方法

如果想否定一個命題,反例的作用一針見血.在高等代數(shù)中反例的幾乎隨處可見.一般來講,對于正確的性質(zhì)或命題,只要能給出準確的證明,就可以確定肯定其正確性;但是對于判定研究對象是否具備一個性質(zhì)、給出一個判定、一個命題是否正確,有時候是很困難的事情,甚至是不可為的,但是此時如果能給出一個反例,那就是一針見血地確定其錯誤,這種方法一般稱為反例法.反例思想是高等代數(shù)中的重要思想方法,對概念、性質(zhì)的理解,問題的研究和探討是不可替代的.

反例法的主要作用:一、可以促進新理論的形成;二、揭示概念的內(nèi)涵;三、確定概念之間的關(guān)系.反例的主要構(gòu)造方式:特殊情況構(gòu)造反例,直觀構(gòu)造反例.

4.2.2 高等代數(shù)中的反證的思想方法

反證法簡潔有力,是一種有力的證明方法.在高等代數(shù)中反證法的應(yīng)用隨處可見.一般來講,反證法常用來證明的題型有:結(jié)論以“否定形式”、“至少”或者“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題;或者否定結(jié)論更明顯、具體、簡單的命題;或者直接證明難以下手的命題,而改變思維從結(jié)論的反面入手比較容易解決的命題.

在很多情形下,我們用正向思維和直接證明方法解決不了的問題,用逆向思維或間接證明方法往往可以解決或者輕而易舉地解決.高等代數(shù)中有很多問題,靠一般方法難以奏效時,反證法可能會助人一臂之力.

反例和反證法的思想方法在高等代數(shù)中的體現(xiàn)和應(yīng)用有很多.

5 有限與無限的思想

沒有任何其他的問題能像無限那樣,從來就深深地觸動著人的情感.沒有任何其他的觀念能像無限那樣,對人的理智起了如此激勵和有成效的作用.然而也沒有任何其他的概念,能像無限那樣需要加以闡述了.

——德國數(shù)學(xué)家希爾伯特(Hilbert David 1862～1943)

5.1 有限與無限的思想

有限與無限是物質(zhì)世界固有的矛盾之一.反映物質(zhì)運動在時間和空間上辯證性質(zhì)的一對哲學(xué)范疇.有限和無限反映了物質(zhì)世界中客觀存在的矛盾和辯證聯(lián)系.

有限和無限的關(guān)系是辯證的,是對立的統(tǒng)一.具體表現(xiàn)在:①無限由有限構(gòu)成、無限不能脫離有限而獨立存在.②有限包含著無限,有限體現(xiàn)著無限.③有限和無限的辯證統(tǒng)一,在一定意義上說,每一物質(zhì)客體既是有限的又是無限的,是有限和無限的統(tǒng)一.

無限和有限不但具有量的區(qū)別,而且具有質(zhì)的差異,具體表現(xiàn)在哲學(xué)上的量變引起質(zhì)變的,這也是認識論上的一個重大飛躍.高等代數(shù)中表現(xiàn)出來的無限和有限,與數(shù)學(xué)分析中表現(xiàn)出來的無限和有限又有著質(zhì)的差異,它是從另一個層面上來詮釋無限和有限的這一哲學(xué)思想.

有限與無限是對立的統(tǒng)一,高等代數(shù)中有很多內(nèi)容是通過有限來認識無限,或者,通過無限確定有限,正像希爾伯特在《論無限》中講到:沒有任何其他的問題能像無限那樣,從來就深深地觸動著人的情感.沒有任何其他的觀念能像無限那樣,對人的理智起了如此激勵和有成效的作用.然而也沒有任何其他的概念,能像無限那樣需要加以闡述了.

代數(shù)中有限與無限,通過一定橋梁,可以建立等價表示形式,如n(>0)維線性空間中的無限多個向量可以利用有限的n個向量線性表出;有限的n個向量可以表示無窮多個向量.

無限和有限是數(shù)學(xué)的永恒話題,高等代數(shù)中的無限和有限之間是優(yōu)美的轉(zhuǎn)化,巧奪天工.

5.2 通過有限來刻畫無限通過無限來研究有限

除零空間外的有限維線性空間都包含著無窮多個元素,盡管是無窮集,它可以由線性運算,利用線性組合通過有限個向量來刻畫和表示整個線性空間的無窮多個向量,如:非零有限維線性空間中的無窮多個向量可以用有限個向量來刻畫和表示,即其中的任意向量都可以被它的基線性表出.對于某些無限維線性空間,雖然找不到有限個向量來表示整個線性空間的,可以找到無限多個向量來表示整個線性空間,如:

具體體現(xiàn)無限與有限的思想的內(nèi)容有:

(1)線性方程組含有無窮多個解,可以利用有限個解向量來刻畫;反過來,可以利用線性方程組解空間來研究線性方程組.

(2)無限維線性空間與有限維線性空間都含有無窮多個向量,但有限維線性空間可以利用有限個向量來張成,但是無限維線性空間不可以;反過來,可以利用向量可以生成線性空間.

(3)無限維歐氏空間與有限維歐氏空間都含有無窮多個向量,但有限維歐氏空間可以利用有限個向量來張成,但是無限維歐氏空間不可以;反過來,可以利用向量可以生成線性空間.

6 近似與精確的思想

6.1 近似與精確的思想

近似與精確是一種對立的統(tǒng)一,精確是絕對的,是客觀存在的,而近似是相對的,是精確的補充.近似與精確在一定條件下是可以轉(zhuǎn)化的.

近似與精確不但具有具有量的區(qū)別,而且具有質(zhì)的差異,具體表現(xiàn)在哲學(xué)上的量變引起質(zhì)變的,這也是認識論上的一個重大飛躍,同時它們之間有著神奇般的聯(lián)系.高等代數(shù)中表現(xiàn)出來的近似與精確,與數(shù)學(xué)分析中表現(xiàn)出來的近似與精確又有著質(zhì)的差異,它是從另一個層面上來詮釋近似與精確的這一哲學(xué)思想.

6.2 高等代數(shù)中的近似與精確的思想

高等代數(shù)的研究對象主要是離散的,且大部分研究對象是不能比較大小的,其計算結(jié)果大都是確定的、精確的,體現(xiàn)到近似與精確的思想僅有幾處.

最小二乘法問題:線性方程組

可能無解,即任何一組數(shù)x1,,x2,…,,xn都不適合方程組.也即:

我們設(shè)法找到使(＊)的左端最小的x1,x2,…,,xn,這樣的x1,,x2,…,,xn稱為方程組的最小二乘解.這種問題就叫做最小二乘法問題.

最小二乘解滿足的代數(shù)條件為:(詳細過程可參考相關(guān)文獻)

或者

這個方程組必有解.事實上:

且

例2 線性方程組的最小二乘解(保留三位有效數(shù)字):AX=B,其中

解:最小二乘解滿足的方程為:

即為:

解得:

誠然,在高等代數(shù)中蘊含哲學(xué)思想的內(nèi)容還有很多,包含的哲學(xué)思想也有很多,如:連續(xù)與不連續(xù)的哲學(xué)思想、直與曲的哲學(xué)思想等.

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A

1004-7077(2010)02-0026-08

2009-11-02

劉振宇(1972-),男,山東棗莊人,棗莊學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系副教授,主要從事代數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)方法論的研究.

[責(zé)任編輯:陳慶朋]