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        基于Copula的投資組合均值-CVaR有效前沿分析

        2010-10-21 06:25:12金博軼
        統(tǒng)計(jì)與決策 2010年2期
        關(guān)鍵詞:正態(tài)邊際正態(tài)分布

        金博軼

        (上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院,上海 200433)

        0 引言

        自Markowitz在1952年創(chuàng)立投資組合理論以來,投資組合模型成為金融投資領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題之一。傳統(tǒng)理論的一個(gè)重要缺陷在于其假設(shè)資產(chǎn)組合收益率服從多元正態(tài)分布,然而,大量的實(shí)證表明,這種假設(shè)經(jīng)常與客觀事實(shí)相違背。首先,金融時(shí)間序列多呈現(xiàn)時(shí)變波動(dòng)、偏斜、高峰、厚尾等特性,用正態(tài)分布去近似變量的邊際分布會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。其次,多元正態(tài)分布假設(shè)變量之間的相關(guān)關(guān)系為線性相關(guān),然而,金融時(shí)間序列往往呈現(xiàn)尾部相關(guān)的特性。Ramchand和Susmel(1998)在研究全球主要股票市場的相關(guān)性后發(fā)現(xiàn),當(dāng)股價(jià)出現(xiàn)大幅波動(dòng)時(shí),市場之間的相關(guān)性會(huì)增加;Thierry和 Carole Métais(2009)研究了英國、德國、法國股票市場股價(jià)波動(dòng)的聯(lián)動(dòng)效應(yīng)并證實(shí),市場之間的相關(guān)性呈現(xiàn)非對(duì)稱特征,英國市場股價(jià)的波動(dòng)對(duì)德國和法國的影響要強(qiáng)于德法對(duì)英國的影響;Longin和Solnik(2001)對(duì)五個(gè)主要國家股票指數(shù)的收益率進(jìn)行研究并證實(shí),市場之間的相關(guān)性在熊市會(huì)強(qiáng)于牛市。顯然,基于線性相關(guān)關(guān)系的多元正態(tài)分布不能很好的撲捉到這種相關(guān)的時(shí)變性、非線性及非對(duì)稱性特征。

        為了克服多元正態(tài)分布的上述兩點(diǎn)缺陷,本文擬使用Copula技術(shù)刻畫資產(chǎn)組合聯(lián)合收益率分布,在此基礎(chǔ)上構(gòu)建投資組合均值-CVaR模型,并使用蒙特卡羅技術(shù)對(duì)模型進(jìn)行實(shí)證分析。

        1 基于Copula的聯(lián)合概率分布模型

        Copula可以理解為 “相依函數(shù)”或 “連接函數(shù)”,通過Copula函數(shù),我們可以將風(fēng)險(xiǎn)分解成單個(gè)金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)和由投資組合產(chǎn)生的相關(guān)性風(fēng)險(xiǎn)兩部分。其中單個(gè)金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)可以由它們各自的邊際分布來描述,而由投資組合產(chǎn)生的相關(guān)性風(fēng)險(xiǎn)則可以由連接它們的Copula函數(shù)來描述。因此,運(yùn)用Copula理論構(gòu)建資產(chǎn)組合收益率聯(lián)合概率分布時(shí)分以下兩步進(jìn)行:(1)確定單個(gè)資產(chǎn)收益率邊際分布;(2)選擇適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù),以便能較好地描述資產(chǎn)的相依結(jié)構(gòu)。

        1.1 邊際分布的選擇

        金融時(shí)間序列的條件分布往往呈現(xiàn)出時(shí)變波動(dòng)、波動(dòng)集群、偏斜、尖峰、厚尾等特性,對(duì)這種特征進(jìn)行最經(jīng)典描述的是由Engle于1982年提出的自回歸條件異方差模型(ARCH);隨后,學(xué)者們對(duì)該模型進(jìn)行了推廣,最重要的推廣之一就是由Bollerslev于1986年提出的廣義自回歸條件異方差模型(GARCH)。大量實(shí)證研究表明,在股市中大多數(shù)情況下,GARCH(l,l)、GARCH(l,2)、GARCH(2,l)模型已能充分反映長時(shí)期的金融數(shù)據(jù)的波動(dòng)特征。其中GARCH-t、GARCHGED模型對(duì)金融時(shí)間序列條件分布特性的刻畫能力優(yōu)于普通的正態(tài)GARCH模型,它可以較好地描述金融時(shí)間序列尖峰厚尾特性。因此,本文選用由t-分布噪聲驅(qū)動(dòng)的GARCH-t(1,1)模型來描述金融收益序列的條件邊際分布。該模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

        其中,Rt為收益率序列,μ為條件期望值,為條件異方差項(xiàng),ω為隨機(jī)項(xiàng),εt為隨機(jī)誤差項(xiàng),α和β為條件條件異方差方程的系數(shù),tv為自由度為v的正規(guī)化t分布。

        1.2 Copula函數(shù)的選擇、參數(shù)估計(jì)及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

        Copula函數(shù)種類繁多,不同的Copula能夠刻畫不同類型的相依特征。本文選擇正態(tài) Copula、t-Copula、frank-Copula、Gumbel-Copula、Clayton-Copula 等五種 Copula 類型進(jìn)行實(shí)證分析與比較。

        Copula技術(shù)的建模特點(diǎn)使其極適于采用多階段參數(shù)估計(jì)法,本文的參數(shù)估計(jì)方法基于二階段極大似然估計(jì),第一階段,估計(jì)邊際分布的參數(shù)θ1:

        在估計(jì)出參數(shù)后,我們需要對(duì)擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗(yàn),本文用到的檢驗(yàn)方法有下列兩種。

        (1)Kolmogorov-Smirno(K-S)檢驗(yàn)

        K-S檢驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)在于它是非參數(shù)或者是任意分布檢驗(yàn),它揭示了經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布之間的差別,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量定義為:

        其中,F(xiàn)n(x)代表累積經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),F(xiàn)(x)代表理論分布函數(shù)。

        (2)AIC(BIC)信息準(zhǔn)則

        由于方法最優(yōu)性的特點(diǎn),赤池信息準(zhǔn)則是建立在信息度量基礎(chǔ)上的判斷方法,它運(yùn)用于檢驗(yàn)極大似然估計(jì)的Copula模型;同時(shí),可以使用貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)。雖然該方法不及最優(yōu)性的特點(diǎn),但是它對(duì)過度估計(jì)的模型能給予更靈敏的反應(yīng):

        其中,k是 Copula參數(shù)個(gè)數(shù),T是樣本個(gè)數(shù),AIC(BIC)的值包含了模型和參數(shù)估計(jì)值對(duì)數(shù)據(jù)的反應(yīng),AIC(BIC)越小,該模型擬合度越高。

        2 CVaR及投資組合優(yōu)化問題

        CVaR是對(duì)傳統(tǒng)的VaR風(fēng)險(xiǎn)度量方法的改進(jìn),它由Rockafellar等(2000)提出,CVaR可以定義為在一定的置信水平下,某一資產(chǎn)或資產(chǎn)組合超過VaR的損失的期望值。

        假設(shè)某資產(chǎn)組合有n種資產(chǎn),令f(x,y)代表組合損失(負(fù)的f(x,y)代表組合收益),其中向量x代表n種資產(chǎn)在組合中的比例,向量y代表n中資產(chǎn)的損失,假設(shè)y的分布密度為p(y),則損失f(x,y)不超過一個(gè)給定值α的概率Ψ(x,α)為:

        Ψ(x,α)是非減且右連續(xù)函數(shù)(Rockafellar,1970),在給定置信水平β∈(0,1)條件下,組合資產(chǎn)的VaR及CVaR分別為:

        Rockafellar等(2000)認(rèn)為,在收益率給定的情況下,組合的CVaR可以通過最小化下式得到:

        式(4)也可以通過Mente Carlo模擬的方法近似的表述為:

        其中,q代表模擬的次數(shù),x=(x1,…,xn)代表資產(chǎn)組合中各種資產(chǎn)所占的比例,yk=(yk,1,…,yk,n)代表n種資產(chǎn)第k次模擬的收益率。并不一定可微,但是通過這種轉(zhuǎn)換。該問題可以通過線性規(guī)劃的方法非常簡單的求解。

        運(yùn)用式(5)的Mente Carlo模擬技術(shù),投資組合均值-CVaR模型可簡化為:

        為了下文比較的方便,我們不加證明地給出多元正態(tài)分布假設(shè)條件下的均值-CVaR模型的優(yōu)化求解模型(劉小茂等2003):

        其中,rx為組合收益率,σ2(rx)為組合協(xié)方差矩陣,μ為期望收益率向量,e為單位向量,R為收益率臨界值,c1(β)=Φ-1(β)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)的 β 下分位數(shù) c2(β)=φ(c1(β))/(1-β),φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)N(0,1)的概率密度函數(shù)。

        3 實(shí)證分析

        3.1 數(shù)據(jù)的選取與處理

        我們選擇滬深300指數(shù)里面四種不同行業(yè)的指數(shù)對(duì)上述模型進(jìn)行實(shí)證分析。它們分別是滬深300的金融指數(shù)、能源指數(shù)、工業(yè)指數(shù)和消費(fèi)指數(shù)。將價(jià)格{Pit}定義為第i種指數(shù)在第t日的收盤價(jià),相應(yīng)的將收益率{Rit}定義為Rit=100×(ln(Pit)-ln(Pit-1))。本文選取的樣本時(shí)間分為兩段,第一段從2003/06/18開始到2006/8/31,此段的有效數(shù)據(jù)共計(jì)737組,我們利用該段數(shù)據(jù)建立一個(gè)投資組合,分析其有效前沿。表1給出了在第一個(gè)時(shí)間段內(nèi)四種行業(yè)指數(shù)的基本數(shù)字特征;第二段從2006/8/31開始到2009/4/31,在這段時(shí)間,我們通過資產(chǎn)組合的動(dòng)態(tài)調(diào)整來考察組合的整體表現(xiàn)。本文數(shù)據(jù)來源于WIND金融資訊,數(shù)據(jù)處理所用到的軟件有excel、R2.8.1以及l(fā)ingo9.0。

        從表1可以看出,四種指數(shù)收益率的J-B指標(biāo)均為1,意味著上述四種行業(yè)指數(shù)的收益率顯著異于正態(tài)分布的假設(shè)。峰度均大于或接近于3,說明具有尖峰特征;偏度均大于0,說明收益率序列具有右偏特征。

        表1 四種指數(shù)的的基本數(shù)字特征

        表2 t-GARCH(1,1)擬合結(jié)果

        3.2 Copula參數(shù)估計(jì)

        首先使用t-GARCH(1,1)模型估計(jì)出的股票收益率邊際分布參數(shù)(見表2)。

        在估計(jì)出邊際分布的參數(shù)之后,就可得到下一期收益率RT+1的條件分布:

        其中,tv(·)為自由度為v的t-分布,Ωt為時(shí)刻T為止的信息集。

        根據(jù)得到的各樣本收益率序列邊緣分布對(duì)原序列做概率積分變換,使用變換后的數(shù)據(jù)進(jìn)行第二階段估計(jì),表3及表4給出了Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)值及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果。

        表3 Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

        分析表3,從K-S指標(biāo)上看,除 Clayton Copula外,其余四種Copula的 K-S指標(biāo)通過了5%的顯著性水平檢驗(yàn),t-Copula函數(shù)K-S指標(biāo)的p值最大,這表明與其他四種Copula相比,它能更好的擬合真實(shí)的經(jīng)驗(yàn)分布,但是AIC及BIC指標(biāo)卻支持Gumbel-Copula,可能的原因是t-Copula需要估計(jì)7個(gè)變量值;另外,阿基米德類Copula一般只適宜于刻畫兩個(gè)變量的相依結(jié)構(gòu),對(duì)描述多變量的相依結(jié)構(gòu)意義不大。因此,我們最終選擇t-Copula做為下一步隨機(jī)數(shù)模擬的生成函數(shù)。

        3.3 蒙特卡洛模擬收益率

        表4 Copula相關(guān)系數(shù)矩陣

        在完成了Copula模型參數(shù)估計(jì)后,下一步的任務(wù)就是生成滿足選定Copula函數(shù)的隨機(jī)數(shù),基于t-Copula函數(shù)的模擬算法為:

        (1)求出相關(guān)矩陣∑的 Cholesky分解矩陣A,即 ATA=∑。

        (2)生成服從 N(0,1)的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 z1,z2,z3,z4。

        (4)令 b=Az,z=(z1,…z4)T。

        (6)uk=tv(ck)(k=1,…4),tv表示自由度為v標(biāo)準(zhǔn)t分布函數(shù)。

        (7)xk=Fk-1(uk)(k=1,2,3,4),其中 Fk-1(·)為 k 種指數(shù)條件邊際分布的反函數(shù)。

        3.4 優(yōu)化問題求解

        在完成了第二步的隨機(jī)模擬之后,接下來我們就可以利用lingo9.0軟件非常容易的求解式(6)的優(yōu)化問題。圖1給出了基于Copula方法的均值-CVaR投資組合有效前沿及多元正態(tài)分布假設(shè)條件下的均值-CVaR投資組合有效前沿。

        分析圖1我們可以得到以下兩點(diǎn)結(jié)論:

        (1)與Copula-均值-CVaR模型下的投資組合相比,基于多元正態(tài)分布假設(shè)的投資組合將會(huì)在收益一定的條件下低估風(fēng)險(xiǎn)或在風(fēng)險(xiǎn)一定的條件下高估收益。究其原因主要有以下兩點(diǎn):其一,傳統(tǒng)理論將資產(chǎn)收益率的邊際分布假設(shè)為服從正態(tài)分布;然而,金融數(shù)據(jù)往往具有尖峰、厚尾的特征,正態(tài)近似將會(huì)低估單個(gè)資產(chǎn)的下尾風(fēng)險(xiǎn);其二,傳統(tǒng)正態(tài)假設(shè)基于線性相關(guān),但是,資產(chǎn)組合收益率往往呈現(xiàn)尾部相關(guān)的特征,即在市場價(jià)格發(fā)生大幅波動(dòng)時(shí),資產(chǎn)之間的相關(guān)性會(huì)增加,從而造成組合整體收益率與線性相關(guān)假設(shè)相比發(fā)生更大幅度的波動(dòng)??傊?,運(yùn)用多元正態(tài)假設(shè)構(gòu)建投資組合將會(huì)低估組合的整體風(fēng)險(xiǎn)水平。Copula函數(shù)對(duì)資產(chǎn)組合收益率的邊際分布沒有限制,而且可以較好的撲捉組合資產(chǎn)之間相關(guān)關(guān)系的非線性特征。因此,基于Copula的聯(lián)合概率分布模型能夠更加準(zhǔn)確的反映資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)狀況。

        (2)尾部相關(guān)性會(huì)提高資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià),即由于尾部相關(guān)關(guān)系的存在,投資者將會(huì)要求更高的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)來彌補(bǔ)資產(chǎn)之間相關(guān)性在熊市增加的風(fēng)險(xiǎn)。

        3.5 投資組合的動(dòng)態(tài)調(diào)整與比較

        下面要回答的另一個(gè)非常重要的問題是:基于Copula模型下的投資組合的表現(xiàn)是否會(huì)優(yōu)于基于多元正態(tài)假設(shè)下的投資組合?由于Copula模型能夠較真實(shí)的反映資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)狀況,因此,我們預(yù)測,基于Copula模型的投資組合的整體表現(xiàn)會(huì)優(yōu)于正態(tài)分布假設(shè)的投資組合。為了檢驗(yàn)我們的預(yù)測,現(xiàn)在考慮資產(chǎn)組合的一個(gè)動(dòng)態(tài)調(diào)整過程,假設(shè)資產(chǎn)組合的建倉時(shí)間為2006年8月31日,初始價(jià)值為1,以后每兩個(gè)月根據(jù)新的交易數(shù)據(jù)運(yùn)用上述兩種模型對(duì)組合中各種資產(chǎn)所占的比例進(jìn)行一次調(diào)整,在允許賣空、不考慮交易費(fèi)用及市場摩擦等因素的條件下,圖2給出了從2006/8/31到2009/4/31這個(gè)時(shí)間段兩種組合總價(jià)值的變化情況。

        從圖2可以看出,在股市處于牛市階段(即從2006年8月31日到2007年11中旬),兩組資產(chǎn)組合的總價(jià)值都有不同程度增加,然而,Copula模型下的資產(chǎn)組合總價(jià)值增幅更大一些;從2007年11中旬開始,股市進(jìn)入熊市,兩種資產(chǎn)組合的總價(jià)值都發(fā)生了縮水,然而,Copula模型下資產(chǎn)組合的總價(jià)值下降幅度遠(yuǎn)小于多元正態(tài)模型下的組合??赡艿脑蚴俏覈善笔袌龃婧茱@著的羊群效應(yīng)(劉文虎,2009),投資者容易隨價(jià)格波動(dòng)出現(xiàn)追漲殺跌行為,從而使市場價(jià)格波動(dòng)過度,造成市場的不穩(wěn)定。Copula模型下的上尾及下尾相關(guān)系數(shù)能夠較好地量化這種效應(yīng),從而使投資者充分抓住牛市的上漲機(jī)會(huì),降低資產(chǎn)組合在熊市的縮水幅度。

        4 結(jié)語

        鑒于傳統(tǒng)多元正態(tài)分布在描述資產(chǎn)組合聯(lián)合分布上存在的缺陷,本文構(gòu)建了基于Copula理論的投資組合均值-CVaR模型,采用Copula建模的優(yōu)勢在于其可以將單個(gè)資產(chǎn)收益率的邊際分布和資產(chǎn)之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開討論,單獨(dú)處理,從而大大降低了分析問題的難度,增強(qiáng)了金融建模的靈活性。本文得出以下兩點(diǎn)重要結(jié)論:

        (1)與Copula-均值-CVaR模型下的投資組合相比,傳統(tǒng)基于多元正態(tài)分布假設(shè)的投資組合策略將會(huì)低估風(fēng)險(xiǎn)或高估收益。

        (2)對(duì)單個(gè)資產(chǎn)下尾風(fēng)險(xiǎn)及資產(chǎn)組合尾部相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)的有效控制使Copula模型下的資產(chǎn)組合的整體表現(xiàn)好于正態(tài)分布假設(shè)下的資產(chǎn)組合。

        總之,將Copula理論應(yīng)用于投資組合的管理過程中能夠使投資者在有效控制組合風(fēng)險(xiǎn)條件下增加組合的收益率。

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